行程问题大全.docx
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行程问题大全
小升初专题之行程问题
行程问题研究的是物体在一定条件下的速度、时间、路程间的相互关系及状态。
行程问题变式有很多，但是最终必将回归到路程、时间和速度三者之间的关系上来。
在行程问题的题目中，除了速度时间路程外，还涉及如下一些的重要因素：
运动方向：
相向，背向，同向，
出发地点：
同地，不同地
出发时间：
同时，不同时，
运动途径：
直线，圆周
运动结果，相遇，相距，交叉而过，追及。
解决行程问题经常要借助线段图及分数、比和比例的相关知识。
要运用到转化法，比较法以及假设法。
行程问题基本公式：
路程=速度×时间速度=路程÷时间时间=路程÷速度
并由此可推导出一下结论：
若两物体速度之比为a：
b①在相同时间，两物体的路程之比为a：
b
②在相同路程上，两物体的时间之比为b：
a
两物同时出发往返两地，相遇一次，共走1个全程；相遇两次，共走3个全程；相遇三次……（请学生总结）
行程问题之相遇问题
知识要点
相遇问题是指两物体从两地出发相向而行，经过一段时间后相遇。
相遇时路程、时间以及速度之间有如下的关系：
速度和×相遇时间=路程和
路程和÷相遇时间=速度和
路程和÷速度和=相遇时间
例题解析：
例1A,B两地相距440千米，甲，乙两车同时从两站相对开出，甲车每小时行35千米，乙车每小时行45千米，一只信鸽以每小时50千米的速度和甲车同时出发，向乙车飞去，遇到乙车又折回向甲车飞去，遇到甲车又向乙车飞去，这样一直飞下去，信鸽飞行了多少千米两车才能相遇？
【分析】：
本题看似复杂，实际上只要抓住行程问题中的基本关系：
速度×时间=路程就很简单了。
要求信鸽飞行的路程，已知信鸽飞行的速度，只要知道信鸽飞行的时间即可，而信鸽飞行的时间就是甲，乙两车从出发到相遇所用的时间。
解：
50×
答：
信鸽飞行275千米时甲乙两车才能相遇。
例2一客车和一货车同时从A,B两地相向开出，客运车每小时行56千米，货运车每小时行48千米，两车在离中点32
千米处相遇，求A,B两地距离是多少千米？
【分析】巧用线段图，化隐形为有形
从线段图中很容易看出：
两车在离中点32
千米处相遇，故相遇时客车比货车多运行32
2=
千米，又客车比货车每小时多行（56-48）千米，故可求出相遇时间。
解：
相遇时间，
两地路程：
。
答：
两地的距离是
。
例3在一条笔直的公路上，小明与小华骑车从相距900米得两地同时出发，小华每分钟行200米，小明每分钟行250米，经过多少时间两人相距2700米？
【分析】：
本题由于没有告诉我们两人的行驶方向，所以我们要考虑如下三类四种情况。
解：
（1）两人相向而行，则两人相距2700米得时候，是当他们相遇又相离的时候，两人一共行了900+2700=3600（米），所用时间为3600
（200+250）=8（分钟）
（2）两人相背而行，则两人相距2700米得时候，他们一共行了2700-900=1800（米），所用时间为1800
（200+250）=4（分钟）；
（3）两人同向行驶，这时可以分为两种情况：
第一种：
小明在前，小华在后，此时由于小明速度比小华快，两人的距离越来越远，当两人相距2700米得时候，小明比小华多走了2700-900=1800（米）
所用时间为1800
（250-200）=36（分钟）；
第二种：
小华在前，小明在后，此时，是小明追上小华，又超过小华，当两人相距2700米时，也就是小明超过小华2700米得时候，小明比小华多走900+2700=3600（米）
所用时间为：
3600
（250-200）=72（分）
答两人相向而行时8分钟，相背而行4分钟，同向行驶可能36分钟，也可能72分钟。
点评：
这道题，貌似简单，其实不然，难在正确分类考虑到可能发生的各种情况。
分类讨论是数学研究中的一种重要方法。
拓展练习：
A级
