式中^
A=^J护三绘7号~
其中
N=,1（左）
J卜尸町+4$俨
称为动力系瓠儿二—二号口为在干扰力幅值作用下质点粘的静位移•0=2称为频比.由上moay
式可知，动力系数“20和首有关。
当0・禅0〈1・25范围內（称此范围为英振区）冷对口的彫响极;fc但在此范围以外，则｛对"的彫响较小。
也就是说，在共振区范围內雯考虑阻尼的彫响，而在共振区之外，可按无阻尼芳虑。
"的最大值发生在—Ji-2严处，因｛通常很小，近似地认沟以二1时悴系发生共振，此时动力系数由式©可得
由解可知，因阻尼的存在，位移总是湍后于振动荷载。
（2）在简谐荷載作用下，无阻尼的单自由度体系的受迫振动.
将上述有阻尼情况所得的计算公式中，令芒二0（或C二0）,即可得无阻尼时的计算公式。
动平衡方程为
砒f）十需=Fsin刃（/）
其稳态解为
（G
由于基础的水平方向简谐振动辽（f）=Lsin所引起质点处
y[i）=j4sin
式中虫=姒/=严诺莎动力系数为
H=2
（2）
1-02
共振时“=CO■
现若察图6-4-3（Q）所示单自由度体系的振幅.不笔虑阻尼4
图6-4-3
质点珑在某一瞬时的位移如图沪4・3仏）所示，它由两部分位移组成。
一是随基础一起发生位移讥切另一是与基础的相对位移觅），故质点上的弹性力馳）=-勾加）而惯'性力山）=—就池）+眾）］，以质点为隔离体（图6-4-3（b））,可得动平衡方程为一炖松©+%）］_上0或邂沌）+氐11沁）=一沁（”（丿）
Z7sinet代入上式，可得衬0）+尤2@）=购?
7&2血&2（班）
俗上两式与式（Q对照可知，-诫®相当于动荷载现），而mU&\则相当于简谐荷毀的幅值P,由此可得质点翻相对于基础的位移幅值7°为
mo）
于是，质点哝总的位移幅值为虫=（/+加=⑴
因0=£,且少=nz=区,当&不变，而対］越小或/I】越尢归就越小，而©越大，艮值随之
越小。
此时从式：
（门可知，质点用的振动幅值较之基础水平振动幅值要小得多。
我们常利用这一特点来采取隔拯措施。
如对精密仪器的工作台为了防振，将其支承在柔性弹簧上，可以达到较好的隔振效果。
四、多自由度体系的自由振动
图6-4-4
研究务自由度体系的自由振动主要是求体系的自振频率和相应的振型。
如團沪4-4«）所示两个自由度体系，可按图6-4-4匸）所示在两个惯性力作用下，夢照图6-4-4（c）s（£）所示柔度系数，可列出两个质点的位移方程为：
PiP）二一吗丹的办1—滋莎2P）Aa
血@）=-加1X-吟％P）心
设
几同=人sin仙才+0）［⑺
/2（t）=&sin@r+甲）
将式（。
）代入方程消去因子sm（Qf+劲，并加以整理，可得
（b）
因卫广4不能全为零，故应有
令2二丄，展开上式芥解之可得
:
卜辿严士怦严才一呃仗品肓
渺］称为第一频率，也之称为第二频率。
由式3）第一式可求出对应于心】、02两个频率的两种振动型式（称之沖主振型），即第一振型沖
尹FT"
第二振型为
据此可分别作出两个主振型图.可用振型的正交性
皿唧）+翅型皆二0
进行校核。
值得指出’当体系齿对称时，则体系主振型必然是对称的和反对称的自由振动。
如图「4-5（小所示刚架，它为两个自由度体系。
列两横梁的动平衡方程时，先设想在两横梁处加上附加水平链杆，如图6-4-5（b）所不。
根据两附加链杆总的水平反力应为零并参照图6-4-5（c人Jd、、（所示的琏杆反力，可列出动平衡方程为
图6-4-5俎必的+妬2兀@）+附诽）=「［心皿仍+血小的+恋抑）=M
将式（&）代入上式并小曲因子sin（^t+閔加以整理可得ki-^i^X+^A=o'|（q）
Arn4+（k22=oj
据此可求得第一频率©和第二频率少2'
由式（C）第一式可求得相应的两个振型分别为:
AV-陥c
皆—®①：
-环—C
据此可以作出振
平一—阮—一A
型图.
