数量关系个常见问题公式.docx
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数量关系个常见问题公式
一.页码问题
对多少页出现多少1或2的公式
如果是X千里找几，公式是1000+X00*3如果是X百里找几，就是100+X0*2，X有多少个0就*多少。
依次类推!
请注意，要找的数一定要小于X，如果大于X就不要加1000或者100一类的了，
比如，7000页中有多少3就是1000+700*3=3100（个）
20000页中有多少6就是2000*4=8000（个）
友情提示，如3000页中有多少3，就是300*3+1=901，请不要把3000的3忘了
二，握手问题
N个人彼此握手，则总握手数
S=（n-1）{a1+a（n-1）}/2=（n-1）{1+1+（n-2）}/2=『n^2-n』/2=N×（N-1）/2
例题：
某个班的同学体育课上玩游戏，大家围成一个圈，每个人都不能跟相邻的2个人握手，整个游戏一共握手152次，请问这个班的同学有（）人
A、16B、17C、18D、19
【解析】此题看上去是一个排列组合题，但是却是使用的多边形对角线的原理在解决此题。
按照排列组合假设总数为X人则Cx取3=152但是在计算X时却是相当的麻烦。
我们仔细来分析该题目。
以某个人为研究对象。
则这个人需要握x-3次手。
每个人都是这样。
则总共握了x×（x-3）次手。
但是没2个人之间的握手都重复计算了1次。
则实际的握手次数是x×（x-3）÷2=152计算的x=19人
三，钟表重合公式
钟表几分重合，公式为：
x/5=（x+a）/60a时钟前面的格数
四，时钟成角度的问题
设X时时，夹角为30X，Y分时，分针追时针5.5，设夹角为A.（请大家掌握）
钟面分12大格60小格每一大格为360除以12等于30度，每过一分钟分针走6度，时针走0.5度，能追5.5度。
1.【30X-5.5Y】或是360-【30X-5.5Y】【】表示绝对值的意义（求角度公式）
变式与应用
2.【30X-5.5Y】=A或360-【30X-5.5Y】=A（已知角度或时针或分针求其中一个角）
五，往返平均速度公式及其应用（引用）
某人以速度a从A地到达B地后，立即以速度b返回A地，那么他往返的平均速度v=2ab/（a+b）。
证明：
设A、B两地相距S，则
往返总路程2S，往返总共花费时间s/a+s/b
故v=2s/（s/a+s/b）=2ab/（a+b）
六，空心方阵的总数
空心方阵的总数=（最外层边人（物）数-空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4
=最外层的每一边的人数^2-（最外层每边人数-2*层数）^2
=每层的边数相加×4-4×层数
空心方阵最外层每边人数=总人数/4/层数+层数
方阵的基本特点：
①方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同.每向里一层边上的人数就少2;
②每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：
③中实方阵总人（或物）数=（每边人（或物）数）2=（最外层总人数÷4+1）2
例：
①某部队排成一方阵，最外层人数是80人，问方阵共有多少官兵?
（441人）
②某校学生刚好排成一个方队，最外层每边的人数是24人，问该方阵有多少名学生?
（576名）解题方法：
方阵人数=（外层人数÷4+1）2=（每边人数）2
③参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。
如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。
问参加团体操表演的运动员有多少人?
（289人）
解题方法：
去掉的总人数=原每行人数×2-1=减少后每行人数×2+1
典型例题：
某个军队举行列队表演，已知这个长方形的队阵最外围有32人，若以长和宽作为边长排出2个正方形的方阵需要180人。
则原来长方形的队阵总人数是（）
A、64，B、72C、96D、100
【解析】这个题目经过改编融合了代数知识中的平方和知识点。
长方形的（长+宽）×2=32+4得到长+宽=18。
可能这里面大家对于长+宽=18有些难以计算。
你可以假设去掉4个点的人先不算。
长+宽（不含两端的人）×2+4（4个端点的人）=32，则计算出不含端点的长+宽=14考虑到各自的2端点所以实际的长宽之和是14+2+2=18。
求长方形的人数，实际上是求长×宽。
根据条件长×长+宽×宽=180综合（长+宽）的平方=长×长+宽×宽+2×长×宽=18×18带入计算即得到B。
其实在我们得到长宽之和为18时，我们就可以通过估算的方法得到选项B
七，青蛙跳井问题
例如：
①青蛙从井底向上爬，井深10米，青蛙每跳上5米，又滑下4米，这样青蛙需跳几次方可出井?