1、两城市相距477千米，甲车以每小时46千米，乙车以每小时38千米的速度先后从两城出发，相向而行，相遇时甲车行驶了230千米，问乙车比甲车早出发几小时？
2、小明与小华两人分别从东西两地同时出发，相向而行，10小时可以相遇，如果两人每小时都少行2千米，那么12小时后相遇，问两地相距多少千米？
3、一自行车赛道全程60千米，某人骑自行车8点整从一端出发去另一端，前一半时间平均速度为每分钟1千米，后一半时间的平均速度是每分钟
千米，此人在什么时间到达目的地？
4、小明和小华同时从步行街和少年宫出发，相向而行，小明每分钟走90米，两人相遇后，小明再走4分钟到达少年宫，小华再走270米到达步行街，小华每分钟走多少米？
5、甲、乙两站相距360千米，客车与货车同时从甲站出发驶向乙站，客车每小时行60千米，货车每小时行40千米。
客车到达乙站后停留0.5小时，又以原速返回甲站，两车迎面相遇的地点离乙站又多远？
B级
1、甲乙两站相距360千米，客车与货车同时从甲站出发驶向乙站，客车每小时60千米，货车每小时40千米，客车到达乙站停留半小时，又以原速返回甲站，两车相遇的地点离乙站多少千米？
2、两市相距460千米，甲车从A市向B市开出2小时候，乙车从B市出发与甲车相向行驶，已知甲车每小时比乙车多行10千米，乙车开出4小时候遇到甲车，求甲车每小时行多少千米？
3、甲乙两艘船分别从AB两港口同时相向而行，乙船的速度为甲船速度的2/3，两船相遇后继续航行，甲船到B港后立即返回，乙船到A港后也立即返回，已知两船两次相遇地点相距40千米，问A,B两港口相距多少千米？
4、甲乙两车同时从AB两地相对而行，在距B地54千米处相遇，他们各自到达对方车站后立即返回原地，途中又在距A地42千米处相遇，求两次相遇地点之间的距离。
5、甲、乙两人分别从小路两端A、B两处同时出发相向而行，第一次相遇在距B处80米的地方，然后两人继续按原速向前行走，分别到B、A处后立即返回，第二次相遇在距A处30米的地方，照上面的走法，两人第三次相遇在距A处多少米的地方？
习题解答：
1、乙车比甲车早出发1、5小时。
提示：
根据甲车每小时行46千米和相遇时甲车行驶了230千米，可知甲车行了230÷46=5（小时），乙车行了477-230=247（千米）用了247千米÷38=6.5（小时）所以乙车比甲车早出发6.5-5=1.5（小时）
2、240千米。
提示：
两人每小时都少行了2千米，速度和就少了（2×2）千米/每小时，（106面）这样就要12小时才能相遇，多用了2小时，我们可以看成减速后先行了10小时，这是两人并不能相遇，两人之间应该相距（2×2×10）千米。
这段路程就是后来12-10=2（小时）这段路长÷2小时求出的是减速后的速度和，再乘以12就求出了两地的距离。
3、9时06分40秒。
提示：
由于前后两半时间是相等的所以可以将此题转化为相遇问题，看成是以每分钟1千米和每分钟4/5千米的速度前进的两人共同走完60千米的路程，得到两人
（分钟）所以此人行完全程时间是1小时06分40秒。
4、120米，提示：
小华再走的270米就是小明相遇前走的路程，因此他们相遇用了270÷90=3分钟，相遇后小明再走4分钟也就是90×4=360米到达，而这360米就是小华相遇前走的路程，因此小华的速度是360÷3=120米。
5、两车共行驶了360×2=720（千米），两车相遇需要（720+60×0.5）÷（40+60）=7.5（小时），货车行驶了40×7.5=300（千米），所以两车相遇离乙站还有360-300=60（千米）
B级
1、60千米，提示：
由题意可知，客车到乙站需要360÷60=6小时，客车返回时，货车已经行40×（6+0.5）=260千米，货车此时距乙站360-260=100千米，因此客车返回与货车相遇时用了100÷（60+40）=1小时，相遇点离乙站60×1=60千米。
2、50千米。
提示由题意可知：
甲行了6小时，乙行了4小时。
