复变函数及积分变换重要知识总结点总结归纳.docx
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复变函数及积分变换重要知识总结点总结归纳
复变函数与积分变换重要知识
点归纳
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?
复变函数复习重点
（一）复数的看法
复数的看法：
zxiy
x,y是实数
xRez,yImz
i2
1.
1.
.
注:
一般两个复数不比较大小,但其模（为实数）有大小．
2．复数的表示?
）模：
z
x2
y2;
1
2）幅角:
在z
0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Argz（多值函数）；
主值argz是位于（
]中的幅角。
３）argz与arctany之间的关系以下:
x
arctany;
当x
0,
argz
x
y
0,argz
arctany
当x
0,
x
；
y
y
0,argz
arctan
x
4）三角表示：
z
z
cos
isin
，其中
argz；注：
中间必然是“+”
号。
5）指数表示：
z
zei，其中
argz。
（二）
复数的运算
1.加减法：
若z1
x1
iy1,z2
x2
iy2,则z1z2
x1
x2
iy1y2
2.乘除法：
）
x1
iy1,z2
x2
iy2,则
１若z1
z1z2
x1x2
y1y2
ix2y1
x1y2;
z1
x1
iy1
x1
iy1
x2
iy2
x1x2
y1y2
y1x2
y2x1
。
z2
x2
iy2
x2
iy2
x2
iy2
x22
y22
i
y22
x22
）若z1
z1ei
1,z2
z2ei2,则
2
i12
;
z1
z1
i1
2
z1z2z1z2e
z2
z2
e
３.乘幂与方根
1）若z
z（cos
isin）
zei,则zn
n
n
z（cosn
isinn）zein。
2）若z
z（cos
isin）
zei，则
nz
1
2k
2k
n1）（有n个相异的
zncos
isin
（k0,1,2
n
n
值）
（三）复变函数
.复变函数：
wfz，在几何上能够看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的照射．
2.复初等函数
1）指数函数:
ez
excosyisiny,在z平面各处可导，各处解析；且
ez
ez。
注：
ez是以2i为周期的周期函数。
（注意与实函数不同样）
3）对数函数：
Lnzlnz
i（argz2k）（k0,1,2）（多值函数）;
主值:
lnz
lnz
iargz。
（单值函数）
Lnz的每一个主值分支
lnz在除去原点及负实轴的
z平面内各处
解析且lnz
1;
z
注:
负复数也有对数存在。
（与实函数不同样）
3）乘幂与幂函数：
ab
ebLna
（a0）;zb
ebLnz
（z0）
注:
在除去原点及负实轴的
z平面内各处解析,且zb
bzb1。
4）三角函数:
sinz
eiz
eiz
cosz
eiz
eiz
tgz
sinz,ctgz
cosz
2i
2
cosz
sinz
sinz,cosz在z平面内解析,且sinz
cosz,coszsinz
注：
有界性sinz1,cosz
1不再成立；（与实函数不同样）
4）双曲函数
shz
ez
ez
chz
ez
ez
;
2
2
shz奇函数,
chz是偶函数。
shz,chz
在z平面内解析，且
shzchz,chz
shz。
（四）解析函数的看法
1.复变函数的导数
１点可导：
f
z0
=lim
fz0
zfz0；
）
z
0
z
２）地域可导:
fz在地域内点点可导。
２．解析函数的看法
１点解析
:
在z
及其z
的邻域内可导,称fz在z点解析；
）
f
z
0
0
0
2）地域解析:
f
z
在地域内每一点解析,称f
z在地域内解析；
）若f（z）
在z0点不解析,称z0
为fz的奇点;
3
3．解析函数的运算法规
:
解析函数的和、差、积、商
（除分母为零
的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数
;
（五）函数可导与解析的充要条件
1．函数可导的充要条件：
fzux,yivx,y在zx
iy可导
ux,y
和vx,y在x,y可微,且在x,y
处满足CD条件：
u
v,
u
v
x
y
y
x
此时，有f
z
u
iv。
x
x
2．函数解析的充要条件:
fzux,yivx,y在地域内解析
ux,y和vx,y
在x,y在D内可微,且满足C
D条
件:
u
v,
u
v；
x
y
y
x
此时f
z
u
iv。
x
x
注意:
若ux,y,vx,y在地域D拥有一阶连续偏导数
则ux,y
vx,y
在地域D内是可微的。
因此在使用充要条件证明时
只要能说明
u,v拥有一阶连续偏导且满足CR条件时，函数f（z）uiv必然是
可导或解析的。
3.函数可导与解析的鉴识方法
1）利用定义
