人教A版数学必修一第三章测试.docx
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人教A版数学必修一第三章测试
高中数学学习材料
金戈铁骑整理制作
第三章测试
（时间：
120分钟 满分：
150分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．二次函数f（x）＝2x2＋bx－3（b∈R）的零点个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．不确定
解析 方程2x2＋bx－3＝0的判别式Δ＝b2＋24>0恒成立，所以方程有两个不等实根，因而函数f（x）有两个零点．
答案 C
2．若函数y＝f（x）唯一的一个零点在区间（0,2），（1,2），（0,4）内，则下列命题中正确的是（ ）
A．函数f（x）在区间（0,1）内有零点
B．函数f（x）在区间（1,1.5）内有零点
C．函数f（x）在区间（2,4）内无零点
D．函数f（x）在区间（1,4）内无零点
解析 可用排除法，由题意知在（0,1）内没有零点，所以A错．B不一定，因为在（1,4）内一定有零点，所以D错，故C正确．
答案 C
3．根据表中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间是（ ）
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
A.（－1,0）B．（0,1）
C．（1,2）D．（2,3）
答案 C
4．方程lnx＋2x－8＝0根的个数是（ ）
A．0个B．1个
C．2个D．3个
解析 利用图象作答．
答案 B
5．下列函数中，随着x的增大，其增大速度最快的是（ ）
A．y＝0.001exB．y＝1000lnx
C．y＝x1000D．y＝1000·2x
解析 增大速度最快的应为指数型函数，又e≈2.718>2.
答案 A
6．已知直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥OC，AB＝1，OC＝BC＝2，直线x＝t截这个梯形位于此直线左方的图形的面积（如图中阴影部分）为y，则函数y＝f（t）的大致图象为图中的（ ）
解析 按一般方法求解，应先求出函数表达式，根据表达式确定图象，然而按小题小作的原则，不必求出解析式，观察图象不难发现C正确，因为一开始面积增长较快，当1≤t≤2时，面积平均增长，图象为直线，只有C适合这种规律．
答案 C
7．已知函数f（x）＝ex－x2＋8x，则在下列区间中f（x）必有零点的是（ ）
A．（－2，－1）B．（－1,0）
C．（0,1）D．（1,2）
解析 f（x）＝ex－x2＋8x，f（－2）＝e－2－4－16<0，f（－1）＝e－1－1－8<0，f（0）＝e0＝1＞0，∴f（x）在区间（－1，0）内至少有一个零点，故选B.
答案 B
8．已知函数t＝－144lg的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中t（h）表示达到打字水平N（字/min）所需的学习时间，N表示打字速度（字/min），则按此曲线要达到90字/min的水平，所需的学习时间是（ ）
A．144hB．90h
C．60hD．40h
解析 由N＝90可知，t＝－144lg＝144h.
答案 A
9．在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：
x
－2.0
－1.0
0
1.00
2.00
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近（其中，a，b为待定系数）（ ）
A．y＝a＋bxB．y＝a＋bx
C．y＝a＋logbxD．y＝a＋
解析 B为匀速递增，对C，x要求大于0，D是成反比，又因为函数值增长速度越来越快，只有A项中指数型函数最接近．
答案 A
10．实数a，b，c是图象连续不断的函数y＝f（x）定义域中的三个数，且满足aA．2B．奇数
C．偶数D．至少是2
解析 画出示意图．
可知，至少有2个零点，应选D.
答案 D
11．某方程在区间D＝（2,4）内有一无理根，若用二分法求此根的近似值，要使所得近似值的精确度达到0.1，则应将D分（ ）
A．2次B．3次
C．4次D．5次
解析 等分1次，区间长度为1，等分2次区间长度为0.5，…，等分4次，区间长度为0.125，等分5次，区间长度为0.0625<0.1，符合题意．故选D.
答案 D
12．西南大旱，为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”．计算方法如下表：
每户每月用水量
水价
不超过12m3的部分
3元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分
6元/m3
超过18m3的部分
9元/m3
若某户居民本月交纳的水费为48元，则此户居民本月用水量（ ）
A．比12m3少
B．比12m3多，但不超过18m3
C．比18m3多
D．恰为12m3
答案 B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13．为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：
假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x的一次函数．下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：
第一套
第二套
椅子高度x（cm）
40.0
37.0
课桌高度y（cm）
75.0
70.2
则y与x的函数关系为________．（不需注明定义域）．
解析 依题意，由于课桌高度y是椅子高度x的一次函数，故可设y＝ax＋b（a≠0），将给出的符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数关系式，
得
解得
所以y与x的函数关系式是y＝1.6x＋11.
答案 y＝1.6x＋11
14．用二分法求方程x3＋4＝6x2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间（0,1）内，则下一步可断定该根所在的区间为________．
解析 设f（x）＝x3－6x2＋4，
显然f（0）>0，f
（1）<0，
又f＝3－6×2＋4>0，
∴下一步可断定方程的根所在的区间为.