甲比乙多行了6×10=60千米，从全程里面减掉甲比乙多走的路程，剩下的甲每小时所行的路程就和乙一样，所以通过（460-10×6）÷（2+4+4）=40千米可以得到乙的速度。
3、100千米，提示设全程为S如图:
c是第一次相遇的地方，d是第二次相遇的地方。
乙的速度是甲的2/3，甲乙两人速度之比是3:
2即AC=
s,BC=
S,DC=40千米
第二次相遇时甲所行的路程是：
s+
，第二次相遇时乙所行的路程是：
s+
（千米）甲乙两人所行路程是3:
2，也即
（千米）
4、24千米。
提示：
设两地相距S千米，甲乙两车速度分别为
。
根据相遇时两车所用时间相等列方程组：
解方程组得，s=120（千米），120-54-42=24（千米）（107面）
4、全程长为54×3-42=120（千米），120-54-42=24（千米）
5、126米提示：
先求出两地之间的距离，然后判定A、B的速度之比，最后讨论第三次相遇时什么情况的相遇（涉及一些追及问题）
行程问题之追及问题
知识要点：
追及指速度快的追速度慢的，追及问题中的路程，时间速度这三要素主要体现在路程差（或追及时间）、速度差、追及时间上，三者之间的关系如下：
速度差×追击时间=路程差
路程差÷追及时间=速度差
路程差÷速度差=追及时间
切记追击问题中追击者速度一定要大于被追者速度，否则不能追上，反而两人间距会越来越远。
例题讲解：
例1.小华与小伟从学校到江滩看神六航展，小伟以每分钟60千米的速度向江滩走去，5分钟后小华以每分钟80米得速度向江滩走去，结果两人同时到达航展的现场，问学校到航展现场之间的距离是多少？
分析：
解决这个问题关键是要求求出追及时间，由于小华晚出发5分钟，结果两人同时到达航展现场，说明小华追上小伟时间正好到目的地，由此可根据路程差÷速度差=追及时间，求出追及时间：
（60×5）÷（80-60）=15分。
追及时间就是小华从学校到航展现场所用的时间。
解：
80×
答学校到航展现场的距离是1200米。
例2.一辆卡车上午9时出发，以每小时40千米的速度向乙城驶去，2小时候，一辆小轿车以每小时70千米的速度也从甲城出发向乙城行驶，当小轿车到达乙城，大卡车距离乙城还有100千米，问小轿车是什么时候到达乙城市的？
分析：
有题目可知，小轿车在从甲城市行驶到乙城市的过程中，不仅要追上大卡车40×2=80千米。
还要超过100千米。
解：
在相同的时间里，小轿车比大卡车多行的路程，即路程差为：
40×2+100=180千米
小轿车从甲城市行驶到乙城市需要时间：
180÷（70-40）=6小时
小轿车到达乙城市的时刻：
9+2+6=17时
答：
小轿车是在17时到达乙城市的。
例3某城市举行“万人申奥”长跑活动，长跑队伍以每小时6千米的速度前进，长跑开始时，两名电视记者小和小王分别从排尾、拍头同时向队伍中间进行，报道这次活动，小和小王都乘摩托车每小时行10千米，他们离队伍中点900米处相遇，长跑队伍有多长？
分析：
本题是一个行进队伍中的相遇问题，相遇地点是在离队伍中点900米处，因此相对中点而言，小的速度是摩托车速度+队伍速度，小王的速度是摩托车速度-队伍速度，两者相对速度为（10+6）-（10-6）=12千米/时，而相对中点的路程差为：
（108面）
900×2=1800米=1.8千米，理解这一点，问题就好解决了。
解：
小和小王相对中点的路程差为：
900×2=1800米=1,8千米。
两人的相对速度差是：
（10-+6）-（10-6）=13千米每小时
两人相遇时间是1.8÷12=0.15小时
队伍长
答：
长跑队伍长3千米。
例4、甲现在坐在公汽上，发现好朋友乙从汽车旁向相反的方向行走，10秒后他下车追乙，如果甲的速度是乙的2
倍，且比汽车的速度慢
，那么甲下车后追上乙要多少秒？
分析：
甲速度可以用乙速度表示出来，且汽车速度也可以用甲速度表示出来，因此可以设乙速度为“1”甲追上乙的过程，经历了甲和乙先相背而行10秒钟以及甲转身与乙同向而行追乙这两个阶段。