（题目要求用定义,如第二章习题１）
２）利用充要条件
（函数以f
z
u
x,y
ivx,y
形式给出,如第二章
习题２）
３）利用可导或解析函数的四则运算定理。
（函数fz是以z的形式
给出，如第二章习题
3）
（六）复变函数积分的看法与性质
1．复变函数积分的看法：
n
zk,c是圆滑曲线。
f
zdz
lim
fk
c
n
k1
注:
复变函数的积分实质是复平面上的线积分。
2．复变函数积分的性质
1）
2）
fzdz
c
1
fzdz
（c1与c的方向相反）；
c
c[fz
g
z]dz
c
fzdz
cgzdz,,是常数;
3）若曲线c由c1与c2连接而成，则fzdz
fzdz
fzdz。
c
c1
c2
3．复变函数积分的一般计算法
1）化为线积分：
c
fzdz
c
udx
vdy
i
vdxudy；（常用于理论证明）
c
2）参数方法:
设曲线c：
对应曲线c的终点,则
z
c
f
zt（
zdz
t
），其中对应曲线
f[zt]z（t）dt。
c的起点
（七）关于复变函数积分的重要定理与结论
1．柯西—古萨基本定理：
设fz在单连域B内解析,c为B内任一闭曲线,则
f
zdz0
c
2.复合闭路定理：
设fz
在多连域D内解析,c为D内任意一条简
单闭曲线,c1,c2,
cn是c内的简单闭曲线,它们互不包含互不订交，
并且以c1,c2,
cn为界线的地域全含于D内,则
①
fz
dz
n
其中c与ck均取正向；
fzdz,
c
k
1ck
②
fzdz
0,其中由c及c1（k1,2,n）所组成的复合闭路。
3．闭路变形原理:
一个在地域D内的解析函数fz沿闭曲线c的积分，不因c在D内作连续变形而改变它的值,只要在变形过程中
不经过使fz不解析的奇点。
４．解析函数沿非闭曲线的积分：
设fz在单连域B内解析，Gz
为fz在B内的一个原函数，则
z2
fzdzGz2Gz1（z1,z2B）
z1
说明：
解析函数fz沿非闭曲线的积分与积分路径没关，计算
时只要求出原函数即可。
5。
柯西积分公式：
设fz在地域D内解析,c为D内任一正向简单闭曲线，c的内部完好属于D，z0为c内任意一点，则
fz
2
ifz0
dz
czz0
6．高阶导数公式：
解析函数f
z的导数仍为解析函数
它的n阶导
数为
fz
n1dz
2i
f
n
z0
（n1,2
）
c
（zz0）
n!
其中c为f
z
的解析地域D内围绕z0
的任何一条正向简单闭曲线,而
且它的内部完好属于
D。
7.重要结论：
1
n1dz
2
i,n
0
。
（c是包含a的任意正向简单闭曲
（z
a）
0,
n
0
c
线）
8.复变函数积分的计算方法
1）若fz在地域D内各处不解析，用一般积分法
fzdz
f[zt]ztdt
c
２）设fz在地域D内解析，
c是D内一条正向简单闭曲线
则由柯西—古萨定理,c
fzdz0
c是D内的一条非闭曲线,z1,z2
对应曲线c的起点和终点，则有
z2
Fz1
c
fzdzfzdzFz2
z1
3）设f
z在地域D内不解析
f
z
2
if
z0
z
dz
c
z0
（f（z）在c内解析）
曲线c内仅有一个奇点：
fz
2
i
dz
fnz
c（z
z）n
1
n!
0
0
曲线c内有多于一个奇点:
f
zdz
n
zdz（ci内只有一个奇点
k
1ck
f
c
zk）
或:
fzdz
n
Res[f（z）,zk]（留数基本定理）
2i
c
k
1
fz
若被积函数不能够表示成（zz）n1
，则须改用第五章留数定理来计
o
算。
（八）解析函数与调停函数的关系
１.调停函数的看法：
若二元实函数
（x,y）在D内有二阶连续偏导数
22
且满足x2y20,
（x,y）为D内的调停函数。
2．解析函数与调停函数的关系
解析函数fzuiv的实部u与虚部v都是调停函数,并称虚部v
为实部u的共轭调停函数。
两个调停函数u与v组成的函数f（z）uiv不用然是解析函数;但
是若u,v若是满足柯西—
黎曼方程,则uiv必然是解析函数。
3．已知解析函数fz的实部或虚部,求解析函数fzuiv的方法。
1）偏微分法:
若已知实部u
ux,y,利用C
R条件,得v,v;
x
y
对v
u两边积分，得v
u
g
x
（＊）
dy
y
x
x
再对（＊）式两边对x求偏导，得
v
x
udygx（＊*）
x
x
由C
R条件,u
v,得u
x
udy
g
x,可求出
gx；
y
x
y
x
代入（*）式，可求得
虚部v
udy
g
x
。
x
2）线积分法:
若已知实部uux,y
，利用C
R条件可得
dvvdxvdyudxudy，
xyyx
x,y
故虚部为v
x0,y0
udx
udyc；
y
x
由于该积分与路径没关
可采用简单路径
（如折线）计算它，其中
x0,y0与x,y是解析地域中的两点。
３）不定积分法：
若已知实部u
u
x,y，依照解析函数的导数公式
和CR条件得知，
f
z
u
i
v
u
iu
x
y
x
y
将此式右端表示成z的函数U
z
，由于f
z仍为解析函数，故
fz
Uzdz
c
（c为实常数）
注:
若已知虚部v也可用近似方法求出实部
u.