答案
15．函数f（x）＝ax＋b有一个零点是2，则函数g（x）＝bx2－ax的零点是________．
解析 ∵f（x）＝ax＋b有一个零点是2，∴2a＋b＝0.而g（x）＝bx2－ax＝x（bx－a）＝0，∴x＝0，或x＝＝－.
答案 0，－
16．已知y＝x（x－1）（x＋1）的图象如图所示．令f（x）＝x（x－1）（x＋1）＋0.01，则下列关于f（x）＝0的解叙述正确的是________．
①有三个实根；②x>1时恰有一实根；③当0解析 f（x）的图象是将函数y＝x（x－1）（x＋1）的图象向上平移0.01个单位得到的，故f（x）的图象与x轴有三个交点，它们分别在区间（－∞，－1），和内，故只有①⑤正确．
答案 ①⑤
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）已知二次函数f（x）的图象过点（0,3），它的图象的对称轴为x＝2，且f（x）的两个零点的平方和为10，求f（x）的解析式．
解 设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），
由题意知，c＝3，－＝2.
设x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝.
∵x＋x＝10，∴（x1＋x2）2－2x1x2＝10，即
2－＝10，∴（－4）2－＝10，
∴a＝1，b＝－4.
∴f（x）＝x2－4x＋3.
18．（本小题满分12分）A、B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全．核电站与城市距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．
（1）求x的范围；
（2）把月供电总费用y表示成x的函数；
（3）核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小．
解
（1）x的取值范围为10≤x≤90；
（2）y＝0.25×20x2＋0.25×10（100－x2）
＝5x2＋（100－x）2（10≤x≤90）；
（3）由y＝5x2＋（100－x）2＝x2－500x＋25000＝2＋.
则当x＝km时，y最小．
故当核电站建在距A城km时，才能使供电费用最小．
19．（本小题满分12分）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：
当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按2log5（A＋1）进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记资金总额为y（单位：
万元），销售利润为x（单位：
万元）．
（1）写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；
（2）如果业务员老张获得5.5万元的资金，那么他的销售利润是多少万元？
解
（1）由题意，
得y＝
（2）∵x∈（0,15]时，0.1x≤1.5，
又y＝5.5>1.5，∴x>15，
所以1.5＋2log5（x－14）＝5.5，x＝39.
答：
老张的销售利润是39万元．
20．（本小题满分12分）某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：
服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．
（1）写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f（t）；
（2）据进一步测定：
每毫克血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效．
①求服药一次治疗疾病有效的时间；
②当t＝5时，第二次服药，求服药后30分钟，每毫升血液中的含药量．
解
（1）把点M（1,4）分别代入所给解析式可得
y＝
（2）①∵解得0.0625≤t<1.
又解得1≤t≤5.
综上知，0.0625≤t≤5.
②由题设知，第二次服药后血液中每毫升的含药量
y＝×4＋23－5.5
＝2＋0.177＝2.177（微克）．
21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝x－1＋x2－2，试利用基本初等函数的图象判断f（x）有几个零点；并利用零点存在性定理确定各零点所在的范围（各区间长度不超过1）．
解
由f（x）＝0，得x－1＝－x2＋2，令y＝x－1，y＝－x2＋2，其中抛物线顶点为（0,2），与x轴交于点（－2,0），（2,0）．
如图所示y＝x－1，y＝－x2＋2的图象有3个交点，从而函数f（x）有3个零点．
∵x≠0，f（x）图象在（－∞，0），（0，＋∞）上分别是连续不断的，
且f（－3）＝>0，f（－2）＝－<0，f＝>0，
f
（1）＝－<0，f
（2）＝>0，
即f（－3）·f（－2）<0，f·f
（1）<0，
f
（2）·f
（1）<0，
∴三个零点分别在区间（－3，－2），，（1,2）内．
22．（本小题满分12分）某县城出租车的收费标准是：
起步价是5元（乘车不超过3公里）；行驶3公里后，每公里车费1.2元；行驶10公里后，每公里车费1.8元．
（1）写出车费与路程的关系式；
（2）一顾客行程30公里，为了省钱，他设计了两种乘车方案：
①分两段乘车：
乘一车行15公里，换乘另一车再行15公里；
②分三段乘车：
每乘10公里换一次车．
问哪一种方案最省钱．
解
（1）车费f（x）与路程x的关系式为
f（x）＝
即f（x）＝
（2）30公里不换车的车费为1.8×30－4.6＝49.4（元）；
方案①：
行驶两个15公里的车费为
（1.8×15－4.6）×2＝44.8（元）；
方案②：
行三个10公里的车费为
（1.2×10＋1.4）×3＝40.2（元）．
由此可见，方案①和方案②都比不换车省钱，方案②比方案①更省钱．
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