动点问题6题含答案.docx
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动点问题6题含答案
1、已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为（4,0），（0,3）.现有两动点P,Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为
t秒.
（1）填空：
菱形ABCD的边长是、面积是、高BE
的长是；
（2）探究下列问题：
①若点P的速度为每秒
1个单位，点
Q的速度为每秒
2个单位.当点
Q
在线段
上时，求△
的面积
S
关于
t
BA
APQ
的函数关系式，以及
S的最大值；
②若点P的速度为每秒
1个单位，点Q的速度变为每
秒k个单位，在运动过程中
任何时刻都有相应的
k值，使
得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四
y
D
E
AOCx
B
边形为菱形.请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值.
2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1
个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设
B
点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t=2时，AP=，点Q到AC的距离是；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与
t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成
为直角梯形？
若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值．
．．
E
Q
D
APC
图
3、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0,2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其
一侧作等边三角线APQ。
当点P运动到原点O处时，记Q得位置
为B。
（1）求点B的坐标；
（2）求证：
当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为
定值；
（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？
若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。
1
4、如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q。
（1）试证明：
无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；
（2）当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的
1；
6
（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点
P运动到
什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形。
5、如图，梯形
ABCD中，AD∥BC,∠BAD=90°，CE⊥AD于点E,AD=8cm，BC=4cm,AB=5cm。
从初始时刻开始，动点
P,Q分别从点A,B同时出发，运动速度均为
1cm/s,动点P沿A-B--C--E
的
方向运动，到点
E停止；动点Q沿B--C--E--D
的方向运动，到点
D停止，设运动时间为xs，
PA
Q的面积为ycm2，（这里规定：
线段是面积为
0的三角形）
解答下列问题：
（1）当x=2s时，y=_____cm2;当x=
9
s时，y=_______cm2
2
（2）当5≤x≤14
时，求y与x之间的函数关系式。
（3）当动点P在线段BC上运动时，求
出y
4
S梯形ABCD时x的
15
值。
B
C
（4）直接写出在整个运动过程中，使
PQ
与四边形ABCE的对角线
．．
2
A
E
D
（备用图）
平行的所有x的值．
BQC
P
AED
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，
9
4），顶点为（1，2）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的对称轴与轴交于点
D，试在对称轴上找出点
P，使△CDP为等腰三角形，请直接写
出满足条件的所有点P的坐标．
（3）若点E是线段AB上的一个动点（与
y
A、B不重合），分
C
别连接AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，
记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？
若存在，
求出S的最大
值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．
AOD
Bx
（第6题图）
3
1、解：
（1）5,24,24
5
（2）①由题意，得AP=t，AQ=10-2t.如图1,过点Q作QG⊥AD，垂足为G，由QG∥BE得
△AQG∽△ABE,∴QG
QA,∴QG=48
48t,∴S
1APQG
24t2
24t（
5≤t≤5）.
BE
BA
5
25
2
25
5
2
∵S
24（t
5）2
6（
5≤t≤5）.
∴当t=5时，S最大值为6.
y
25
2
2
2
D
②要使△APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为
P
菱形，根据轴对称的性质，只需△
APQ为等腰三角形即可.
E
G
当t=4秒时，∵点P的速度为每秒
1个单位，∴AP=4.以下分两种情况
A
O
讨论:
Q
第一种情况：
当点Q在CB上时,
∵PQ≥BE>PA，∴只存在点Q1,使Q1A=Q1P.
B
（图1）
如图2,过点Q作QM⊥AP，垂足为点M，QM交AC于点
y
1
1
1
D
F,则AM=1
AP
2.
P
1
由△AMF∽△AOD∽△CQF得
2
EM
FM
Q1F
OD3,
∴FM
3,
A
FO
AM
CQ1
AO
4
2
∴Q1FMQ1
FM
33.
BQ1
10
（图2）
∴CQ=
4
QF=
22
.则
1t
AP
∴k
CQ1
11
.