（九）复数项级数
１.复数列的极限
1）复数列{n}{anibn}（n
1,2
）收敛于复数
abi的充要条件为
liman
a,
limbn
b
（同时成立）
n
n
２）复数列{n}收敛
实数列{an},{bn}同时收敛。
2.复数项级数
1）复数项级数n（nanibn）收敛的充要条件是级数an与bn同
n0n0n0
时收敛;
2）级数收敛的必要条件是
limn0。
n
注：
复数项级数的敛散性能够归纳为两个实数项级数的敛散性问
题的谈论。
（十）幂级数的敛散性
1.幂级数的看法:
表达式
cn（z
z0）n或
cnzn为幂级数。
n
0
n0
２.幂级数的敛散性
1）幂级数的收敛定理—
阿贝尔定理（Abel）:
若是幂级数
cnzn在z00
n
0
处收敛那么对满足z
z0的所有
，该级数绝对收敛;若是在z0处
z
发散，那么对满足
z
z0的所有z,级数必发散。
2）幂级数的收敛域—圆域
幂级数在收敛圆域内
绝对收敛；在圆域外
发散；在收敛圆的圆
周上可能收敛;也可能发散。
3）收敛半径的求法：
收敛圆的半径称收敛半径。
比值法
若是lim
cn1
0,则收敛半径R
1；
n
cn
根值法
lim
cn
0，则收敛半径R
1;
n
若是
0,则R
;说明在整个复平面上各处收敛；
若是
，则R0;说明仅在z
z0或z0点收敛;
注：
若幂级数出缺项时
不能够直接套用公式求收敛半径。
（如cnz2n）
n0
3．幂级数的性质
1）代数性质:
设
anzn,
bnzn的收敛半径分别为R1与R2，记
n0
n0
RminR1,R2
，
则当z
R时,有
（anbn）zn
anzn
bnzn
（线性运算）
n0
n0
n0
（
anzn）（bnzn）
（anb0
an1b1
a0bn）zn
（乘积运算）
n
0
n0
n0
２）复合性质
:
设当
r时,f
an
n,当zR时,
gz解析且
n0
g
z
r，
则当zR时，f[gz]an[gz]n。
n0
3）
解析运算性质:
设幂级数
anzn的收敛半径为R
0，则
n0
其和函数fzanzn是收敛圆内的解析函数；
n0
在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变;且fz
nanzn1
n
0
zR
在收敛圆内可逐项求积,收敛半径不变;fzdz
an
zn1
z
0
n
1
n0
zR
（十一）幂函数的泰勒张开
１.泰勒张开:
设函数fz
在圆域z
z0
R内解析,则在此圆域内
fz
能够张开成幂级数fz
fn
z0
z
z0
n；并且此张开式是唯一的。
n0
n!
注：
若fz在z0解析,则f
z在z0的泰勒张开式成立的圆域的收敛
半
径Rz0a；
其中R为从z0到fz的距z0近来一个奇点a之间的距离。
2.常用函数在z00的泰勒张开式
23n
1）ez1zn1zzzzz
n0n!
2!
3!
n!
２）1
zn
1zz2
zn
z1
1z
n0
3）
sinz
（1）n
z2n
1
z
z3
z5
（
1）n
z2n1
z
n
0（2n
1）!
3!
5!
（2n
1）!
4）
cosz
（1）n
z2n
1
z2
z4
（1）n
z2n
z
n
0（2n）!
2!
4!
（2n）!
３.解析函数张开成泰勒级数的方法
1）直接法：
直接求出cn
1fn
z0，于是fz
cnzz0
n。
n!
n0
2）间接法：
利用已知函数的泰勒张开式及幂级数的代数运算、复
合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数张开。
（十二）幂函数的洛朗张开
１.洛朗级数的看法:
cnz
z0
n，含正幂项和负幂项。
n
２．洛朗张开定理设函数f
z
在圆环域R1zz0
R2内各处解析,
:
c
为圆环域内绕z0的任意一条正向简单闭曲线，
则在此在圆环
域内,有fz
cnzz0
n
且张开式唯一。
n
3．解析函数的洛朗张开法:
洛朗级数一般只能用间接法张开。
*4．利用洛朗级数求围线积分：
设
fz在rz
z0
R内解析，c为
rzz0R内的任何一条正向简单闭曲线，
则
f
zdz2
ic1。
其中
c
c1为f（z）在rzz0R内洛朗张开式中
1
的系数。
z
z0
说明：
围线积分可转变成求被积函数的洛朗张开式中
（z
z0）1的系
数。
（十三）孤立奇点的看法与分类
1。
孤立奇点的定义:
fz在z0点不解析，但在z0的0zz0内解
析。
2。
孤立奇点
升级会员 