（6）
②单杠上挂着一条4米长的爬绳，小赵每次向上爬1米又滑下半米来，问小赵几次才能爬上单杠?
（7）
总解题方法：
完成任务的次数=井深或绳长-每次滑下米数（遇到半米要将前面的单位转化成半米）
例如第二题中，每次下滑半米，要将前面的4米转换成8个半米再计算。
完成任务的次数=（总长-单长）/实际单长+1
八，容斥原理
总公式：
满足条件一的个数+满足条件2的个数-两个都满足的个数=总个数-两个都不满足的个数
【国2006一类-42】现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验都做对的有多少人?
A.27人B.25人C.19人D.10人
上题就是数学运算试题当中经常会出现的“两集合问题”，这类问题一般比较简单，使用容斥原理或者简单画图便可解决。
但使用容斥原理对思维要求比较高，而画图浪费时间比较多。
鉴于此类问题一般都按照类似的模式来出，下面华图名师李委明给出一个通解公式，希望对大家解题能有帮助：
例如上题，代入公式就应该是：
40+31-x=50-4，得到x=25。
我们再看看其它题目：
【国2004A-46】某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是多少?
A.22B.18C.28D.26
代入公式：
26+24-x=32-4，得到x=22
九，传球问题
这道传球问题是一道非常复杂麻烦的排列组合问题。
【李委明解三】不免投机取巧，但最有效果（根据对称性很容易判断结果应该是3的倍数，如果答案只有一个3的倍数，便能快速得到答案），也给了一个启发----
传球问题核心公式
N个人传M次球，记X=[（N-1）^M]/N，则与X最接近的整数为传给“非自己的某人”的方法数，与X第二接近的整数便是传给自己的方法数。
大家牢记一条公式，可以解决此类至少三人传球的所有问题。
四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。
开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有传球方式：
A.60种B.65种C.70种D.75种
x=（4-1）^5/4x=60
十，圆分平面公式：
N^2-N+2,N是圆的个数
十一，剪刀剪绳
对折N次，剪M刀，可成M*2^n+1段
将一根绳子连续对折3次,然后每隔一定长度剪一刀，共剪6刀。
问这样操作后,原来的绳子被剪成了几段?
A.18段B.49段C.42段D.52段
十二，四个连续自然数，
性质一，为两个积数和两个偶数，它们的和可以被2整除，但是不能被4整除
性质二，他们的积+1是一个奇数的完全平方数
十三，骨牌公式
公式是：
小于等于总数的2的N次方的最大值就是最后剩下的序号
十四，指针重合公式
关于钟表指针重合的问题，有一个固定的公式：
61T=S（S为题目中最小的单位在题目所要求的时间内所走的格书，确定S后算出T的最大值知道相遇多少次。
）
十五，图色公式
公式：
（大正方形的边长的3次方）—（大正方形的边长—2）的3次方。
十六，装错信封问题
小明给住在五个国家的五位朋友分别写信，这些信都装错的情况共有多少种44种
f（n）=n!
（1-1/1!
+1/2!
!
-1/3!
......+（-1）n（1/n!
））
或者可以用下面的公式解答
装错1信0种
装错2信：
1种
32
49
544
递推公式是S（n）=n.S（n-1）+（-1）^n~~~~~
如果是6封信装错的话就是265~~~~
十七，伯努利概率模型
某人一次涉及击中靶的概率是3/5，设计三次，至少两次中靶的概率是
集中概率3/5，则没集中概率2/5，即为两次集中的概率+三次集中的概率
公式为C（2,3）*[（3/5）^2]*[（2/5）^1]+C（3,3）[（3/5）^3]*[（2/5）^0]
81/125
十八，圆相交的交点问题
N个圆相交最多可以有多少个交点的问题分析N*（N-1）
十九，约数个数问题
M=A^X*B^Y则M的约数个数是
（X+1）（Y+1）
360这个数的约数有多少个?
这些约数的和是多少?
解〕360=2×2×2×3×3×5，所以360的任何一个约数都等于至多三个2（可以是零个，下同），至多两个3和至多一个5的积。
如果我们把下面的式子
（1+2+4+8）×（1+3+9）×（1+5）
展开成一个和式，和式中的每一个加数都是在每个括号里各取一个数相乘的积。
由前面的分析不难看出，360的每一个约数都恰好是这个展开式中的一个加数。
由于第一个括号里有4个数，第二个括号里有3个数，第三个括号里有2个数，所以这个展开式中的加数个数为4×3×2=24，而这也就是360的约数的个数。
另一方面，360的所有约数的和就等于这个展开式的和，因而也就等于
（1+2+4+8）×（1+3+9）×（1+5）
=15×13×6=1，170
答：
360的约数有24个，这些约数的和是1，170。
甲数有9个约数，乙数有10个约数，甲、乙两数最小公倍数是2800，那么甲数和乙数分别是多少?
