i
K未动作前，电路处于稳定状态未动作前，未动作前C
uC
–
i=0,uC=Us
K动作后很长时间，电容放电完毕，动作后很长时间，电容放电完毕，动作后很长时间电路达到新的稳定状态
（t=t2）
K
i
R+
uC
–
i=0,uC=0
C
USR
uc
US
i
t1第二个稳定状态
过渡状态
第三个稳定状态
前一个稳定状态
0有一过渡期
t
返回
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电感电路（t=0）Us
K
K未动作前，电路处于稳定状态未动作前，未动作前
i
R+
i=0,uL=0
LK接通电源后很长时间，电路达到接通电源后很长时间，接通电源后很长时间新的稳定状态，新的稳定状态，电感视为短路
uL
–
（t→∞）R+Us
i
uL=0,i=Us/R
Li
US
uL
–
US/R
0
过渡状态
UL
t1新的稳定状态
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有一过渡期前一个稳定状态
t
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（t→∞）R+Us
i
K未动作前，电路处于稳定状态未动作前，未动作前L
uL
–
uL=0,i=Us/R
K断开瞬间断开瞬间
i
Us
K
i=0,uL=∞
L注意工程实际中的过电压过电流现象
R
+
uL
–
返回
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换路
电路结构、电路结构、状态发生变化
支路接入或断开电路参数变化
过渡过程产生的原因
电路内部含有储能元件L、C，电路在换路时能量发，生变化，能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
wp=?
t
t?
0
p?
∞
返回
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2.动态电路的方程
应用KVL和电容的和电容的VCR得：
应用和电容的得us（t））
（t>0）R+
i
ducRi+uc=uS（t）i=CdtducRC+uc=uS（t）dt1若以电流为变量：
若以电流为变量：
Ri+∫idt=uS（t）CdiiduS（t）R+=dtCdt
返回
uC
–
C
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应用KVL和电感的和电感的VCR得：
应用和电感的得
diRi+uL=uS（t）uL=LR+dtu（t））uLsdiRi+L=uS（t）–dtR若以电感电压为变量：
若以电感电压为变量：
∫uLdt+uL=uS（t）LRduLduS（t）uL+=Ldtdt一阶电路
有源电阻电路一个动态元件
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（t>0）
i
L
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Ri+uL+uc=uS（t）
duci=Cdt
2
（t>0）＋uS（t））－－R+
i
diuL=Ldt
uC
C
uL
L
＋–
ducducLC2+RC+uc=uS（t）dtdt
若以电流为变量：
若以电流为变量：
二阶电路
di1Ri+L+∫idt=uS（t）dtC
duS（t）did2i1R+L2+i=dtdtCdt
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结论：
结论：
（1）描述动态电路的电路方程为微分方程；描述动态电路的电路方程为微分方程；
（2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；一阶电路一阶电路中只有一个动态元件,描述一阶电路中只有一个动态元件描述电路的方程是一阶线性微分方程。
电路的方程是一阶线性微分方程。
dxa1+a0x=e（t）t≥0dt
二阶电路二阶电路中有二个动态元件,描述电二阶电路中有二个动态元件描述电路的方程是二阶线性微分方程。
路的方程是二阶线性微分方程。
d2xdxa22+a1+a0x=e（t）t≥0dtdt
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高阶电路
电路中有多个动态元件，电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。
的方程是高阶微分方程。
n?
1
dxdxdxann+an?
1n?
1+L+a1+a0x=e（t）t≥0dtdtdt
动态电路的分析方法
（1）根据）根据KVl、KCL和VCR建立微分方程、和建立微分方程
n
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（2）求解微分方程时域分析法本章采用经典法状态变量法卷积积分数值法复频域分析法拉普拉斯变换法状态变量法付氏变换
工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。
工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。
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稳态分析和动态分析的区别
稳态恒定或周期性激励换路发生很长时间后状态微分方程的特解动态任意激励换路发生后的整个过程微分方程的一般解
dxa1+a0x=USdt
t?
∞
dx=0dt
a0x=US
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3.电路的初始条件
（1）t=0＋与t=0－的概念
f（0?
）=f（0+）
f（t）
认为换路在t=0时刻进行时刻进行0－0＋换路前一瞬间换路后一瞬间
f（0?
）≠f（0+）
t0－00＋
f（0）=limf（t）
t→0t<0
f（0+）=limf（t）
t→0t>0
初始条件为t=0＋时u，i及其各阶导数的值
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例
ducRC+uc=0dt特征根方程：
特征根方程：
RCp+1=0=
得通解：
得通解：
pt
图示为电容放电电路，电容原先带有电压图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo,求开关闭合后电容电压随时间的变化。
求开关闭合后电容电压随时间的变化。
（t=0）+解Ri+uc=0（t≥0）uRCi－
C
p=?
1RC
tRC?
tRC
uc（t）=ke=ke
代入初始条件得：
代入初始条件得：
k=Uo
uc（t）=Uoe
说明在动态电路的分析中，初始条件是得到确说明在动态电路的分析中，定解答的必需条件。
定解答的必需条件。
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1tuC（t）=∫i（ξ）dξ
（2）电容的初始条件C?
