南通市届高三第四次统一测试数学试题及答案.docx

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南通市届高三第四次统一测试数学试题及答案

南通市2008届高三第四次统一测试数学试题

第I部分必考内容

（命题单位：

通州中学满分160分，答卷时间120分钟）

、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分•不需写出解答过程，请把答案填写在答题纸相应位置上.

2

1•对于命题p：

€R，使得x+x+1<0.则「p为：

2•复数z=3+i,z2=1-i，则复数—-在复平面内对应的点位于第象限.

Z2

3.'X•1”是’X2•x”的条件.

4.一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1、2、……、10,击中由内至外的区域的成绩依次为10、9、……、1环，则不考虑技术因素，射击一次，在有成绩的情

况下成绩为10环的概率为.

_Lx-y<3

5.设x、y满足条件y

y>0

6.如果执行下面的程序框图，那么输出的S二

^=^+1结束

7.△ABC中，AB=J3,AC=1,NB=30”，则△ABC的面积等于

&给出下列命题：

1变量y与x之间的相关系数「二-0.9568,查表到相关系数的临界值为

Ba=0.8016，则变量y与x之间具有线性关系；

2a0,b0则不等式a3b3_3ab恒成立；

3对于函数fx=2x2mxn.若fa\>0.fb户0,则函数在a,b内至多有一个零点；

4y=fx-2与y=f2-x的图象关于x=2对称.

其中所有正确命题的序号是.

1

9.若？

ABC内切圆半径为r，三边长为a、b、c,则？

ABC的面积S=qr（a+b+c）类

比到空间，若四面体内切球半径为R,四个面的面积为0、S2、S3、S4,则四

面体的体积V=.

10.已知I#=2b式0,且关于x的函数f（x）=^x3+丄ax2+abx在R上有极值，

II32

则a与b的夹角范围为.

11.已知数列牯」为等差数列，且a+a7+a13=4兀，则nE+掠=.

2

12.函数f（x）=ln（x+1）-一的零点所在的区间是（n,n+1）,则正整数n=.

x

13.四棱锥P-ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图：

则四棱锥P-ABCD的表面积为.

左视图

是（4,a）,则当\a\>4时,

|PA||PM|的最小值是

二、解答题：

本大题共6小题，共步骤

15.（本题满分12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60

名学生，将其成绩（是不小于40不大于100的整数）分成六段

90分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算

40,50,50,60…90,1001后

（1）求第四小组的频率，并补全

这个画出如下部分频率分布直方图.

（2）观察频率分布直方图图形的

信息，估计这次考试的及格率（60

分及以上为及格）和平均分.

16.（本题满分13分）如图，在正方体

ABCD—AiBiCiDi中，E、F为棱AD、AB的中点.

（1）求证：

EF//平面CBiD仁

（2）求证：

平面CAAiCi丄平面CBiDi.

17.（本题满分15分）在ABC中，a,b,c

Tm=（2b-c,cosC）,n=（a,cosA），且m〃n.

分别是角a、B、c的对边,

（1）求角A的大小；

2n

（2）求y=2sin2Bcos（2b）的值域.

椭圆上的点到焦点的最短距离为1—V2,直线I与y轴交于点P（0,m）,与椭圆C

（1）求椭圆方程；

=40P，求m的取值范围.

—IT

（2）若0曲-OB

19.（本题满分16分）已知数列｛a*｝的首项6=1,a2=3，前n项和为Sn，且Sn.1、

2a1—

&、（n分别是直线l上的点A、B、C的横坐标，AB-BC，设an

b=1,bn1-log?

®1）bn.

⑴判断数列｛an1｝是否为等比数列，并证明你的结论；

bn13

4n十n

⑵设cn，证明：

VCk<1.

anan卅

20.对于函数f（x）,若存在Xo•R，使f（Xo）=Xo成立，则称Xo为f（X）的不动点。

x2+a

如果函数f（x）（b,c・N*）有且仅有两个不动点0、2,且

bx—c

1

f（-2）：

：

：

匚。

2

（1）试求函数f（x）的单调区间；

（2）点A（x1,f（x1））,B（x2,f（x2））,C（x3,f（x3））从左到右依次是函数y=f（x）

图象上三点，其中1讣:

:

2（i=1,2,3）,求证：

"ABC是钝角三角形.

第n部分加试内容

（命题单位：

通州中学满分40分，答卷时间30分钟）

一•必答题：

本大题共2小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1.（本小题满分10分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R

的函数：

fi（x）=x,f2（x）=x,f3（x）=x,f4（x）=sinx,f5（X）=C0SX,f6（x）=2.

（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是

奇函数的概率；

（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函

数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数■的分布列和数学期望•

2.（本小题满分10分）已知数列｛aj满足印=1，且4ani-a^n「2an=9

（nN）

（1）求印82,03月4的值；

（2）由

（1）猜想｛an｝的通项公式，并给出证明.

、选答题：

本大题共4小题，请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的

前两题记分.每小题10分，共20分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

3•（几何证明选讲）（本小题满分10分）如图所示，已知PA与OO相切，A为切点,

PBC为割线，，弦CD//AP,AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EFEC

（1）求证：

.P=EDF;

（2）求证：

CEEB=EFEP.

到3倍的伸压变换.

