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推荐一篇文章雨滴击打水面产生气泡的动人故事剖析
推荐一篇文章，挺有意思，感觉这才是研究物理，值得我们学习借鉴。
钟蔚目前是湖南师范大学在读硕士。
昆明赵坚（2015-4-26）
雨滴击打水面产生气泡的动人故事
钟蔚
第一章：
雨滴击打水面de自然现象
在雨中，一阵阵风吹来，让雨点们时而向前时而向后，雨点的大小也会有所不同。
然而，某一瞬间风停了，雨点落入积水的浅滩中，伴之而来的，是一个气泡瞬间出现，半球形，并且很快就破裂了。
然后在另外一处，又发生了同样的一幕。
有时候在屋檐下，顺着瓦槽落下的水以及雨天树上落下的大水滴击中了小水潭，也会有气泡冒出，持续一段时间后碎裂、消失无影了。
以下是我对这个过程的想象：
Fig.1
第二章：
液面上大气泡半球形的热力学证明[1]
对于液面上产生的气泡而言，当气泡达到稳定状态时, 要力求其表面吉布斯函数值最低。
因为形成气泡的过程既可以认为是恒温恒压过程, 也可以认为是恒温恒容过程, 所以既可以应用表面吉布斯函数最低原理, 也可以应用表面亥姆霍兹函数最低原理来证明气泡的形状。
应当说明的是液面上的气泡只是亚稳状态, 而气泡破裂消失才能真正达到热力学上最稳定的状态。
现在先要建立一个适当的模型。
在建立模型前, 应观察一下液面上大气泡的实际形状:
Fig.2
从Fig.2可以看出, 液面上的气泡并非绝对的半球形, 在与气泡膜接触处, 在膜内外表面的表面张力作用下, 液体表面向上有所弯曲。
然而在形成气泡后, 气泡内外液体水平表面积与没有形成气泡前水平面的表面积几乎是相同的。
根据气泡的半球形状, 可以建立气泡的球缺形物理模型, 以水平液体表面与球缺形气泡膜交界处气泡膜的切线与液体水平表面之间通过气泡内的夹角为变量, 如图2, 以便证明半球形气泡在热力学上是相对稳定的。
角θ的变化范围为
。
Fig.3
由于建立的模型与真实情况有所差异, 故要做以下4个合理的简化假设:
1、设气泡膜内外液体水平表面在与气泡膜交界处呈水平。
这是针对实际情况该处液面向上稍有弯曲而提出的。
2、设重力对气泡膜的影响可以忽略, 因而气泡成球缺形。
3、 因曲率半径很大, 设弯曲的气泡膜对气泡内气体的附加压力可不考虑,故角θ为不同值时,气泡膜内气体体积恒定,且膜内外液体表面处于同一水平。
4、 因气泡膜很薄, 设气泡膜内外两表面的面积相等。
但这4个假设是为了下面计算气泡膜的面积及液体水平表面积时考虑的。
其中主要是前2个假设, 后2个假设因影响微乎其微, 本可不必提出, 但为了严谨起见, 还是应当加以考虑的。
系统内若有几种界面时, 总界面吉布斯函数等于各界面张力γ与其界面面积S 乘积之和，即
i为系统中的每一种界面。
本文中只有一种界面, 即液体的表面。
以V代表气泡的体积, R、h分别代表球缺的球面半径及球缺的高，以Sl、Sm 分别代表水平液体表面和气泡膜单面的面积, 且Sl值足够大，以γ代表液体的表面张力。
角θ的变化范围为
。
当θ取不同值时, R、h 均相应地改变, 致气泡膜的单面面积Sm也相应地改变,因而系统的总表面吉布斯函数也相应地改变。
由
以及
得到
气泡膜的单面面积则为
因系统中水平液体表面积为S1, 气泡膜有内外两个表面, 且认为相等, 故系统的总表面吉布斯函数为:
所以由上面两个式子得到
所以
此时可以得到当角度取90的时候吉布斯自由能最小，于是证明出液面上大气泡的亚稳态时的形状为半球形。
这也说明空气中悬浮的圆球形的大肥皂泡若落在肥皂液表面上, 也要变成半球形。
现在以球形为基础定义相对吉布斯自由能来作图。
从圆球形气泡膜的单面面积
及气泡体积
，求得单面面积
这时圆球形气泡膜的表面吉布斯函数为:
定义系统的相对表面吉布斯函数
在这里，相对表面吉布斯函数的意义就是球缺形气泡膜的表面吉布斯函数与同体积圆球形气泡膜的表面吉布斯函数的比值。
所以
Fig.4
第三章：
水面产生气泡的基本性质
3.1：
弗劳德数（Fr）和韦博数（We）
弗劳德数定义：
其中U为液体运动的速度，g为重力加速度，a为液体的尺寸。
Fr用来确定一个部分浸没的物体移动时通过水的阻力。
在自由表面流的流量的性质（超临界或者亚临界）取决于Fr是否大于1.
