(1)高等数学(90)(A卷)解答.doc

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广州大学2010-2011学年第一学期考试卷

高等数学Ⅰ1（90学时A卷）参考解答与评分标准

一．填空题（每小题3分,本大题满分15分）

1．设函数，则=1。

2．设函数，当常数_2___时,在处连续.

3．曲线上点（0，1）处的切线方程为

4．曲线的凹区间为.

5．若是的原函数，则=.

二．选择题（每小题3分,本大题满分15分）

1.当时，无穷小量是的（D）.

A.高阶无穷小;B.低阶无穷小;

C.等价无穷小;D.同阶但不等价无穷小.

2．若，则必有（D）

A.;B.;

C.;D.，（为常数）

3.函数的可去间断点个数为（C）.

A．1;B.2;C.3;D.无穷多个.

4.设函数在点处可导,则等于（A）.

A.0；B.-1；C.1；D..

5.设连续，且，则=（C）

A.2；B.4；C.8；D.16.

三．解答下列各题（每小题6分,本大题满分18分）

1．，求.

解:

………………….………….3分

…………………….…..………..…….4分

……………………….…..……….6分

2．求由方程所确定的隐函数在处的导数.

解:

把方程两边分别对求导数得

……………………….…..…….4分

当时,,代入上式得…….……….………….…..…….6分

3．设，求和。

解:

……………………………………….…..…3分

……………………….…..…6分

四．解答下列各题（每小题6分,本大题满分12分）

1．计算极限.

解:

原式=…………..……..………..………3分

……………………….…..………………………………….6分

2．设，讨论在处的连续性与可导性。

解:

因此，故在处的连续。

………………3分

因此，在处不可导。

……………………….…..……..6分

五．计算下列积分（每小题6分,本大题满分18分）

1．.

解：

原式………………..3分

……………………………4分

………………….……….…..…..6分

2．.

解：

令，则……..…………….….…..….................1分

…………………….………………….…..........2分

………….……………………..........4分

…………………………….……………….5分

………………………………………….…….......................6分

3．.

解：

是被积函数的暇点

原式……………………………..2分

……………………………4分

………………………….…….5分

因为，所以此反常积分发散。

…………….…..….6分

六．（本题满分5分）

证明方程只有一个正根。

证明：

设，则连续可导，且

由零点存在定理知，

在内至少存在一点，使。

即方程有一个正根………………3分

设也是方程有的一个根，即，依罗尔定理至少存在一点使，这是不可能的，可见，方程只有一个正根。

…..5分

七．（本题满分5分）

设在内连续，且，试证：

若为偶函数，则亦为偶函数。

证明：

………………….……………….…..….1分

令，则………………………………….…..….2分

。

………………………..……….…..….4分

因为，

所以，即为偶函数。

……..….5分

八．（本大题满分12分）

设抛物线通过点（0，0），且当时，。

求的值，使得抛物线与直线所围图形的面积为，且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小。

解：

因为抛物线通过点（0，0），故…….2分

所围图形的面积为：

………………………..5分

旋转体的体积为：

…………………….….9分

由，得，代入V中，得…………………….….10分

…………………….…11分

可知，当时，V最小。

这时。

…………………….….12分

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