∞10?
1t=∫i（ξ）dξ+∫?
i（ξ）dξ+iC?
∞C0uc
-
C
t=0+时刻
1t=uC（0）+∫?
i（ξ）dξC00+10+?
uC（0）=uC（0）+∫?
i（ξ）dξC0
当i（ξ）为有限值时ξ为有限值时
uC（0+）=uC（0－）q（0+）=q（0－）
q=CuC
结论
电荷守恒
换路瞬间，若电容电流保持为有限值，换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
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1t（3）电感的初始条件iL（t）=∫uξ）d（ξL?
∞101t=∫u（ξ）dξ+∫u（ξ））dξ+iLL?
∞L0Lu1t?
=iL（0）+∫?
u（ξ）dξL0+010+?
t=0+时刻iL（0）=iL（0）+∫?
u（ξ）dξL0当u为有限值时iL（0＋）=iL（0－）磁链
?
ψ=LiL
结论
ψL（0＋）=ψL（0－）
守恒
换路瞬间，若电感电压保持为有限值，换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
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（4）换路定律
qc（0+）=qc（0－）
换路瞬间，若电容电流保持为有限值，换路瞬间，若电容电流保持为有限值，
则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
uC（0+）=uC（0－）则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
ψL（0+）=ψL（0）换路瞬间，若电感电压保持为有限值，换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
－
iL（0+）=iL（0－）
注意:
注意
则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
（1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。
电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。
（2）换路定律反映了能量不能跃变。
换路定律反映了能量不能跃变。
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5.电路初始值的确定5.电路初始值的确定例1
求iC（0+）iC
（1）由0－电路求uC（0－）或iL（0－）或
++
uC
10k10V
+
40kuC
++-
i10k40kk10V
-
-
电容开路
+
8ViC
-
uC（0－）=8V
（2）由换路定律
uC（0+）=uC（0－）=8V
（3）由0+等效电路求iC（0+）
i10k10V
0+等效电路
10?
8iC（0）=A=0.2m10
+
电容用电电容用电压源替代压源替代
iC（0－-）=0
iC（0+）
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例2
1?
?
K10V0+电路
t=0时闭合开关,求uL（0+）时闭合开关k时闭合开关4?
?
LiL1?
?
4?
?
1?
?
解先求
4?
?
iL（0?
）
电感短路
+
uL
-
10V
+
10V电感用电电感用电流源替代流源替代2AuL
10iL（0）==2A1+4
QuL（0）=0∴uL（0）=0
由换路定律:
由换路定律
-
×
+
iL（0+）=iL（0－）=2A
uL（0+）=?
2×4=?
8V
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求初始值的步骤:
求初始值的步骤由换路前电路（一般为稳定状态）1.由换路前电路（一般为稳定状态）求uC（0－）和iL（0－）；和；2.由换路定律得uC（0+）和iL（0+）。
。
等效电路。
3.画0+等效电路。
a.换路后的电路电容（电感）用电压源（电流源）替代。
b.电容（电感）用电压源（电流源）替代。
时刻值，（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。
电压、电感电流方向相同）。
电路求所需各变量的04.由0+电路求所需各变量的+值。
返回
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例3
求iC（0+）,uL（0+）Li
L
解
iC+
电路得：
由0－电路得：
+u–IS
L
R
K（t=0）
C
uC
–
IS
R
0－电路
0+电路IS+u–
L
iL（0+）=iL（0－）=IS
iC+RIS–
uC（0+）=uC（0－）=RIS
电路得：
由0＋电路得：
R
RISiC（0）=Is?
=0R
+
uL（0+）=-RIS
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例3
求K闭合瞬间各支路电流和电感电压闭合瞬间各支路电流和电感电压电路得：
由0－电路得：
2?
?
解
+
48V
+
KLiLuL2?
?
3?
?
C
+
2?
?
iL
3?
?
2?
+?
uC－
-
-
48V
+?
电路得：
由0+电路得：
iL（0）=iL（0）=48/4=12A
uC（0?
）=uC（0+）=2×12=24V
i+
+uL
iC
2?
?
-
48V12A
+
3?
?
24V
iC（0+）=（48?
24）/3=8A
i（0+）=12+8=20A
-
uL（0+）=48?
2×12=24V
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例4
闭合瞬间流过它的电流值。
求K闭合瞬间流过它的电流值。
闭合瞬间流过它的电流值CL解iL
（1）确定0－值确定0
+uC－
100?
?
100?
?
K
+
200V
200iL（0）=iL（0）==1A200100?
?
uC（0+）=uC（0?
）=100V
+
－
（2）给出0＋等效电路给出0
－
+
1A
uL
+
100V
iC100?
?
200100ik（0）=+?
1=2A100100
+
100?
?
+
100?
?
uL（0+）=?
iL（0+）×100=100V
ik
200V
iC（0+）=?
uC（0+）/100=?