韦博数的定义：
σ为表面张力系数，ρ为液体密度
改进的韦博数：
其中
韦博数运用在有不同界面的交界的情况，尤其是具有强的曲面的多相流。
可以认为它度量的是液体的惯性与表面张力的比较。
这个参数在薄的肥皂膜流、液珠的形成以及气泡的形成中具有重要且有效的运用。
3.2：
关于小液珠Impact液面的实验结果[2][3]
Fig.5
Fig.5中点为实验数据，实验中用到的小液珠的尺寸均为a=2R。
线是拟合的线，坐标的线是小液珠达到的速度极限。
灰色的区域是可以产生气泡的区域。
从Fig.5可以看出气泡只在很小的一部分参数空间才会产生。
在灰色区域下方，由液滴击打液面产生的坑太浅而无法产生气泡，但在灰色区域上方，由于液珠的撞击时的能量太大依然无法产生气泡。
进一步对小液珠撞击液面的参数进行研究，发现了一下关于弗劳德数和韦博数的规律
Fig.6
其中这两条线上对应的实验点与Fig.5上面的实验点对应。
数据点很好的吻合在两条直线周围，可以得到如下关系：
对于Fig.6上面一条线：
A=48，α=0.247；对Fig.6下面那条线，A=41.3，α=0.179。
3.3：
定性分析以上结果
对于Fig.6的上一条线，假设对于产生的坑（crater），小液珠的速度有效的作用在整个坑的表面，这个crater会迅速的朝径向增长，而没有气泡会entrapped。
令Rsp=Rc，其中Rsp是整个液珠的速度作用范围内的一个特征线度，Rc则是crater的曲率半径。
为了估算坑的半径，首先我们计算出小液珠在impact之前的能动能
，忽略表面张力的作用，并假设crater是半球形的，则很容易得到
。
现在来估算液滴速度的作用半径。
假设此时小液珠受到的阻力等于质量乘上加速度：
，这条假设意味着小液珠速度为U时，经过时间U/R，小液珠达到速度为0的状态。
此时限制速度传播出去的因素是液体的表面张力，因此我们得到以下平衡
假设质量的作用作用在整个crater上，以至于表面张力的限制作用主要只在垂直方向起作用，正如上式左边的单纯质量导致的加速度一样。
因此得到如下结果：
Rsp~R·We
由上面的分析得到
对于Fig.6中下面线的分析则得到了
3.4：
discussion
对于更严格的数学推导此处暂时省略，在原文中有，这里仅做简单的讨论：
研究表明对于是否产生气泡这个结果是源于crater周围任何一点的恢复时间的一个非常微妙的平衡。
如果出口处先恢复，则会产生气泡，否则难以产生气泡或者气泡比较小。
小液珠对于终端速度的冲击使得小液珠的半径与速度之间有了一个函数关系。
具体关系在一开始的图的左边的灰色线。
这条线有一个很大的斜度，这个使得能够产生气泡的液滴的尺寸必须在一个很小的范围之内。
且小液珠的速度同样需要在一个很小的范围之内。
因此产生的气泡的半径也是在一个很小的范围。
这就使得气泡的产生称为了一种很特别的似乎是统计性的事情。
对于气泡的产生过程还有很有意思的结果，例如特有的水下的声波的产生。
当产生气泡的时候，水面之下可以检测到特别的声波信息，具体结果见下一节。
其中会有一个很明显的峰值，而这个峰值就与气泡的产生有关系。
峰值大概在14~15Hz左右，需要有更加严格的数学推导来证明这个结果。
这里先列出来我们计算结果中小液珠可以产生气泡时的半径：
0.19~0.30mm，相应的产生的声波的峰值为11~17Hz，而中心峰值则是与观测结果一致。
而下面是一些问题
1、被击水面的水深对结果的影响文章里面并没有给出来相应的说明和讨论；
2、经过分析得到的指数值与实验值仍然有不小的偏差，具体原因何在；
3、Capillarywave等液体的表面波对结果是否有影响，有怎样的影响；
4、温度对结果是否有影响。
暂时仅提出以上四个小问题，留作参考和进一步思考。
第四章：
表面张力以及粘性对气泡产生的影响[4]
4.1：
实验与结果
Bubbleentrainment 是crater尖点处concentriccapillarypinching与粘性耗散竞争的结果。
它可以很好地由毛细数Ca来描述（Ca=μV/σ，其中μ为粘性系数，V为impact速度，σ为表面张力系数）。
先看下实验条件：
Fig.7
接下来了用如下的实验仪器系统进行实验：
Fig.8
实验中发现当且仅当涡量仅仅集中在crater的中心的时候会出现vortexring，如果某处的对流很强，则vortexring的形成就受到影响。
regularbubbleentrainment过程中具有较强的对流效应，这也许就是为什么regularbubbleentrainment过程中没有vortexring产生的原因吧。
更多定量结果表明产生的泡泡的尺寸与粘性强弱呈反比关系。