解：
一个整数被它的约数除后，所得的商也是它的约数，这样的两个约数可以配成一对.只有配成对的两个约数相同时，也就是这个数是完全平方数时，它的约数的个数才会是奇数.因此，甲数是一个完全平方数.
2800=24×52×7.
在它含有的约数中是完全平方数，只有
1，22，24，52，22×52，24×52.
在这6个数中只有22×52=100，它的约数是（2+1）×（2+1）=9（个）.
2800是甲、乙两数的最小公倍数，上面已算出甲数是100=22×52，因此乙数至少要含有24和7，而24×7=112恰好有（4+1）×（1+1）=10（个）约数，从而乙数就是112.综合起来，甲数是100，乙数是112.
二十，吃糖的方法
当有n块糖时，有2^（n-1）种吃法。
二十一，隔两个划数
1987=3^6+1258
1258÷2×3+1=1888
即剩下的是1888
减去1能被3整除
二十二，边长求三角形的个数
三边均为整数，且最长边为11的三角形有多少个?
[asdfqwer]的最后解答：
11,11,11;11,11,10;11,11,9;...11,11,1;
11,10,10;11,10,9;...11,10,2;
11,9,9;...11,9,3;
11,8,8;...11,8,4;
11,7,7,...11,7,5;
11,6,6;
1+3+5+7+9+11=6^2=36
如果将11改为n的话，
n=2k-1时，为k^2个三角形;
n=2k时，为（k+1）k个三角形。
二十三，2乘以多少个奇数的问题
如果N是1，2，3，…，1998，1999，2000的最小公倍数，那么N等于多少个2与1个奇数的积?
解：
因2^10=1024，2^11=2048>2000，每个不大于2000的自然数表示为质因数相乘，其中2的个数不多于10个，而1024=2^10，所以，N等于10个2与某个奇数的积。
二十四，直线分圆的图形数
设直线的条数为N则总数=1+{N（1+N）}/2
将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50个小纸片，至少要画多少条直线?
请说明.
〔解〕我们来一条一条地画直线。
画第一条直线将圆形纸片划分成2块.画第二条直线，如果与第一条直线在圆内相交，则将圆形纸片划分成4块（增加了2块），否则只能划分成3块.类似地，画第三条直线，如果与前两条直线都在圆内相交，且交点互不相同（即没有3条直线交于一点），则将圆形纸片划分成7块（增加了3块），否则划分的块数少于7块.下图是画3条直线的各种情形
由此可见，若希望将纸片划分成尽可能多的块数，应该使新画出的直线与原有的直线都在圆内相交，且交点互不相同.这时增加的块数等于直线的条数。
（为什么?
）这样划分出的块数，我们列个表来观察：
直线条数纸片最多划分成的块数
11+1
21+1+2
31+1+2+3
41+1+2+3+4
51+1+2+3+4+5
不难看出，表中每行右边的数等于1加上从1到行数的所有整数的和。
（为什么?
）我们把问题化为：
自第几行起右边的数不小于50?
我们知道
1+1+2+3+…+10=56，1+1+2+3+…+9=46，可见
9行右边还不到50，而第10行右边已经超过50了。
答：
至少要画10条直线。
二十五，公交车超骑车人和行人的问题
一条街上，一个骑车人和一个步行人相向而行，骑车人的速度是步行人的3倍，每个隔10分钟有一辆公交车超过一个行人。
每个隔20分钟有一辆公交车超过一个骑车人，如果公交车从始发站每隔相同的时间发一辆车，那么间隔几分钟发一辆公交车?
此类题通解公式：
a=超行人时间，b=超自行车时间，m=人速，n=自行车速
则每隔t分钟发车;t=（abn-abm）/（bn-am），令M=1N=3，解得T=8。
二十六，公交车前后超行人问题
小明放学后,沿某公交路线以不变速度步行回家,该路公共汽车也以不变速度不停的运行,每隔9分钟就有一辆公共汽车从后面超过他,每隔7分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车,问该路公共汽车每隔多少分钟发一辆车?
此类题有个通解公式：
如果a分钟追上，b分钟相遇，
则是2ab/（a+b）分钟发一次车
二十七，象棋比赛人数问题
象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局胜者记2分，负者记0分，和棋各记1分，四位观众统计了比赛中全部选手得分总数分别是:
1979，1980，1984，1985，经核实只有一位观众统计正确，则这次比赛的选手共有多少名?
