专题二平行四边形常用辅助线的作法精排版.docx
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专题二平行四边形常用辅助线的作法精排版
专题讲义平行四边形+几何辅助线的作法
、知识点
1•四边形的内角和与外角和定理：
（1）四边形的内角和等于360°;
（2）四边形的外角和等于360°.
2.多边形的内角和与外角和定理：
（1）n边形的内角和等于（n-2）180°
（2）任意多边形的外角和等于360°
3.平行四边形的性质：
性质
四边形ABCD是平行四边形
判定
（1）两组对边分别平行;
（2）两组对边分别相等;
（3）两组对角分别相等;
（4）对角线互相平分；
（5）邻角互补.
4、平行四边形判定方法的选择
..”■已知条件
选择的狎定方法
i边
1.一鲫边幘
L讹⑵沁⑶
一组对边平行
定文｛方法1）,方送⑶
一纽对命相等
方法《5〉
方搓⑷
5、和平行四边形有关的辅助线作法
（1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形
例1、如图，已知点O是平行四边形ABCD勺对角线AC的中点，四边形OCD是平行四边形•求证：
OE与AD互相平分.
说明：
当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形—:
（2）利用两组对边平行构造平行四边形
例2、如图，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BFED//AC,FG//AC交BC分别为D,G.
说明：
当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问
（3）利用对角线互相平分构造平行四边形
例3、如图，已知ADS^ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF求证BF=AC.
说明：
本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法•
（4）连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。
例4、如图，在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AECF,请你以F为一个端点，
相等（只需证明一条线段即可）
例6、已知：
如图，四边形ABCD为平行四边形
求证：
AC2BD2AB2BC2CD2DA2
F
11
B、2m22
C、10m
12
（6）过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
（7）延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形
例7、已知：
如右上图4，在正方形ABCD中,
于P点，求证：
APAB
、课堂练习:
1、如图，E是平行四边形ABCD的边AB的中点，AC与DE相交于点F,若平行四边形ABCD
的面积为s，则图中面积为Is的三角形有（
2
A.1个B.2个
2、顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个四边形.
3、如图，AD，BC垂直相交于点O,AB//CD，
贝UAB+CD的长=。
4、已知等边三角形ABC的边长为a，P是厶ABC内一点，PD//ABPE//BC，PF//AC,点D
E、F分别在BC、ACAB上，猜想：
PMPE+PF=
K
猜想.
5、平行四边形ABCD中,E,G,F,H分别是四条边上的点，且AECF,BCDH,
试说明：
EF与GH相互平分.
6如图，平行四边形ABCD勺对角线AC和BD交于O,E、F分别为OB0D的中点，过0任作一直线分
别交ABCD于G、H.
试说明：
GF//EH
7、如图，已知ABAC,B是AD的中点,
8、如图，E是梯形ABCD要DC的中点.
试说明:
SABE
1S梯形
2
ABCD
D
E
试说明：
CD2CE
9、已知六边形ABCDEF勺6个内角均为120°,CD=2cm,BC=8cm,AB=8cm,AF=5cm试
求此六边形的周长.
D_
10、已知ABC是等腰三角形，AB=ACD是BC边上的任一点，且DEAB
DFAC,CHAB，垂足分别为E、F、H,
求证：
DEDFCH
11、已知：
在RtABC中，ABBC;在RtADE中，ADDE;连结EC，取EC的中点M，
连结DM和BM.
（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，
求证：
BMDM且BMDM;
（2）如果将图8-①中的ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么
（1）
中的结论是否仍成立？
如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.
图①
图-②
答案：
例4、⑴连结BF⑵BFDE
⑶证明：
连结DB,DF,设DB,AC交于点0
•••四边形ABCD为平行四边形
•••A0
OC,DOOB
•••AEFC
•••A0
AEOCFC即OEOF
•••四边形EBFD为平行四边形
•••BF
DE
例5、解：
将线段DB沿DC方向平移，使得DB
CE,DC
BE,则有四边形CDBE为平行
四边形,
■
••在ACE中,
AC
12,CE
BD
10,AE2AB2m
-
•12102m
12
10,即2
2m
22
解得1m11
故选A
例6、证明：
过代D分别作AE
BC于点
E,
DF
BC的延长线于点F
•••AC2
AE2CE2
AB
2BE2（BC
BE）2
AB2BC22BE
BC
BD2
22
DF2BF2
（CD
22
2CF2）
（BC
CF）
2CD2BC22BC
CF
贝UAC2BD2AB2BC2CD2DA22BCCF2BCBE
四边形ABCD为平行四边形
•••AB//CD且ABCD,ADBC
ABC
DCF
IAEB
DFC900
ABE
DCF
••BECF
AC2
2222
BDABBCCD
DA2
例7、证明：
延长CF交BA的延长线于点K
•••四边形ABCD为正方形
•••AB//CD且ABCD,CD
）AD,BAD
BCD
D900
•••1K
又，
D
DAK90°,DFAF
•••CDF也
KAF
•••AKCD
AB
--
1CE-CDDF
2，
1AD
2
•••CEDF
TBCD
D900
•••BCE也CDF
•••12
T13
900
2
3900
•••CPB
900,则KPB
900
•••APAB
二、课堂练习
1、C2、
平行
3
、104、
a
5、分析：
观察图形，EF
与
HG
为四边形HEGF
的对角线,
若能说明四边形
HEGF是平
行四边形，根据
平行四边形的对角线互相平分这一性质即可得到
6分析：
观察图形，GF与EH为四边形GEHF的对边，若能说明四边形EHFG是平行