Fig.9
Fig.9是不同粘性条件下，临界crater形状以及不同entrainment区域的结果图。
0表示在产生泡泡的区域之下，1表示在区域里面，2表示在区域上方。
4.2：
粘性的影响
Fig.10
Fig.10反应的是产生的泡泡的尺寸和毛细数的关系。
当粘性对泡泡的产生起作用的时候，前面说过的Fr与We对结果的描述已经是不够用了，因此引入了毛细数作为一个新的描述的参数。
4.3：
临界锥角
Fig.11
结果如Fig.11所示，Longuet-Higgins（1990）早就预言了有一个临界锥角为109.5度。
上述的结果与他们的预言相当吻合。
4.4：
关于thinjet产生过程的一个强的指数规律
高速的liquidjet是在bubblepinch-off过程中，由theradialfocusingofthebulkflow造成的high-pressurestagnation（停滞）导致的结果。
Fig.12
Fig.12为thinjet。
Hogrefe.et.al.（1998）推到得到了如下规律
其中z和r是在liquidjet上面描述侧壁性质的一个极坐标参数，（z,r,t）通过无量纲化变为（z*,r*,t*），z和r在无量纲化的过程中分别与小液滴的尺寸D有关，而t则与D/V有关。
则修改之后上述方程变为
实验结果如Fig.13所示，其中相应的α值为0.656，β值为-0.435。
Fig.13
通过上面的方程，我们可以得到垂直方向的jet的速度和加速度表达式：
对于不同粘性的液体中，α值也是变化的，0.4<α<0.6667,可看Fig.14所示的结果
Fig.14
第五章：
underwatersound[5]
3.3.1：
Franz[6]的观点与实验仪器
Franz 第一个系统的研究了液滴撞击水面时在水下产生声音的问题。
他的文章也被视为这个领域开创性的文章。
其中用到了高速摄像技术以及对水下声音的接受。
其中的高速摄像技术在以后也得到了很多更广泛的运用。
Franz 认为水下声音产生的源头有以下几个方面：
1、撞击过程以及液滴在自由表面的扩散；
2、液滴在水面的共振振动（如果液滴和液面都具有一定的刚度）
3、由于产生气泡导致的水中液体流量的脉动。
他发现观测的结果与声压、液滴大小以及撞击的速度有关，他还研究了频率的相关内容例如peak频率等等。
接下来来看看相关的实验结果，首先先看下相关的实验观测的仪器（TUD）：
Fig.15
液滴从水池RS中流出经过针头N滴入水池T，相关的影像被放大到F屏上，L1是一个放大镜，影像在卷轴R上连续地运动，图像随着影像的移动而移动因为中间有个旋转棱镜P，声音由hydrophone（水听器）H接收并传到oscilloscope（示波器）O上面成像。
将示波器的时基关闭，使得得到的实验点被影射到一张垂直的纸面上，它的图像通过透镜L2聚焦到移动的影像上，使它可以在图像上有一个连续地轨迹。
对于从不同高度落下的小液滴，出口的速度和到水面的速度有如下关系
其中vI是撞击水面时候的速度，vT是从N出流出的时候的速度，g为重力加速度，h为N处流出时到下方水面的高度，vT与小液滴的尺寸大小d有关系。
3.3.2单个小液滴的实验结果
Fig.16
Fig.16展示的是由单个小液滴产生的典型的压力—时间关系的图。
左图为irregularentrainment情况，5.2mm的液滴从3.5m的高度落下，撞击速度为6.8m/s，最上面那根线表明在250ms左右探测到了bubblesound而下面那根线表明在60ms左右探测到了bubblesound，而最下面的结果则没有bubblesound。
Bubblesound比预期的存在的时间长的多，原因仅仅是因为tank壁面的反射作用导致的结果。
而右图是regularentrainment情况，一个3mm大小，撞击速度为2m/s的液滴撞击液面的结果，上面的线反应的是整个探测过程的结果，初始的撞击时间仅仅只有8ms，而在32ms左右有bubblesound；下面的线则是将bubblesound周围的时间放大，显示出了更多的关于bubblesound产生的细节过程。
下面看下产生气泡的条件：
Fig.17
对于Fig.17，Regularbubbleentrainment出现在狭长的灰色地带，irregularentrainment则近似地出现在右上角的线状区域。
坐左边的线则为terminalvelocitycurveforraindrops。
纵坐标的单位是：
numberofdropsina0.1-mmsizerangestrikinganareaof5ocm2 inatimeof90s.