1
3
5
kt
CQ1
AP
10
y
第二种情况：
当点
Q在BA上时,存在两点Q2,
Q3,
P
D
分别使AP=AQ2,PA=PQ3.
C
x
C
x
①若
=A，如图3,+
=10-4=6.
AP
Q
CBBQ
2
2
A
O
Cx
则1t
AP
CBBQ2
3.
∴k
kt
CB
BQ2
AP
2
Q2
B
=
3，如图4,过点
P
②若
作
⊥
，垂足为
，
（图3）
PAPQ
PNAB
N
由△ANP∽△AEB,得AN
AP.
AE
AB
∵AE=
AB2
BE2
7,
∴AN＝28.
5
25
y
∴AQ3=2AN=56,∴BC+BQ3=10-56
194
P
D
25
25
25
则1
t
AP
.∴k
CBBQ397.
E
Cx
k
t
CB
BQ3
AP
50
A
O
综上所述，当t=4
APQ
N
秒，以所得的等腰三角形
Q3
沿底边翻折，翻折后得到菱形的
k值为11或3
或97.
B
（图4）
10
2
50
4
2、解：
（1）1，8；
5
（2）作QF⊥AC于点F，如图5，AQ=CP=t，∴AP3t．
由△AQF∽△ABC，BC52
32
4，
得QF
t．∴QF
4t．
4
5
5
∴S
1
（3
t）
4
t，
2
5
即S
2t2
6t．
5
5
（3）能．
①当DE∥QB时，如图6．
∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．
此时∠AQP=90°．
由△APQ∽△ABC，得AQAP，
ACAB
即t
3t．解得t
9
．
3
5
8
②如图7，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ=90°．
由△AQP∽△ABC，得
AQ
AP，
AB
AC
即t
3
t．解得t
15．
5
3
8
（4）t
5或t
45．
2
14
【注：
①点P由C向A运动，DE经过点C．
方法一、连接
QC，作QG⊥BC于点G，如图8．
PCt，QC2
QG2
CG2
[3（5
t）]2
[4
4（5t）]2．
5
5
由PC2
QC2，得t2
[3（5
t）]2
[4
4（5t）]2，解得t
5．
5
5
2
方法二、由CQCP
AQ，得
QAC
QCA，进而可得
B
BCQ，得CQ
5
5
．
BQ，∴AQBQ
．∴t
2
2
②点P由A向C运动，DE经过点C，如图9．
（6t）2
[
3
（5
t）]2[4
4
（5
t）]2，t
45】
5
5
14
Q
D
AP
图6
Q
D
AP
图7
Q
D
AP
图8
Q
D
AP
图9
B
E
C
B
E
C
B
G
C（E）
B
G
C（E）
5
3、
（1）过点B作BC⊥y轴于点C，∵A（0,2），△AOB为等边三角形，
∴AB=OB=2，∠BAO=60°，
∴BC=3，OC=AC=1，
即B（3，1）
（2）当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，不失一般性，∵∠PAQ==∠OAB=60°，
∴∠PAO=∠QAB，
在△APO和△AQB中，
∵AP=AQ，∠PAO=∠QAB，AO=AB
∴△APO≌△AQB总成立，
∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立，
∴当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值90°。
（3）由
（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，可见AO与BQ不平行。
①当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，此时，若AB∥OQ，四边形AOQB即是梯形，
当AB∥OQ时，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°。
又OB=OA=2，可求得BQ=3，
由