22

求逆矩阵M」以及椭圆％-y=1在M」的作用下的新曲线

49

的方程.

5.（坐标系与参数方程）

（本小题满分10分）已知直线l经过点P（1,1）,倾斜角〉二一，

6

（1）写出直线l的参数方程；

（2）设I与圆x2y^4相交与两点A,B，求点P到A,B两点的距离之积

6.（不等式选讲）

（本小题满分10分）设xy^1,求F=2x23y2z2的最大值.

数学试题（答卷）

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分•不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上.

1•2•3•4.

5.6.7.8.

9.10.11.12.

13.14.

二、解答题：

本大题共6小题，共90分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15.（本题满分12分）

16.（本题满分13分）

C1

C

A

F

B

17.（本题满分15分）

19.（本题满分16分）

第n部分加试内容

一.必答题：

本大题共

2小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1.（本小题满分10分）

2.（本小题满分10分）

二、选答题

选答题1，你所选择的题号是

解：

选答题2，你所选择的题号是

解：

数学试题参考答案

、填空题:

1.-x・R，均有x+x+1>02.第一象限3.充分而不必要条件4.0.01

5.46.25507.3或仝8.①④9.1R（Si+S2+&+S4）

243

10.（—,「：

］,11.312.113.S=2a2、2a214..a2—9-1

3

二、解答题：

15.（I）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：

f4=1-（0.0250.01520.010.005）10=0.33'

直方图如右所示6'

595f6

（n）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为

（0.0150.030.0250.005）10

=0.75

所以，抽样学生成绩的合格率是

75%..9'

利用组中值估算抽样学生的平均分

45f155f265f375f485

=450.1550.15650.15750.3850.25950.05

=71

估计这次考试的平均分是71分

12'

16.

（1）证明：

连结BD.

在长方体AG中，对角线BD//B1D1.

又tE、F为棱AD、AB的中点，

EF//BD.

EF//B1D1.

又BiDi=平面CB1D1,EF二平面CBQ,,

AEF//平面CBiDi.6'

（2）T在长方体AC1中，AAl丄平面AiBiCiDi，而BiDi=平面AiBiCiDi,

AAi丄BiDi.

又；在正方形AiBiCiDi中，AiCi丄BiDi,

BiDi丄平面CAAiCi.

又’一一BiDi=平面CBiDi,

■平面CAAiCi丄平面CBiDi.i3'

TT

i7.（i）由m〃n得（2b-c）cosA-acosC=04'

由正弦定理得2sinBcosA-sinCeosA-sinAcosC=0

2sinBcosA—sin（A+C）=0

二2sinBcosA—sinB=0

1兀代B「0,二.sinB=0,cosA,A二

23

2兀.

（2）y=sinBcoscos2Bsin—sin2B

3

13.

12

10

1cos2Bsin2B

22

=sin（2B）1

6

（2）由AP=pb,O+Ob=4OP

•••H1=4,L3或O点与P点重合OP=_0>

当0点与P点重合OP="3时，m=0

当匸3时，直线I与y轴相交，则斜率存在。

设I与椭圆C交点为A（xi,yi）,B（X2,y2）

y=kx+m222

22得（k+2）x+2kmx+（m—1）=0

2x+y=1

2

16'

cc2

22—2m1,、

因X=3--kz0••k^~~2>0，•—1

4m—12

容易验证k2>2m2—2成立，所以（*）成立

11

即所求m的取值范围为（一1,—）U（1,1）U{0}

19.⑴由题意得SnA3―=and2an■1

Sn-q4an

an11=2（%1）（n>2）,

-数列｛an1｝是以a,•1=2为首项，以2为公比的等比数列。

8

[则an•1=2n•an=2n-1（nN）]

⑵由an=2n-1及bn1=log2（an1）bn得bni=bnn

11

n（n「1）

2

6'

证明：

据题意A（X1,f（xJ）,B（X2,f（X2））,C（X3,f（X3））且X1

由

（1）知f（X1）>f（X2）>f（X3）,

BA二（Xi-x2，f（Xi）-f（x?

）），BC二（X3一x2，f（X3）一f（X2））

14

bABC=（X!

-X2）（X3-X2）「（xJ-fgMMxd-fX）]

-X2：

：

0,X3-X20,f（xj-f（X2）0,f（X3）-f（X2）：

：

0

.BABC：

：

0,•B（—,二）

2

即"ABC是钝角三角形.18'

第H部分加试内容

由题意知P（A）=2

C6

故E的分布列为

E

1

2

3

4

P

1

3

3

1

2

10

20

20

.1331

E=1234

2102020

10'

答：

E的数学期望为-.

4

二、选答题:

2

3.

（1）vDE=EF•EC,

•••DE:

CE=EF:

ED.

•△DEFPEA.•DE:

PE=EF

AD、BC相交于点E,「.DE•EA=CE•EB.•CE•EB=EF•EP.10'

4.（矩阵与变换）解:

.

22

椭圆—y=1在M」的作用下的新曲线的方程为x2110'

49

x=1W

（2）把直线2代入

y=14

I2

得（13t）2（1」t）2=4,t2（31）t-2=0,

22

6.

1=（x+y+zf=•V2x+于.y/Jy+1・z

if2嗚

当且仅当

2x.3yz32

〒二=且xyz=1,x,y,z=

111111111

23

F有最小值—■

11