数学分析下册答案0.docx
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数学分析下册答案0
数学分析（下册）答案
篇一：
期末考试卷及参考答案
数学分析下册期末模拟试卷及参考答案
一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分）
1、已
知u?
则?
u?
u?
，?
?
y?
x
du?
。
2、设L：
x2?
y2?
a2，则?
?
xdy?
ydx?
。
L
?
x=3cost，L：
3、设?
（0?
t?
2?
），则曲线积分?
（x2+y2）ds=。
?
y=
4、改变累次积分?
dy?
（fx，y）dx的次序为。
2y33
x?
y?
1
，则?
?
1）dxdy。
5、设DD
二、判断题（正确的打“O”;错误的打“×”；每题3分，
共15分）
px0，y0）px0，y0）1、若函数（在点（连续，则函数（点（必存在一fx，y）fx，y）
阶偏导数。
px0，y0）px0，y0）2、若函数（在点（可微，则函数（在点（连续。
fx，y）fx，y）
px0，y0）3、若函数（在点（存在二阶偏导数fxy（x0,y0）和fyx（x0,y0），则fx，y）
?
必有fxy（x0,y0）fyx（0x,0y）。
L（B,A）4、L（A,B）?
f（x,y）dx?
?
f（x,y）dx。
5、若函数（在有界闭区域D上连续，则函数（在D上可积。
fx，y）fx，y）
第1页共5页
三、计算题（每小题9分，共45分）
1、用格林公式计算曲线积分
I?
?
（exsiny?
3y）dx?
（excosy?
3）dy，
?
AO
AO为由A（a,0）到O（0,0）经过圆x2?
y2?
ax上半部分的路线。
其中?
、计算三重积分
（xV2?
y2）dxdydz，是由抛物面z?
x2?
y2与平面z?
4围成的立体。
第2页共5页
3、计算第一型曲面积分
IdS，
S
其中S是球面x2?
y2?
z2?
R2上被平面z?
a（0?
a?
R）所截下的顶部（z?
a）。
4、计算第二型曲面积分
22Iy（x?
z）dydz?
xdzdx?
（y?
xz）dxdy，
S
其中S是立方体V?
?
0,b0,b0,b?
的外表面。
第3页共5页
5、设D?
（x,y）2?
y2?
R
曲顶柱体的体积。
四、证明题（每小题7分，共14分）
1、验证曲线积分
第4页共5页?
2?
.求以圆域D为底，以曲面z?
e?
（x2?
y2）为顶的
?
（x2?
2yz）d?
x（2y?
2x）z?
dy2（?
z2，x）ydz
L
与路线无关，并求被积表达式的一个原函数u（x,y,z）。
2、证明：
若函数（在有界闭区域D上连续，则存在（?
?
）?
D,fx，y）
使得
参考答案
一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分）
1、xyxy；；dx?
dy。
22222222x?
yx?
yx?
yx?
y
2?
?
f（x,Dy）?
d?
f?
（?
?
）DS，这里SD是区域D的面积。
2、2?
a；3、54?
；4、?
dx?
f（x,y）dy；5
、1）。
223X
二、判断题（正确的打“O”;错误的打“×”；每题3分，共15分）
1、×；2、○；3、×；4、×；5、○.
第5页共5页
篇二：
数学分析：
第12章数项级数
第十二章数项级数
目的与要求：
1.使学生掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质,掌握等比级数与调和级数的敛散性；2.掌握判别正项级数敛散性的各种方法，包括比较判别法，比式判别法，根式判别法和积分判别法．
重点与难点：
本章重点是数项级数收敛性的定义,基本性质和判别正项级数敛散性的各种方法；难点则是应用柯西收敛准则判别级数的敛散性.
第一节级数的收敛性
一级数的概念
在初等数学中，我们知道：
任意有限个实数u1,u2,?
un相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论无限多个实数相加所可能出现的情形及特征.如
1111?
2?
3n?
?
从直观上可知，其和为1.2222
又如，1?