对于产生气泡的条件这里还需要强调的一点就是关于表面张力产生的影响。
对于表面张力的影响的测量是比较困难的，但是这里需要指出的是表面张力小于等于48dyn/cm时不会产生气泡。
3.3.3：
人工雨以及自然降雨时产生的结果
Fig.18
Fig.18左图是由不同尺寸的雨滴产生的降雨得到的结果。
实线为特别大的雨中的结果，下面四条线对应的尺寸与上节中条件的图中的相对应，由上往下分别对应b、c、d、e的结果。
右图中空心点为现实的雨中测量到的结果，实心点为实验结果，黑线为Franz他们的结果。
Fig.19
Fig.19右图中，黑点为实际雨中测量的结果，空心点为TUD中的结果，三角点为NCPA（其他组）的结果；右图为声音-压力trace图：
上面的是由水喷雾到一个大的水tank中产生的结果，下面的则是近200个这样的trace的平均效果图。
Fig.20
Fig.20中黑点为雨落入纯净的水中的结果，白点为落入有杂质的水中的结果。
左边的是人工的雨，右边的是自然中的雨的结果。
第六章：
结果与讨论
雨滴击打水面产生气泡的过程中有一系列很有意思的结果，包括气泡呈现半球状，109.5度的临界角，以及狭窄的可以产生气泡的参数范围，当然还有有趣的水下的声音的特点。
对于这个简单的自然现象，表面看上去平平淡淡但是实际上却包含了许多动人的东西。
由impactingdrop产生的underwatersound有两个分离的机制：
一个是初始的撞击声，这个是所有的雨滴impact都会有的结果；另一个是bubbleoscillation，这个产生的sound比初始的impact产生的强的多但是并非每个dropimpact都会产生。
液滴的diameter在0.8~1.1mm时产生bubble。
对于频谱图，在14—16kHz处有peak是一个普遍现象。
但是低频的声音与液滴大小的明显的关系没有得到解释，单液滴实验表明更大的液滴产生的开始阶段的sound比小液滴产生的更加louder，因为它的尺寸和速度都比较大；并且，对于更大的液滴而言如果它产生了气泡那么比小液滴产生的气泡也更大。
低频上的声音应该是上述两种效应的叠加。
在Fig.21左图从上往下依次是减小表面张力得到的结果。
开始的impact也许不是产生14—16kHzpeak的原因，但可能对此具有一定的贡献。
Fig.21右图为简单总结。
Fig.21
尽管如此，大部分文章中都很少专门讲述浅水滩中的气泡的产生，在浅水滩中，由于毛细波的影响会变的非常重要而不能忽略，这时候看上去气泡比较难产生或者比较难达到稳定，但是现实中在浅水中产生气泡的几率似乎更大更容易的多。
气泡的产生本身就是一种竞争行为，那在浅水中这种竞争又是如何更加美妙的发生的呢？
主要参考文献：
[1] 王正烈,大学化学，2010,25
（2）：
49-53
[2]H.N.Oguz,A.Prosperetti,J.Fluid.Mech,1990,219:
143-179.
[3]H.N.Oguz,A.Prosperetti,J.Fluid.Mech,1989,203:
149-171.
[4]Q.Deng,A.D.Anilkumar,T.G.Wang,J.Fluid.Mech,2007,578:
119-138.
[5]H.C.Pumphrey,L.A.Crum,L.Bjorno,J.Acoust.Am,1989,85（4）:
1518-1526.
[6] G.J.Franz,J.Acoust.Soc.Am.1959,31,1080-1096.
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