解：
设乙的速度为1，那么根据题意可知，甲的速度为2
，汽车的速度是2
÷（1-
）=
。
10秒钟时，甲乙两人之间的距离为
=90（秒）
答：
甲下车后追上乙要90秒。
例5小王骑车每分钟行200米，小步行每分钟80米。
小出发3.6千米后小王骑车去追小，但小王每行5分钟就要停1分钟。
小王追上小要多长时间？
分析：
此题从题意中可以发现，是有规律可找的追击问题，属于较难的题型，从题意中可以看出，每六分钟为一个周期，那么在每个周期可以追上200×5-80×（5+1）=520（米）
3600÷520=6…500，即过了6×6=36（分钟）后孩剩下500米没追上，故还需要500÷（200-80）=25/6（分钟）
拓展练习：
A级
2、一辆货车与一辆客车同时从甲地开往乙地，货车5小时可以到达，客车每小时的速度比货车快12千米，可比货车提前1.2小时到达乙地，甲乙两地的距离是多少千米？
3、同学们去参观舰，排成一列队以每秒1米得速度行进，队伍长600米，老师因事以每秒1.5米得速度从队伍的排头追到排尾，又立刻从队伍的排头回到队尾，问老师又回到排尾一共用了多少分钟？
4、快慢两车同时从两城相向出发，4小时后在离中点18千米处相遇，已知快车每小时行70千米，求慢车的速度。
（109面）
5、拖拉机以每小时20千米的速度行驶一段路程后，立即沿原路以每小时30千米的速度返回原地，这样往返一次的平均速度是每小时多少千米？
B级
1、小汪和小两个人同时骑电动车，从甲乙两地相对开出，行了一段时间后，小王离乙地还有42千米，小离甲地还有6千米，已知小王每小时行40千米，每小时比小慢12千米。
甲乙两地相距多少千米？
2、早晨，小明背着书包去上学，走后不久，爸爸发现小明的文具盒忘在家中，他立刻去追小明，将文具盒交给小明后立即返回，小明接到文具盒后又经过10分钟后到达学校，同时爸爸也正好回到家中，已知爸爸的速度是小明速度的4倍，那么小明从家中出发后几分钟爸爸才出发去追小明？
3、甲乙两人同时从A地向B地行进，甲速度始终不变，乙在前面的三分之一路程时，速度为甲的2倍，而走后面三分之二路程时，速度是甲的九分之七，问：
甲乙两人谁先到达B地？
试说明理由。
4、甲乙两人骑自行车从A地到B地，甲出发3小时后乙出发，结果乙比甲早到1个小时，如果AB两地相距120千米，甲速度是乙速度的三分之二，那么甲乙两人的速度各是多少？
5、骑车人以每分钟300米的速度，从519路公交车站始发站出发，沿519路公交车线路前进，骑车人离开出发地2100米时，一辆519公交车开出了始发站，这辆汽车每分钟行500米，行5分钟到达一战并停车1分钟等待乘客上下车，那么骑车人出发多长时间后才被519公交车追上？
6、在一条马路上，小明骑车与小光同向而行，小明骑车的速度是小光步行速度的3倍。
他们发现每隔10分钟有一辆公交车超过小光，每隔20分钟有一辆公交车超过小明。
如果公交车从始发站每次间隔相同的时间发一辆车，且每车的速度相同，则相邻两车发车间隔是多少分钟？
习题解答
A级
1、190千米。
提示：
因为客车到达乙地时，货车离乙地还有12×（5-1.2）=45.6（千米），这45.6千米货车正好需行1.2小时。
（110面）
2、24分提示：
老师的行动可以分为两个部分，从排尾到排头是一个追及问题，从排头到排尾是一个相遇问题。
从排尾到排头所用的时间：
600÷（1.5-1）=1200秒=20分
从排头到排尾用的时间：
600÷（1.5+1）=240秒=4分
3、61千米/时。
提示：
两车在离中点18千米处相遇说明快车比慢车多行了18×2=36千米。
相遇时快车行了70×4=280千米。
慢车行了280-36=244千米，因此慢车的速度是：
244÷4=61千米/时
4、24千米每小时。
提示：
设路程为s,由题意可知：
去的时间是：
，返回时的时间是：
。
所以往返一次的平均速度是
B级
1、
。
提示：
