惠州一模数学.doc
《惠州一模数学.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《惠州一模数学.doc（10页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
惠州市2014届高三第一次调研考试数学试题（理科）
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知集合，则（）
A.B.C.D.
2.复数在复平面上对应的点位于 （）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知平面向量，，且，则向量（）
A.B.C.D.
4.已知直线与直线平行且与圆：
相切,则直线的方程是（）
A.B.或
C.D.或
5.对于平面、、和直线、、、,下列命题中真命题是（）
A.若,则B.若,则
C.若则D.若,则
6.不等式组表示的平面区域的面积是（）
A.B.0C.D.
7.已知函数，若过点且与曲线相切的切线方程为，则实数的值是（）
A.B.C.6D.9
8.对于任意两个正整数,定义某种运算“※”如下:
当都为正偶数或正奇数时,※=;当中一个为正偶数,另一个为正奇数时,※=.则在此定义下,集合※中的元素个数是（）
A.10个B.15个C.16个D.18个
二、填空题：
本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．
（一）必做题：
第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
79
8638
93988415
1031
114
9.右图是某高三学生进入高中三年来第次到次的数学考试成绩
茎叶图,根据茎叶图计算数据的中位数为.
10.已知等差数列{},满足,则此数列的前项
的和.
11.已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角.
12.设是上的奇函数,.当时有,
则.
13.一物体在力（单位：
）的作用下沿与力相同的方向,
从处运动到（单位：
）处,则力做的功为焦.
14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆的圆心到直线的距离是.
15.（几何证明选讲选做题）如图,为圆直径,切圆于点,,,则等于.
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16.（本小题满分12分）已知函数.
（1）求的最大值和最小正周期；
（2） 若，是第二象限的角，求.
17.（本小题满分12分）某社团组织名志愿者利用周末和节假日参加社会公益活动,活动内容是：
1、到各社区宣传慰问,倡导文明新风；2、到指定的医院、福利院做义工,帮助那些需要帮助的人.各位志愿者根据各自的实际情况,选择了不同的活动项目,相关的数据如下表所示：
宣传慰问
义工
总计
20至40岁
11
16
27
大于40岁
15
8
23
总计
26
24
50
（1）分层抽样方法在做义工的志愿者中随机抽取6名,年龄大于40岁的应该抽取几名?
A
BA
CA
EA
OA
（2）上述抽取的6名志愿者中任取2名,求选到的志愿者年龄大于40岁的人数的数学期望.
18.（本小题满分14分）如图,已知三棱锥的侧棱两两垂直,且,,是的中点.
（1）求点到面的距离；
（2）求二面角的正弦值.
19.（本小题满分14分）已知等差数列的公差，它的前项和为，若，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：
.
20.（本小题满分14分）B
O
x
y
F1
F2
P
A
M
在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点．已知△为等腰三角形．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设直线与椭圆相交于两点，是
直线上的点，满足，
求点的轨迹方程．
21.（本小题满分14分）已知二次函数,且不等式的解集为.
（1）方程有两个相等的实根,求的解析式.
（2）的最小值不大于,求实数的取值范围.
（3）如何取值时,函数（）存在零点,并求出零点.
惠州市2014届高三第一次调研考试
数学（理科）参考答案与评分标准
一．选择题：
共8小题，每小题5分，满分40分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
D
C
A
D
B
1.【解析】，故，故选C.
2.【解析】，所以点（位于第二象限.故选B.
3.【解析】∵,∴,∴.故选A.
4.【解析】圆的圆心为,半径为,因为直线,所以,设直线的方程为,由题意得或.
所以,直线的方程或.故选D.
（二）【解析】对于平面、、和直线、,真命题是“若,则”.故选C
6.【解析】不等式组表示的可行域如图所示，
故面积为.故选A.
7.【解析】设切点为，则①，
∵，又切线l过A、M两点，
∴则②
联立①、②可解得，从而实数的值为故选D.