（?
1）?
1?
（?
1）?
?
.其和无意义；
若将其改写为：
（1?
1）?
（1?
1）?
（1?
1）?
?
则其和为：
0；
若写为：
1?
[（?
1）?
1]?
[（?
1）?
1]?
?
则和为：
1.（其结果完全不同）.问题：
无限多个实数相加是否存在和；
如果存在，和等于什么.
1级数的概念
定义1给定一个数列?
un?
，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式
u1?
u2?
u3un?
?
（1）
称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中un称为级数
（1）的通项.
级数
（1）简记为：
?
un，或?
un.
n?
1?
2级数的部分和
Sn?
?
uk?
u1?
u2un称之为级数?
un的第n个部分和，简称部分和.
k?
1n?
1n?
3级数的收敛性
定义2若数项级数?
un的部分和数列?
Sn?
收敛于S（即limSn?
S），则称数项级
n?
1n
数?
un收敛，称S为数项级数?
un的和，记作
n?
1n?
1?
?
S?
?
un=u1?
u2?
u3un?
?
.
n?
1?
若部分和数列?
Sn?
发散，则称数项级数?
un发散.
n?
1?
例1试讨论等比级数（几何级数）
?
aqn?
1?
a?
aq?
aq2aqn?
1?
?
，（a?
0）
n?
1?
的收敛性.
解：
见P2.
例2讨论级数11111?
22?
33?
4n（n?
1）
的收敛性.
解：
见P2.
二收敛级数的性质
1级数与数列的联系
由于级数?
un的敛散性是由它的部分和数列?
Sn?
来确定的，因而也可以认为数项级
n?
1?
数?
un是数列?
Sn?
的另一表现形式.反之，对于任意的数列?
an?
，总可视其为数项级数n?
1?
?
u
n?
1?
n?
a1?
（a2?
a1）?
（a3?
a2）（an?
an?
1）?
?
的部分和数列，此时数列?
an?
与级数a1?
（a2?
a1）?
（a3?
a2）（an?
an?
1）?
?
有相同的敛散性，因此，有
2级数收敛的准则
定理1（级数收敛的Cauchy准则）级数
（1）收敛的充要条件是：
任给正数?
，总存在正
整数N，使得当m?
N以及对任意的正整数p，都有um?
1?
um?
2um?
p?
?
.
注：
级数
（1）发散的充要条件是：
存在某个?
0?
0，对任何正整数N，总存在正整数m0（?
N）,p0，有um0?
1?
um0?
2um0?
p0?
?
0.
3级数收敛的必要条件
推论（必要条件）若级数
（1）收敛，则
limun?
.n?
?
注：
此条件只是必要的，并非充分的，如下面的例3.
例3讨论调和级数1?
的敛散性.
1?
0，但当令p?
m时，有n?
?
n?
?
n
1111um?
1?
um?
2?
um?
3u2m?
m?
1m?
2m?
32m
11111.?
2m2m2m2m2
1因此，取?
0?
，对任何正整数N，只要m?
N和p?
m就有211123n解：
显然，有limun?
lim
um0?
1?
um0?
2um0?
p0?
?
0，
故调和级数发散.
例4应用级数收敛的柯西准则证明级数?
证明：
由于um?
1?
um?
2um?
p=111（m?
1）2（m?
2）2（m?
p）21收敛.n2
?
111111.m（m?
1）（m?
1）（m?
2）m?
p?
1）（m?
p）mm?
pm
1故对0，取N?
，使当m?
N及对任何正整数p，都有?
1um?
1?
um?
2um?
p.m
故级数?
1收敛.n2
4收敛级数的性质
定理2若级数?
un与?
vn都有收敛，则对任意常数c,d，级数?
（cun?
dvn）也收敛，
n?
1n?
1n?
1
且?
（cun?
dvn）?
c?
un?
d?
vn.
n?
1n?
1n?
1
即对于收敛级数来说，交换律和结合律成立.