小王行的路程比甲乙两地之间的路程少42千米，小行的路程比甲乙两地之间的路程少6千米。
小王比小一共少行了42-6=36千米，小王每小时比小少行12千米，就可以求出它们一起行了36÷12=3小时。
甲乙两地距离就容易求得了
2、10×4-10=30分钟，提示：
解决本题关键在于根据爸爸的速度与小明速度的关系，把爸爸从家追上小明的时间转为小明用的时间，有题意可知，爸爸从家到追上小明用了10分钟，又知道爸爸的速度是小明速度的4倍，根据“路程一定，时间和速度成反比”，可知爸爸10分钟走的路程小明需要10×4=40分钟，所以小明需要早出发40-10=30分钟。
3、甲先到，提示：
本题只给了甲乙两人走前三分之一路程和走后三分之二路程的倍数关系，并没有给出甲乙两人具体速度，也没有给出两地的实际距离，但甲乙两人谁先到达不会因为一些具体假设数据而变化。
因此不妨设甲速度为1，两地距离为3，那么甲行完全程时间为3÷1=3小时，乙行完全程所需时间为3
小时，因为
＞3，所以甲先到达。
4、甲行完全程所用时间（3+1）÷（3-2）=12小时，乙行完全程时间（3+1）÷（3-2）×2=8小时，甲的速度：
120÷12=10千米每小时，乙的速度：
120÷8=15千米每小时，提示：
要求速度路程已知，关键是求时间，甲乙两人行完全程所用时间差是（3+1）=4小时，根据路程一定时间和速度成反比，甲乙速度比是2:
3，可以知道甲乙所用时间比是3:
2，用按比例分配的知识很容易求出时间，从而求出速度（111面）
5、如例题5，按照找规律的方式进行解答。
6、8分钟。
提示：
由于两车发车时间的间隔时间相同，车速也相同，所以两车间距也相同。
设车速为x米/分，小光步行速度为y米/分，小明骑车速度为3y米/分。
根据已知，两车间隔距离为a，则有10（x-y）=20（x-3y）=a，整理后得到x=5y.相邻两车发车的间隔时间就是a÷x=10（x-y）÷x=8（分钟）
知识要点：
火车通过大桥是指从车头上桥算起到车尾离桥为止，全车通过大桥，列车需要运动的总距离为列车车场与桥长之和。
例题解析
例1：
一列火车通过180米长的桥用时40秒，用同样的速度，穿过300米长的隧道用时48秒，求这列火车的速度和列车长度。
分析：
火车过180米厂的桥用时40秒，可以理解为火车40秒行的路程是桥长180米加上火车长，穿过300米长的隧道用时48秒，可以理解为48秒行的路程是300米加上火车长，火车过隧道比过桥多行了48-40=8（秒），多行了300-180=120米，因此火车的速度是120÷8=15米每秒。
40秒行的路程是：
40×15=600米，所以火车长为600-180=420米。
解：
（300-180）÷（48-40）=15米每秒，15×40-180=420米。
答这列火车的速度是每秒15米，车身长420米。
例2：
一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢车的车长是385米，坐在快车上的人看见慢车行驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的人看见快车行驶过的时间是多少秒？
分析：
本题要弄清楚是：
坐在快车上的人看见慢车行驶过，是从慢车车头与他相遇，到车尾离开他。
行驶的路程是一个慢车车身长，用的时间是11秒，慢车车身长385米，可以求出两车的速度和是385÷11=35米每秒，坐在慢车上的人看见快车行驶过，行驶的路程是一个快车车身长，速度和相同，可以求出需要时间：
280÷35=8秒。
解：
280÷（385÷11）8秒
答：
慢车上的人看见快车行驶过的时间是8秒。
拓展练习
A级
1、一列火车长192千米，从路边的一根电线杆旁经过用了12秒，这列火车以同样的速度通过288米得桥，需要多长的时间？
（112面）
2、某人沿着铁路边的一便道步行，一列客车从她身后开来，从她身边通过共用了15秒，客车长105米，每小时28.8千米，求步行人每小时行多少千米？