【例题1］分析图6-4-6（a）s（c）、（e）、（g）、（i）所示体系的自由度。
不it杆件的分布质量。
图6-4-6
解三图6-4-6（a）所示体系有一个质点•不计杆的轴向变形，则质点只能水平运就b不能竖向运动，只有一个位移分量》©,故自由度为1。
若在质点上加一个水平支杆，则质电不能发生任何运动（图6-4-6“，也可确定其自由度为丄。
图旷4P（c）所示体系有两个质点。
不计杆的轴向变形，两个质点的水平位移相同均为均无竖向位移，若在其中一个质点上加一个水平支杆则两个质点均不能运动（图6-4-6d）0故该体系具有一个自由度为单自由度体系。
可见，自由度数不一定等于质点个数，自由度与体系是静定结构还有超静定结构无关。
S6-4-S（e）所示体系有一个质点。
由于杆件可发生弹性弯曲变形，质点有竖向和水平的两个位移分重，这两个位移相互独立，报有两个自由度。
加支杆确定时如图6-4-6住）所示。
图6-4-69）所示休系有两个质点,杆件可发生卿性弯曲变形，质点有竖向和水平的两个位
移分量，
这两个位移相互独立,故有两个自由度。
加支杆确定时如图6-4-6（h）所示。
图6-4-6（i）所示休系有两f质点，质点有竖向两个位移分量和水平向一个位移分量，这三
个位移相互独立,
故有三个自由度。
加支杆确定时如图6-4-6（j）所示。
【例题2】图6-4-?
（a）所示为二层房屋的动力计算简图，柱子无质量（质量已集中到横梁h不计梁的弯曲=确定其自由度。
B：
由于不计杆的轴向变形，梁的两端不能上下运动；又因为梁无弯圧变形，梁上各点只能水平运动且位移相同。
只雯在两个梁端加水平支杆，则所有质量均不能运动（如图b）。
故此体系有两个自由度.
【例题3】列出图6-4-8（a）所示简支梁的运动方程.
（bl
图6-4-8
解：
设汽质点重力风引起的静位移，加）次从静平衡位苴量起的附加位移，F©汁质点的总位移（见图6-4-8a）B在质点上加惯性力-瞬F（",列位移方程，有
加郭）-眈陀）+岡=時）
式中左端三项分别次动荷我、惯性力、重力引起的位移。
将叫）二尤）+—,F©二加）代人上式,得几卜砒@）+琢］=yf）+—
注意到人炉二—代入上式得质点的运动方程乳】［郭）-哪②卜加）
式中：
柔度系数可由图乘法求得fn=^®6-4-8b）B由此可见，重力对动位移尹©没有影响，列运动右程时可不予肴虑。
【例题4】列出图6-4-9（詁所示体系的运动方程。
解；图示悴系是单自由度体系，设质点位移向右为正，沿位移正向加惯性力®6-4-9b）o用柔度法列位移方程
沁）二［-两&）］•血+△“
式中：
柔度系数了口和位移△“，（图6-4-％、d）可由图乘法求得天］代入上式得运动方程为
【例题5】如图6-4-：
LOG）为钢制悬臂梁，梁端部有一个质壘为123比的电机.已知梁长为5,弹性模童丘二206X10"鮎畑2,截面惯性柜/=78/4。
不计梁的自重，求自振频率和周期。
£f
Ili图6-4-10
解；单位力作用下的单位弯袒图如06-4-10（b）示、由图乘法计算柔度系数，为
F[3
fn=——==2.074Xio-Cm/I\T
3EI3x2.06xl011x78xlO'8
-j-=62.6s-Jmfn123x2.074x10
r=21=2xll4=01s
a62.6
【例题6】求图「4・11幺）所示排架水平振动的自振频率.不计横梁变形。
6-4-11
解：
图示郞系为单自由度体系.为求刚度系数，在质壘上沿位移方向加琏杆，并令琏杆沿位移右向发生单位移动（如图S-4-llb）,求出號杆反力（如图6-4-1"）即为刚度系数
则体系的自振频率为
【例题7】求如图6-4-12所示刚架的自振频率■各杆因为常数■
解：
图示体系有两个质点，均无竖向位移，仅有水平位移且位移相同，故是单自由度体系。
由于两个质点上的惯性力共线，列右程时可合并，所以可按一个质歳的情况考虑.作出单位力引起的
弯拒图（如图6-4-12b）,搜图乘法求得柔度系数沖
/,,=J-xlxfxJx^-x2=—
丿,，El233EI
则"&=岸（注育总质壘为弓用）
图6-4-12
【例题8】求如图6-4-13（a）所示体系的自振频率。
已知杆的刚度为无穷大，不计杆的质壘，彈簧刚度为K.
■丄&■炸
御_f-—h一
1W
图6-4-13
解：
图示体系为单自由度体系.由于两个质点上的惯性力不共线，所以不能将质壘合芥按单自由度体系的自振频率公式计算求自振频率°利用幅值方程求解。
以质点C的位移作基本位移琴馥，其最大位移设为A,则D质点最大位移为△,弹簧B处位移为竺。
在位移为幅值时，惯性力也为幅值，体系上的受33
力情况见图6-4-13（b）o以话作矩心列力柜方程，有
m—o）2xi-—x2J+mAca2x3i=0
33
因为*0,所以有
—m<^2~-K=0
33
工曰22疋
于是oy2=
5m
【例题9】求如图6-4-14（a）所示体系右端质点的振幅。
解，设所求振幅为儿将惯性力幅值加在质点上如图6-4-14（b）所示，以0为柜心列力矩平衡方程,则有：
口+丄也4刖+讪声x3?
-lJ4^x2?
=0
33
解方程得：
右车
1血少-4丘
・・\vd・
A
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