数学建模太阳影子定位.docx

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数学建模太阳影子定位

西安邮电大学

（理学院）

数学建模报告

题目：

太阳影子定位问题

班级：

信息工程1403班

学号：

03144079

姓名：

侯思航

成绩：

2016年6月30日

一、摘要

本文针对太阳影子定位技术，通过太阳与地球相对运动的规律，建立杆长、影长、经纬度、时间、日期的关系，建立模型。

综合分析了不同地点，不同的时间，不同的季节时影子长度的形成规律及变化趋势，运用了软件进行分析，得出不同地区影子变化的模型。

最后将具体情况运用到建立的模型中，对实际问题进行可行性分析，根据条件的改变完善对模型的应用和实用性检验。

第一问中，我们通过两种太阳高度角的表示方法建立等式关系，根据控制变量法，分析出影子长度分别与经、纬度、杆长、时间、日期的关系。

然后，根据时差计算关系，当北京时间在9:

00-15:

00时，天安门广场的时间，并应用建立的模型。

第二问中，首先根据影子坐标求出影子的长度，拟合北京时间与影子长度的函数，找出影子长度的最低的点，从而根据时间求出当地经度，由于误差的存在，我们将经度、杆长、纬度给定一定范围，根据第一问公式进行搜索，从而确定可能的地点。

关键字：

（宋体小四号）真太阳时平太阳时赤纬角太阳高度角熵值法

2、问题提出

如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。

1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:

00-15:

00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。

2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。

将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。

3.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。

将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。

4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。

请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。

三、问题分析

第一问：

根据物体在太阳光照射下将产生影子的自然现象,研究物体影子的形成原理,通过分析太阳光线照射物体的角度的日变化和年变化，引起物体影子的长度和朝向有规律地变化来建立数学模型。

利用Matlab软件绘出影子长短随时间变化的图像。

将问题中所给参数带入，解决问题。

由于太阳光线照射物体的角度的日变化和年变化，引起物体影子的长度和朝向有规律地变化。

第二问：

通过对附件所给的影子坐标的数据，求出影子的长度，然后通过第一问的相关公式，对影长和时间的关系进行拟合，得到一个二次方程，得出影长的最低值，从而可知正午时间，再算出经度。

4、建模过程

第一问

1．模型假设

（1）：

假设单一光源（太阳光）照射

（2）：

直杆严格垂直于水平地面

（3）：

被照射直杆的形状不会影响影子的长度

（4）：

将整个天空视为一个天体圆

（5）：

不考虑大气折射

（6）：

问题中给出的数据可靠

2．定义符号说明

符号含义符号含义

α偏磁角（赤纬角）e时差

ε:

太阳高度角ε入射角

β经度γ纬度

t北京时间A太阳方位角

N自1月1日算起的第几天L影子长度

ω时角:

H杆长

3．模型建立：

以杆影在阳光下产生影子端点移动的轨迹，代替太阳运行轨迹。

运用相对运动原理，将地球自转及绕太阳公转的运动简化为地球不动，太阳绕地球转动。

（1）计算磁偏角（赤纬角）全年之中，每一天太阳和地球的运转与天体圆赤道之间所形成的夹角，也就是所谓的磁偏角α都不同，会在+23.45与-23.45之间变化，其计算公式为：

α=23.45sin[2π（28+4N）]/365

（1）

（2）由北京时间计算当地时间：

按太阳运行位置，世界采取了时差制度并且遵循此制度，各国时间历法都以此制度为基础。

按太阳运行位置，划分时区，每个时区相差15（每个时区相差1个小时）。

当地时间s的计算公式：

S=t-（120-R）/60*15

（2）

当所得值为负数时，加上24小时。

（3）计算时角因为地球自转一周约为24小时，所以，太阳每小时大约自东向西移动15

（即360/24），故时角w的计算公式为：

w=15（12-s）（3）

w为正表示偏东，w为负表示偏西。

注意：

计算中将其划为弧度制。

（4）计算太阳高度角太阳高度角简称太阳高度（其实是角度）。

太阳高度是决定地球表面获得太阳热能数量的最重要的因素，它在数值上等于太阳在地球地平坐标系中的地平高度。

太阳高度角ε的计算公式为：

ρ=arcnsin（sincoscoscosarcw）（4）

（5）利用太阳高度角、杆长及影长列出函数式

如图所示，由立竿见影的测量方式，得出影长L公式为：

L=H/tanP

4，模型求解：

由有几何学原理，已知tanp在0

影子有时比物体长，有时比物体短。

太阳高度为45度时影子和物体一样长。

由一天中太阳位置的变化规律得出，早晚影子最长，中午最短，早上到中午影子慢慢变短，中午到晚上影子慢慢又变长。

相似的，我们可以得出，早晚太阳高度最小，中午最大，早上到中午太阳高度慢慢变大，中午到晚上太阳高度慢慢又变小。

（2）关于北京影长问题的探索

利用Matlab绘出影子的变化规律图。

第一问需要求解的题目中给出一下参数：

:

N：

自1月1日算起的第295天。

t：

北京时间9:

00-15:

00。

β：

东经116度23分29秒。

γ：

北纬39度54分26秒。

H3米。

注意：

计算中将经、纬度划弧度制。

将参数带入Matlab中，绘出影子长度变化曲线，如二所示：

第二问

1.模型假设：

假设附件1所给顶点坐标数据符合事实

2.定义符号说明：

A：

方位角

θ：

高度角

α：

赤纬角

β：

物体所在地理纬度

γ：

当地时间

N：

从1月1日起距当地日期的天数

n：

表示24小时制的时间数

t：

太阳某位置的方位时间

ω：

时角

L0：

影子的长度

（x.y）：

影子顶点坐标

3,模型建立：

因为竹竿相对太阳的位置所对应于地球上所在点的相对位置,由该点的地理纬度、日期和时间3个因素来决定。

一般通过地平坐标系及赤道坐标系来同时表示太阳的位置,也就是以太阳高度角θ方位角A及赤纬角α、时角ω来表示。

赤纬角是指地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角，高度角指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角,可知高度角的范围是000~90，方位角指经过球心O。

与太阳位置点在地平圈上投影点的直线与地平圈正南向OS所夹的角。

定义方位角坐标以正南向S点为起始00逆时针方向为负,分180顺时针方向为正,亦分0180;正北向N点为正负180。

因此根据太阳位置的变化可以绘制出坐标网图,在坐标网图中用同心圆来代表太阳高度圈,用圆周上的刻度角来表示太阳的方位角（自南向西为正值,自南向东为负值）。

故通过竿影轨迹点的坐标可求出影长，然后通过拟合影长相关计算公式如下：

影长公式

根据韦达定理得：

五、模型评价与改进

第一问中，我们所用的F检验没有T检验合适，但是结果偏差不大第二问中，topsis法灵活简便，操作方便。

并用熵值法确定权重，具有合理性，但是缺少相应的模型检验。

第四问中，通过经验设定综合指标进行求解，简化了相应的数学模型，只是缺少对综合指标设立的检验，依据性不强。

六、参考文献

[1]Topsis综合评价法2012年9月8日

[2]数学建模成绩的评价与预测，2012年9月8日

[3]陈光亭裘哲勇《数学建模》高等教育出版社2010年2月

[4]王宏洲《数学建模优秀论文》清华大学出版社2011年9月

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