定理3去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性.
（即级数的敛散性与级数的有限个项无关，但其和是要改变的）.
若级数?
un收敛，设其和为S，则级数un?
1?
un?
2?
?
也收敛，且其和为
n?
1?
（简称余项），它代表用Sn代替S时所产生的误Rn?
S?
Sn.并称为级数?
un的第n个余项
n?
1?
差.
定理4在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和.注意：
从级数加括号后的收敛，不能推断加括号前的级数也收敛（即去括号法则不成立）.
如：
（1?
1）?
（1?
1）（1?
1）0?
00?
?
收敛，
而级数1?
1?
1?
1?
?
是发散的.
作业P51，2，3，4，5，6，7.
篇三：
数学分析教案（华东师大版）第十二章数项级数
第十二章数项级数
教学目的：
1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具；2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；3.理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。
教学重点难点：
本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别；难点是一般级数敛散性的判别法。
教学时数：
18学时
1级数的收敛性
一．概念：
1．级数：
级数，无穷级数;通项（一般项,第项）,前项
部分和等概念（与中学的有关概念联系）.级数常简记为
.2.级数的敛散性与和:
介绍从有限和入手,引出无限和的极限思
想.以在中学学过的无穷等比级数为蓝,定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念.
例1讨论几何级数
的敛散性.（这是一个重要例题！
）
解
时,.级数收敛;
时,级数发散;
时,,
,级数发散;
时,,,级数发散.
综上,几何级数
0开始）.当且仅当
时收敛,且和为
（注意从
例2讨论级数
的敛散性.
解（利用拆项求和的方法）
例3讨论级数
的敛散性.
解设
,
,
=
,.
,.
因此,该级数收敛.
例4讨论级数
解
的敛散性.,.级数发散.
3.级数与数列的关系:
对应部分和数列{
},收敛{
}收敛;
对每个数列{
于是,数列{
},对应级数
,对该级数,有
收敛.=
.}收敛级数
可见,级数与数列是同一问题的两种不同形式.
4.级数与无穷积分的关系:
,其中
.无穷积分可化为级数;
对每个级数,定义函数
,易见有=
.即级数可化为无穷积分.
综上所述,级数和无穷积分可以互化,它们有平行的理论和结果.可以用其中的一个研究另一个.
二.级数收敛的充要条件——Cauchy准则：
把部分和数列{
}收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy准则.Th（Cauchy准则）
.收敛
和
N,
由该定理可见,去掉或添加上或改变（包括交换次序）级数的有限项,不会影响级数的敛散性.但在收敛时,级数的和将改变.去掉前
项的级数表为
或.
系（级数收敛的必要条件）收敛
.
例5证明
级数
收敛.
证显然满足收敛的必要条件.令
,则当
时有
应用Cauchy准则时，应设法把式|
的式子，令其小于，确定
|不失真地放大成只含而不含
.例6判断级数
（验证
的敛散性..级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件）
例7（但级数发散的例）证明调和级数
发散.
证法一（用Cauchy准则的否定进行验证）
证法二
证明{
}发散.利用已证明的不等式
.即得
，
.
三．收敛级数的基本性质：
（均给出证明）
性质1收敛，—Const
收敛且有
=
（收敛级数满足分配律）
性质
2和
收敛，
收敛,且有
=
、
.问题
:
、
三者之间敛散性的关系.
收敛,则任意加括号后所得级数也收敛,且和不变.
（收敛数列满足结合律）性质3若级数
例8考查级数
该例的结果说明什么问题?
从开头每两项加括号后所得级数的敛散性.
2正项级数
一.正项级数判敛的一般原则:
1.正项级数:
2.基本定理:
Th1设
散时,有.则级数
,收敛
.且当
发↗;任意加括号不影响敛散性..（证）
正项级数敛散性的记法.
3.正项级数判敛的比较原则:
Th2设
则
ⅰ>=,
.（ⅱ>是ⅰ>的逆否命题）
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