B级
1、已知一铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，整列火车完全在桥上时间为80秒，求火车的速度和长度。
2、马路上有一辆身长为15米得公共汽车，由东向西行驶，车速为每小时18千米，马路旁人行道上有甲乙两人正在练习长跑，甲由东向西跑，乙有西向东能跑，某一时刻，汽车追上了甲，6秒钟后离开了甲。
半分钟后，汽车遇到了迎面跑来的乙，又过2秒钟，汽车离开了乙，问再过几秒钟后甲乙相遇？
习题解答
A级
1、（288+192）÷（192÷12）=480÷16=30秒提示：
列车经过电线杆也就是车头到电线杆至车尾离开电线杆，一共行了一个车长192米，用了12秒，可求出火车的速度。
火车以同样的速度过288米得桥，行的路程是桥长288米及车长192米之和，路程已知，速度已知，则时间易求。
2、速度差：
105÷15=7米每秒，7米每秒=25.2千米每小时，步行速度：
28.8-25.2=3.6千米每小时。
提示：
这道题实际是人在前走，车在后追的追击问题。
火车从人身旁边通过，是从车头追到人开始车尾离开人为止，列车比行人多行的路程为火车的车长，即路程差为105米，共用15秒，由此求出速度差。
B级
1、10米每秒，200米。
提示：
以车尾标准点，火车从开始上桥到完全下桥，行的距离是一个桥长与一个车身长的和，用了120秒，整列火车完全在桥上，是从车尾刚离开桥的那一段的刹那间到火车头到达桥的另一端的刹那间。
火车行的距离是一个桥长与一个车身长的差，用了80秒，把这两组条件裂成如下形式：
桥长1000米+车长用了120秒。
桥长1000米-车长用了80秒。
比较可以得出，火车行两个车身距离用120-80=40秒，行一个桥长距离用120-20=100秒，可以求出火车的速度1000÷100=10米每秒，火车长度10×20=200米。
（113面）
2、16秒。
提示：
汽车的速度：
18千米每小时也就是5米每秒。
汽车与甲同向而行，从甲身边经过用了6秒，可以求出甲的速度：
5-15÷6=2.5米每秒，汽车与乙相向而行，从乙身边经过用了2秒，可以求出乙的速度：
15÷2-5=2.5米每秒，因为汽车离开乙时，车尾与甲的距离就是甲乙两人之间的距离，所以汽车离开时甲乙两人的距离为（5-2.5）×（30+2）80米，两人相遇时间为80÷（2.5+2.5）=16秒
4.2.4流水行船问题
知识要点：
流水行船问题中速度这一要素具有特殊性，主要体现在顺水速度、船速、水速三者的关系上面：
船速+水速=顺水速度，船速-水速=逆水速度
（顺水速度+逆水速度）÷2=船速
（顺水速度-逆水速度）÷2=水速
（注明：
此处船速指的是船在静水中的速度）
注意在不同的运行状态下，相应的量也应该是严格对应的，不可混淆：
路程=顺水速度×顺水时间=（船速+水速）×顺水时间
路程=逆水速度×逆水时间=（船速-水速）×逆水时间
例题解析
例1：
某船往返于相距180千米的两港之间，顺水而下需要10小时，逆水而上需要15小时，由于暴雨后水速增加，该船顺水而行需要9小时，那么逆水而行需要多少小时？
分析：
根据关系式：
（顺水速度+逆水速度）÷2=船速，那么可以求出船速，船速知道后可以根据顺水行船时间求出水流速度，则逆水行船的时间可以求出。
解：
船在静水中的速度为：
（180÷10+180÷15）÷2=15千米每小时，
暴雨后的水流速度为：
180÷9-15=5千米每小时
暴雨后逆水而上需要的时间为180÷（15-5）=18小时
答：
逆水而行需要18小时。
例2：
一条船顺水而行每小时航行20千米，逆水航行每小时行15千米，已知这条船在该巷道的甲乙两港间往返一次要花21小时，甲乙两港间的距离是多少千米？
分析：
顺水和逆水的速度都是已知，根据路程
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