8.【解析】从定义出发,抓住的奇偶性对12实行分拆是解决本题的关键,当同奇偶时,根据※=将12分拆两个同奇偶数的和,当一奇一偶时,根据※=将12分拆一个奇数与一个偶数的积,再算其组数即可.
若同奇偶,有,前面的每种可以交换位置,最后一种只有1个点,这时有;
若一奇一偶,有,每种可以交换位置,这时有;
∴共有个.故选B
二．填空题：
共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
9．94.510．3511．（或）12．13．3614．15．5
9.【解析】从茎叶图中可知14个数据排序为：
7983868891939495989899101103114中位数为94与95的平均数94.5.
10.【解析】.
11.【解析】直线与直线垂直得，.
12.【解析】
.
13.【解析】
14.【解析】由得圆为,圆的圆心直线的直角坐标方程为，所以点到直线的距离是.
15.【解析】连接,切圆于点,.又，是中点，.
三、解答题：
16.解
（1）∵
………………………4分
∴的最大值为2,……5分，最小正周期为………6分
（2）由
（1）知,
所以,即………………………8分
又是第二象限的角,所以……10分
所以………12分
17解：
（1）若在做义工的志愿者中随机抽取6名,则抽取比例为……………2分
∴年龄大于40岁的应该抽取人.………………………4分
（2）在上述抽取的6名志愿者中任取2名,假设选到年龄大于40岁的人数为,
∵6名志愿者中有2人的年龄大于40岁,其余4人的年龄在20到40岁之间,
∴可能的取值为.………………………5分
则,,………8分
∴的分布列为
………10分
∴的数学期望为 ………12分
18（本小题满分14分）解:
（1）取的中点,连、
、
则面,的长就是所要求的距离.
………………………3分
、,
在直角三角形中,有…6分
（另解:
由
（2）连结并延长交于,连结、.
则就是所求二面角的平面角.……………9分
作于,则
在直角三角形中,
在直角三角形中,……………12分
故所求的正弦值是……………14分
方法二:
（1）以为原点,、、分别为、、轴建立空间直角坐标系.
则有、、、……2分
设平面的法向量为
则由
由,……4分
则点到面的距离为……6分
（2）……8分
设平面的法向量为则由知:
由知:
取……………10分
由
（1）知平面的法向量为……………11分
则<>.……………13分
结合图形可知,二面角的正弦值是……………14分
19.（本题满分14分）解：
（1）数列是等差数列且，
.①…2分
成等比数列，即②………4分
由①，②解得或…………5分
………6分
（2）证明;由
（1）可得，…………7分
所以.…………8分
所以
.…………10分
，.…………11分
，数列是递增数列，.………13分
.…………14分
20解：
（1）设，
由题意,可得,即，……………2分
整理得，得（舍）或，所以.……………4分
（2）由
（1）知,可得椭圆方程为.
直线方程为……………………………………………5分
两点的坐标满足方程组,消去y并整理得……6分
解得得方程组的解……………………8分
不妨设,设的坐标为则
，…………10分
由得.
于是…………11分
由得，
化简得，………………………………13分
将代入得，
由得.因此,点的轨迹方程是.…14分
21解：
∵的解集为,
∴的解集为,……………………1分
∴,且方程的两根为
即，∴……2分
（1）∵方程有两个相等的实根,即有两个相等的实根
∴,
∴或…………3分
∵,∴,∴…………4分
（2）
∵,∴的最小值为,……………………5分
则,,解得,…………7分
∵,∴………………………………8分
（3）由,得（※）
①当时,方程（※）有一解,
函数有一零点；……………………9分
②当时,
方程（※）有一解,令
得,，
i）当，时，（（负根舍去）），函数有一零点.……………10分
ii）当时，的两根都为正数，当或时，函数有一零点.11分
ⅲ）当时，，
③方程（※）有二解,
i）若,，时,
（（负根舍去）），函数
有两个零点；…12分
ii）当时，，的两根都为正数，
当或时，
函数有两个零点。
……13分
ⅲ）当时，，恒成立，
取大于0（）的任意数，函数有两个零点…14分
升级会员 