（2）可知，△APO≌△AQB，∴OP=BQ=3，
∴此时P的坐标为（3，0）。
②当点P在x轴正半轴上时，点Q在嗲牛B的上方，
此时，若AQ∥OB，四边形AOQB即是梯形，
当AQ∥OB时，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°。
又AB=2，可求得BQ=23，
由
（2）可知，△APO≌△AQB，∴OP=BQ=23，
∴此时P的坐标为（23，0）。
综上，P的坐标为（
3，0）或（2
3，0）。
6
4、
（1）证明：
在正方形ABCD中，无论点P运动到AB上何处时，都有AD=AB，∠DAQ=∠BAQ，
AQ=AQ，∴△ADQ≌△ABQ；
（2）解法一：
△ADQ的面积恰好是正方形
ABCD面积的
1时，
6
过点Q作QE⊥AD于E,QF⊥AB于F，则QE=
QF
1AD
QE=
1S正方形ABCD
=8
2
4
6
3
∴QE
=
3
QE
DE
由△DEQ
∽△DAP得
AP
解得AP2
DA
∴AP
2时，△ADQ的面积是正方形
ABCD面积的1
6
解法二：
以
A为原点建立如图所示的直角坐标系，过点
Q作QE⊥y轴
于点E，QF⊥x轴于点F．
1
QE=
1
S正方形ABCD
=
8
4
AD
6
3
∴QE=
2
3
4
4
∵点Q在正方形对角线
AC上
∴Q点的坐标为
（
，）
3
3
∴过点
D
（
0
，），Q
（
4
4）两点的函数关系式为：
y
2x
4
4
3
3
当y
0时，x
2
∴P点的坐标为（2，0）
∴AP
2
时，△ADQ的面积是正方形
ABCD面积的1．
6
（3）若△ADQ是等腰三角形，则有
QD=QA或DA=DQ或AQ=AD
①当点P运动到与点B重合时，由四边形ABCD是正方形知
QD=QA
此时△ADQ是等腰三角形
②当点P与点C重合时，点Q与点C也重合，
此时DA=DQ,△ADQ是等腰三角形
③解法一：
如图，设点P在BC边上运动到CPx时，有AD=AQ
∵AD∥BC∴∠ADQ=∠CPQ
又∵∠AQD=∠CQP∠ADQ=∠AQD
7
∴∠CQP=∠CPQ
∴CQ=CP=x
∵AC=42AQ=AD=4
∴xCQACAQ424
即当CP424时，△ADQ是等腰三角形
解法二：
以A为原点建立如图所示的直角坐标系，设点P在BC上运动到BPy时，有
AD=AQ．
过点Q作QE⊥y轴于点E，QF⊥x轴于点F,则QEQF
在Rt△AQF中，AQ4，∠QAF=45°
∴QF=AQsin45°=22
∴Q点的坐标为（22，22）
∴过D、Q两点的函数关系式：
y（12）x+4
当x=4时，y842∴P点的坐标为（4，8-42）．
∴当点P在BC上运动到BP842时，△ADQ是等腰三角形。
8
5.解：
（1）2；9、
（2）当5≤x≤9时
BPCQ
A
E
D
y=S梯形ABCQ
–S△ABP–S△PCQ
=1
（5+
x-4）×4
1×5（x-5）
1（9-x）（x-4）
2
2
2
1x2
7x
65
2
2
y
1x2
7x
65
2
2
当9＜x≤13时
BC
P
A
E
Q
D
y=1
（x-9+4）（14-x）
2
1
19
x2
x
35
2
2
y
1
x2
19
x
35
22
当13＜x≤14时
BC
P
（Q）
AED
y=1×8（14-x）=-4x+56
2
即y=-4x+56
（3）当动点P在线段BC上运动时，
4
4
1
（4+8）×5=8
∵yS梯形ABCD
×
15
15
2
即x2-14x+49=0
解得x1=x2=7
9
∴当x=7时，y
4
S梯形ABCD
15
（4）
21
61
101
x
9
9
9
说明：
（1）自变量取值不含9，13可不扣分.
（2）不画草图或草图不正确，可不扣分
6、解：
（1）∵抛物线的顶点为（1，9）
2
∴设抛物线的函数关系式为y＝a（x－1）2＋9
2
∵抛物线与y轴交于点C（0，4），
∴a（0－1）2＋9＝4
2
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