四边形，平行四
7、分析：
延长CE至F,使EF=CE，连结AF、BF,得四边形AFBC是平行四边形，利
用平行四边形
△ABE与四边形ABNM等底等高，所以Smbe=
2
S梯形ABCD=S平行四边形ABNM即可。
D
平行四边形ABNM，接下来说明
•••四边形DGHE为矩形
•••/B=/GDC
又AB=AC
•••/GDC=/ACB
又/DGC=/DFC=90°
•••△CDGDCF（AAS）
•••DE=GHEH//DG
•••/B=/ACB
CD=DC（公共边）
8、分析：
过点E作MN//AB，交BC于N，交AD的延长线于M，则四边形ABNM是平
行四边形,
10、证明：
过D点作DG丄CH于G
又DE丄AB于E，CH丄AB于H
•••DF=CG
又CH=CG+GH
•••CH=DF+DG（等量代换）
11、-：
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11
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漬谢聡血迦必区癖询对就P）老總I；密r絶“跳谕嘛也訶備i讷
⑵如图-廷长DM到阳使NN-LH逹结BJhBN，Ot
EI^CK,ZEM1J=ZCHK,IrfrUll
<\AEMDW.^CMH
/KCM=^ECM+ZECN2a-EH=AiD,
衽AABC4“；创AB十ZTEEAWF
.'.^ACEl^CAD+ZCED^.D,
TETAD坯尸-2BAI2DEM-ZNCH-ZECM+ZBCWr-ZCED
…2AUEt4t）*—ZBA£rb上兮LU十ZECNzya''
又_ZACKtZBCM=4r、二4驚-ZEADt4孙十匹ECN亨『
■\2bAD=ZECUx-又辰足，皿CN/-^ABD^iCBN-■-ed-bnZABD^2ZB®
.■-ZEBC+ZCBN=ZDfi匚+£A3D=g（T$丈:
RI>=EN.LM=W
.'；mMHDM且EM丄114：
平行四边形中常用辅助线的添法
平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：
（1）连对角线或平移对角线：
（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形
（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线
（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。
（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等
第一类：
连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。
例1如左下图1,在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AECF请你
以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）
⑴连结BF⑵BFDE
•••四边形ABCD为平行四边形
•••AOOC,DO0B
•••AEFC二AOAE
•••四边形EBFD为平行四边形
0C
FC即OEOF•••BFDE
⑶证明：
连结DB,DF,设DB,AC交于点0
图1
图2
第二类：
平移对角线，把平行四边形转化为梯形。
例2如右图2,在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O,如果AC12，
BD10,ABm，那么m的取值范围是（）
A1m11B2m22C10m12D5m6
解：
将线段DB沿DC方向平移，使得DBCE,DCBE,则有四边形CDBE为平行四边形，•••在ACE中，AC12,CEBD10,AE2AB2m
•••12102m1210，即22m22解得1m11故选A
第三类：
过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
例3已知：
如左下图3,四边形ABCD为平行四边形
•-AC2
BD2AB2BC2CD2DA
ABC
DCF
AEB
DFC900
求证：
AC2BD2AB2BC2CD2DA2
证明：
过A,D分别作
AE
BC于点
E，
DF
BC的延长线于点F
•.AC2
AE2
CE2
AB2
BE2（BC
BE）2
AB2BC22BEBC
BD2
DF2
BF2
（CD2
CF2）
（BC
CF）
2CD2BC22BCCF
CD2
贝UAC2BD2AB2BC2
DA22BCCF2BCBE
•••四边形ABCD为平行四边形
•AB//CD且ABCD,ADBC
第四类：
延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。
例4:
已知：
如右上图4,在正方形ABCD中，E,F分别是CD、DA的中点，BE与CF交于P点，求证：
APAB
证明：
延长CF交BA的延长线于点K
•••四边形ABCD为正方形
AB//CD且ABCD,CDAD,BAD
BCD
D900
1
K又T
DDAK90°,DF
AF
•CDF也KAF
AK
CDAB
11
TCE-CDDF-
2，2
AD
•CEDF
BCDD900•••BCE也CDF
I13900•••23900•••CPB90°,贝UKPB90°
•••APAB
第五类：
延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。
例5如左下图5,在平行四边形ABCD中，点E为边CD上任一点，请你在该图基础上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。
D
E
F
D
解：
延长AE与BC的延长线相交于F，则有AEDsFEC,FABsFEC,AEDsFAB
1
BN,BE-BC,NE
3
第六类：
把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线
例6已知：
如右上图6,在平行四边形ABCD中，AN
交BD于F，求BF:
BD
BD
2
解：
连结AC交BD于点O,连结ON
AN
BN
•••ON//1BC且ON
2
1BC
2
•BE
…ON
BF
FO
BE
1
丄BC
•••BE:
ON
2:
3
•BF
2
3
FO
3
BF
2
•••BF:
BD
1:
5
BO
5
•••四边形ABCD为平行四边形
二OAOC,OBOD
综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：
连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形,
为证明解决问题创造条件。
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