A.44B.45C.46D.47
解析：
44*43=1892，45*44=1980，46*45=2070所以选B
二十八，频率和单次频度都不同问题
猎犬发现在离它9米远的前方有一只奔跑着的兔子，立刻追赶，猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔要跑9步，但兔子动作快，猎犬跑2步的时间，兔子跑3步。
猎犬至少跑多少米才能追上兔子?
（）
A.67B.54C.49D.34答案b
分析：
猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔要跑9步，但兔子动作快，猎犬跑2步的时间，兔子跑3步.可知猎犬和兔子的速度比是6:
5，s/（s-9）=6/5，s=54
二十九，上楼梯问题
一般来说上电梯有a1=1a2=2a3=4a4=a1+a2+a3
所以一般公式是an=a（n-1）+a（n-2）+a（n-3）
三十，牛吃草公式
核心公式:
草场草量=（牛数-每天长草量）*天数
例如:
10牛可吃20天,15牛可吃10天,则25牛可吃多少天?
解:
可用公式,设每天恰可供X头牛吃一天,25牛可吃N天
则（10-X）*20=（15-X）*10=（25-X）*N，可得X=5,Y=5
三十一，十字相乘法
十字相乘法使用时要注意几点：
第一点：
用来解决两者之间的比例关系问题。
第二点：
得出的比例关系是基数的比例关系。
第三点：
总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。
（2007年国考）某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成级为75分，而女生的平均分比男生的平均分高20%，则此班女生的平均分是：
A.84分B.85分C.86分D.87分答案：
A
分析：
假设女生的平均成绩为X，男生的平均Y。
男生与女生的比例是9：
5。
男生：
Y9
75
女生：
X5
根据十字相乘法原理可以知道
X=84
6.（2007年国考）.某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%.其中本科毕业生比上年度减少2%.而研究生毕业数量比上年度增加10%,那么，这所高校今年毕业的本科生有：
A.3920人B.4410人C.4900人D.5490人
答案：
C
分析：
去年毕业生一共7500人。
7650/（1+2%）=7500人。
本科生：
-2%8%
2%
研究生：
10%4%
本科生：
研究生=8%：
4%=2：
1。
7500*（2/3）=5000
5000*0.98=4900
此方法考试的时候一定要灵活运用
三十二，兔子问题
An=A（n-1）An（n-2）
已知一对幼兔能在一月内长成一对成年兔子，一对成年兔子能在一月内生出一对幼兔。
如果现在给你一对幼兔，问一年后共有多少对兔子?
析：
1月:
1对幼兔
2月:
1对成兔
3月;1对成兔.1对幼兔
4;2对成兔.1对幼兔
5;;3对成兔.2对幼兔
6;5对成兔.3对幼兔.......
可看出规律:
1,1,2,3,5,8（第三数是前两数之和）,可求出第12项
为:
13,21,34,55,89,144，答:
有144只兔
三十三，称重量砝码最少的问题
例题：
要用天平称出1克、2克、3克……40克这些不同的整数克重量，至少要用多少个砝码?
这些砝码的重量分别是多少?