1A
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-
6.2
零输入响应
一阶电路的零输入响应
换路后外加激励为零，换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流。
始储能所产生的电压和电流。
已知uC（0－）=U0
1.RC电路的零输入响应电路的零输入响应
K（t=0）
i
+R
uR+uC=0
uR
–
C
uC
–
+
dui=?
CCdt
uR=Ri
duRCC+u=0Cdtu（0+）=U0C
特征方程则
RCp+1=0
pt
特征根
1tRC
uC=Ae
1p=?
RC
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e=A
u=Aec
1tRC
代入初始值uC（0+）=uC（0－）=U0
A=U0
uc=U0e
t?
RC
t?
RC
t≥0
t≥0
tRC
uCU0i=e=RR
=I0e
tRC
t?
RC
du或i=?
CC=?
CU0edt
U01（?
）=eRCR
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从以上各式可以得出：
从以上各式可以得出：
（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；
U0uC0
连续函数
I00
i
跃变
t
t
有关；
（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关；响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与有关令τ=RC,称τ为一阶电路的时间常数
秒?
库?
?
安?
[τ]=[RC]=[欧][法]=[欧]?
?
=[欧]?
?
=[秒]?
伏?
?
伏?
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τ=RC
11p=?
=?
RCτ
时间常数τ的大小反映了电路过渡过程时间的长短
τ大→过渡过程时间长τ小→过渡过程时间短
ucU00
τ大τ小
t
物理含义
电压初值一定：
电压初值一定：
储能大
C大（R一定）W=Cu2/2一定）一定R大（C一定）一定）一定
放电时间长
i=u/R
放电电流小
返回
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t
0
t
τ
2τU0e-2
3τU0e-3
5τU0e-50.007U0
u=U0ec
τ
U0U0e-1U00.368U0
0.135U00.05U0
τ：
电容电压衰减到原来电压电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。
所需的时间。
所需的时间
工程上认为,过渡过程结束。
工程上认为,经过3τ－5τ,过渡过程结束。
t1时刻曲线的斜率等于ucI00t1
duCdt
t1
=?
U0
τ
e
tt1
τ
uC（t1）?
0=?
uC（t1）=τt1?
t21
次切距的长度
τ
t2
t
τ＝t2－t1
uC（t2）=0.368uC（t1）
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（3）能量关系
电容不断释放能量被电阻吸收,电容不断释放能量被电阻吸收,不断释放能量被电阻吸收直到全部消耗完毕.直到全部消耗完毕.
CRuC－
+
设uC（0+）=U0
电容放出能量：
电容放出能量：
电阻吸收（消耗）能量：
电阻吸收（消耗）能量：
12C0U2
WR=∫
U=R
20
∞
0
∫
∞
0
U0iRdt=∫0（e）RdtR2t2t2?
?
U0RCRC∞RCe）|0edt=（?
R2
2
∞
tRC2
12=CU02
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已知图示电路中的电容原本充有24V电压，求K电压，已知图示电路中的电容原本充有电压闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。
闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。
i1K这是一个求一阶RC零输解这是一个求一阶零输2?
?
入响应问题，入响应问题，有：
i2+5Ft3?
?
uC?
6?
?
RC－uc=U0et≥0i3
例
代U0=24Vτ=RC=5×4=20s入
等效电路
uc=24eV
t20
i1=uC4=6e
t
t20
t≥0
t>0i1
A
t
5F
+
－
uC
4?
?
?
212020分流得：
分流得：
i2=i1=4eAi3=i1=2eA33
返回
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2.RL电路的零输入响应电路的零输入响应
R1US
USRiL（0）=iL（0）==I0R1+R+diK（t=0）LuLL+R=0t≥0i–dt
i
+
R
i
L
t>0+
特征方程Lp+R=0特征根
uL
–
i（t）=Ae
ptR?
tL
Rp=?
L
pt
代入初始值i（0+）=I0
A=i（0+）=I0
得i（t）=I0e=I0e
t≥0
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iL（t）=I0e
t?
L/R
diL=?
RI0et≥0uL（t）=Ldt
tL/R
从以上式子可以得出：
从以上式子可以得出：
（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；
I00
iL
连续函数
uLt-RI0
跃变
t
有关；
（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关；响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与有关
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令τ=L/R,
称为一阶RL电路时间常数称为一阶电路时间常数
L亨韦伏?
秒[τ]=[]=[]=[]=[]=[秒]R欧安?
欧安?
欧
τ=L/R
1?
1p==L/Rτ
τ小→过渡过程时间短
时间常数τ的大小反映了电路过渡过程时间的长短
τ大→过渡过程时间长
物理含义
电流初值i（0）一定：
电流初值一定：
一定放电慢τ大
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L大W=Li2/2起始能量大大R小P=Ri2放电过程消耗能量小小
（3）能量关系R
电感不断释放能量被电阻吸收,电感不断释放能量被电阻吸收,不断释放能量被电阻吸收直到全部消耗完
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