分析与解：
一般天平两边都可放砝码，我们从最简单的情形开始研究。
（1）称重1克，只能用一个1克的砝码，故1克的一个砝码是必须的。
（2）称重2克，有3种方案：
①增加一个1克的砝码;
②用一个2克的砝码;
③用一个3克的砝码，称重时，把一个1克的砝码放在称重盘内，把3克的砝码放在砝码盘内。
从数学角度看，就是利用3-1=2。
（3）称重3克，用上面的②③两个方案，不用再增加砝码，因此方案①淘汰。
（4）称重4克，用上面的方案③，不用再增加砝码，因此方案②也被淘汰。
总之，用1克、3克两个砝码就可以称出（3+1）克以内的任意整数克重。
（5）接着思索可以进行一次飞跃，称重5克时可以利用
9-（3+1）=5，即用一个9克重的砝码放在砝码盘内，1克、3克两个砝码放在称重盘内。
这样，可以依次称到1+3+9=13（克）以内的任意整数克重。
而要称14克时，按上述规律增加一个砝码，其重为
14+13=27（克），
可以称到1+3+9+27=40（克）以内的任意整数克重。
总之，砝码重量为1，3，32，33克时，所用砝码最少，称重最大，这也是本题的答案。
三十三，文示图
红圈：
球赛。
蓝圈：
电影绿圈：
戏剧。
X表示只喜欢球赛的人;Y表示只喜欢电影的人;Z表示只喜欢戏剧的人
a表示喜欢球赛和电影的人。
仅此2项。
不喜欢戏剧
b表示喜欢电影和戏剧的人。
仅此2项。
不喜欢球赛
c表示喜欢球赛和戏剧的人。
仅此2项不喜欢电影。
中间的阴影部分则表示三者都喜欢的。
我们用T表示。
回顾上面的7个部分。
X，y，z，a，b，c，T都是相互独立。
互不重复的部分
现在开始对这些部分规类。
X+y+z=是只喜欢一项的人我们叫做A
a+b+c=是只喜欢2项的人我们叫做B
T就是我们所说的三项都喜欢的人
x+a+c+T=是喜欢球赛的人数构成一个红圈
y+a+b+T=是喜欢电影的人数构成一个蓝圈
z+b+c+T=是喜欢戏剧的人数构成一个绿圈
三个公式。
（1）A+B+T=总人数
（2）A+2B+3T=至少喜欢1个的人数和
（3）B+3T=至少喜欢2个的人数和
例题：
学校教导处对100名同学进行调查，结果有58人喜欢看球赛，有38人喜欢看戏剧，有52人喜欢看电影。
另外还知道，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧（但不喜欢看电影）的有6人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧（但不喜欢看球赛）的有4人，三种都喜欢的有12人。
通过这个题目我们看因为每个人都至少喜欢三项中的一项。
则我们用三个圈红，绿，蓝代表球赛。
戏剧、和电影。
A+B+T=100A+2B+3T=148T=12
则可以直接计算只喜欢一项的和只喜欢两项的
A=64B=24
典型例题：
甲,乙,丙三个人共解出20道数学题,每人都解出了其中的12道题,每道题都有人解出.只有一人解出的题叫做难题,只有两人解出的题叫做中等题,三人解出的题叫做容易题,难题比容易题多（）题?
A、6B、5C、4D、3
【解析】第三题需要结合文氏图来理解了，画图会很清楚的
我们设a表示简单题目，b表示中档题目c表示难题
a+b+c=20
c+2b+3a=12×3这个式子式文氏图中必须要记住和理解的
将a+b+c=20变成2a+2b+2c=40减去上面的第2个式子
得到：
c-a=4答案出来了
可能很多人都说这个方法太耗时了，的确。
在开始使用这样方法的时候费时不少。
当当完全了解熟练运用a+2b+3c这个公式时，你会发现再难的题目也不会超过1分钟。
三十四，九宫图问题
此公式只限于奇数行列
步骤1：
按照斜线的顺序把数字按照从小到大的顺序，依次斜线填写!
步骤2：
然后将3×3格以外格子的数字折翻过来，
最左边的放到最右边，最右边的放到最左边
最上边的放到最下边，最下边的放到最上边
这样你再看中间3×3格子的数字是否已经满足题目的要求了呵呵!
三十五，用比例法解行程问题
行程问题一直是国家考试中比较重要的一环，其应用之广恐无及其右者。
行程问题的计算量按照基础做法不得不说非常大。
所以掌握简单的方法尤为重要。
当然简单的方法需要对题目的基础知识的全面了掌握和理解。
在细说之前我们先来了解如下几个关系：
路程为S。
速度为V时间为T
S=VTV=S/TT=S/V
S相同的情况下：
V跟T成反比
V相同的情况下：
S跟T成正比
T相同的情况下：
S跟V成正比
注：
比例点数差也是实际差值对应的比例!
理解基本概念后，具体题目来分析
例一、甲乙2人分别从相距200千米的AB两地开车同时往对方的方向行驶。
到达对方始发点后返回行驶，按照这样的情况，2人第4次相遇时甲比乙多行了280千米已知甲的速度为60千米每小时。
则乙的速度为多少?
分析：
这个题目算是一个相遇问题的入门级的题目。
我们先从基础的方法入手，要多给自己提问求乙的速度即要知道乙的行驶路程S乙，乙所花的时间T乙。
这2个变量都没有告诉我们，需要我们去根据条件来求出：
乙的行驶路程非常简单可以求出来。
因为甲乙共经过4次相遇。
希望大家不要嫌我罗嗦。
我希望能够更透彻的把这类型的题目通过图形更清晰的展现给大家。
第一次相遇情况
A（甲）.。
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（甲）C（乙）。
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B（乙）
AC即为第一次相遇甲行驶的路程。
BC即为乙行驶的路程
则看出A
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