最新考研数学二试题详细解析4汇总.docx
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最新考研数学二试题详细解析4汇总
2004考研数学二试题详细解析-4
2004年数学四试题分析、详解和评注
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
(1)若«SkipRecordIf...»,则a=«SkipRecordIf...»,b=«SkipRecordIf...».
【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.
【详解】因为«SkipRecordIf...»,且«SkipRecordIf...»,所以
«SkipRecordIf...»,得a=1.极限化为
«SkipRecordIf...»,得b=-4.
因此,a=1,b=-4.
【评注】一般地,已知«SkipRecordIf...»=A,
(1)若g(x)→0,则f(x)→0;
(2)若f(x)→0,且A≠0,则g(x)→0.
完全类似的例题见《数学复习指南》P36例1.60,P43第1(3)题,P44第2(10)题、
第6题,《数学题型集粹与练习题集》P19例1.34,《数学四临考演习》P79第7题,
《考研数学大串讲》P12例17、19.
(2)设«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...».
【分析】本题为基础题型,先求导函数即可.
【详解】因为«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,
所以,«SkipRecordIf...».
【评注】本题属基本题型,主要考查复合函数求导.
类似例题在一般教科书上均可找到.
(3)设«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...».
【分析】本题属于求分段函数的定积分,先换元:
x-1=t,再利用对称区间上奇偶函数
的积分性质即可.
【详解】令x-1=t,«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...».
【评注】一般地,对于分段函数的定积分,按分界点划分积分区间进行求解.
完全类似的例题见《数学复习指南》P96例4.17,《数学四临考演习》P61第2题,
P68第15题,《考研数学大串讲》P41例14.
(4)设«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,其中«SkipRecordIf...»为三阶可逆矩阵, 则
«SkipRecordIf...» «SkipRecordIf...» .
【分析】将«SkipRecordIf...»的幂次转化为«SkipRecordIf...»的幂次,并注意到«SkipRecordIf...»为对角矩阵即得答案.
【详解】因为
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...».
故
«SkipRecordIf...»,
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».
【评注】本题是对矩阵高次幂运算的考查.
完全类似的例题可见《数学复习指南》P.291例2.13.
(5)设«SkipRecordIf...»是实正交矩阵,且«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,则线性方程组«SkipRecordIf...»的解是 «SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».
【分析】利用正交矩阵的性质即可得结果.
【详解】因为«SkipRecordIf...»,而且«SkipRecordIf...»是实正交矩阵,于是«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»的每一个行(列)向量均为单位向量,所以
«SkipRecordIf...».
【评注】本题主要考查正交矩阵的性质和矩阵的运算.
类似的例题可见《考研数学大串讲》(2002版,世界图书出版公司)P.174例33.
(6)设随机变量«SkipRecordIf...»服从参数为«SkipRecordIf...»的指数分布,则«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».
【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.
【详解】由于«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»的分布函数为
«SkipRecordIf...»
故
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».
【评注】本题是对重要分布,即指数分布的考查,属基本题型.
二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(7)函数«SkipRecordIf...»在下列哪个区间内有界.
(A)(-1,0).(B)(0,1).(C)(1,2).(D)(2,3).[A]
【分析】如f(x)在(a,b)内连续,且极限«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»存在,则函数f(x)
在(a,b)内有界.
【详解】当x≠0,1,2时,f(x)连续,而«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,
所以,函数f(x)在(-1,0)内有界,故选(A).
【评注】一般地,如函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在闭区间[a,b]上有界;
如函数f(x)在开区间(a,b)内连续,且极限«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»存在,则函数f(x)
在开区间(a,b)内有界.
完全类似的例题见《数学题型集粹与练习题集》P4例1.10,《数学四临考演习》P51
第15题.
(8)设f(x)在(-∞,+∞)内有定义,且«SkipRecordIf...»,
«SkipRecordIf...»,则
(A)x=0必是g(x)的第一类间断点.(B)x=0必是g(x)的第二类间断点.
(C)x=0必是g(x)的连续点.
(D)g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关.[D]
【分析】考查极限«SkipRecordIf...»是否存在,如存在,是否等于g(0)即可,通过换元«SkipRecordIf...»,
可将极限«SkipRecordIf...»转化为«SkipRecordIf...».
【详解】因为«SkipRecordIf...»=a(令«SkipRecordIf...»),又g(0)=0,所以,
当a=0时,«SkipRecordIf...»,即g(x)在点x=0处连续,当a≠0时,
«SkipRecordIf...»,即x=0是g(x)的第一类间断点,因此,g(x)在点x=0处的连续性
与a的取值有关,故选(D).
【评注】本题属于基本题型,主要考查分段函数在分界点处的连续性.
完全类似的例题见《数学复习指南》P41例1.70,《数学题型集粹与练习题集》P20例1.35.
(9)设f(x)=|x(1-x)|,则
(A)x=0是f(x)的极值点,但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点.
(B)x=0不是f(x)的极值点,但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.
(C)x=0是f(x)的极值点,且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.
(D)x=0不是f(x)的极值点,(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点.[C]
【分析】由于f(x)在x=0处的一、二阶导数不存在,可利用定义判断极值情况,
考查f(x)在x=0的左、右两侧的二阶导数的符号,判断拐点情况.
【详解】设0<δ<1,当x∈(-δ,0)⋃(0,δ)时,f(x)>0,而f(0)=0,所以x=0是f(x)
的极小值点.
显然,x=0是f(x)的不可导点.当x∈(-δ,0)时,f(x)=-x(1-x),«SkipRecordIf...»,
当x∈(0,δ)时,f(x)=x(1-x),«SkipRecordIf...»,所以(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.
故选(C).
【评注】对于极值情况,也可考查f(x)在x=0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断.
完全类似的例题见《数学复习指南》P141例6.9,《考研数学大串讲》P96例5.
(10)设«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,则
(A)F(x)在x=0点不连续.
(B)F(x)在(-∞,+∞)内连续,但在x=0点不可导.
(C)F(x)在(-∞,+∞)内可导,且满足«SkipRecordIf...».
(D)F(x)在(-∞,+∞)内可导,但不一定满足«SkipRecordIf...».[B]
【分析】先求分段函数f(x)的变限积分«SkipRecordIf...»,再讨论函数F(x)的连续性与
可导性即可.
【详解】当x<0时,«SkipRecordIf...»;
当x>0时,«SkipRecordIf...»,当x=0时,F(0)=0.即F(x)=|x|,
显然,F(x)在(-∞,+∞)内连续,但在x=0点不可导.故选(B).
【评注】本题主要考查求分段函数的变限积分.对于绝对值函数:
«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处
不可导;f(x)=«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处有n阶导数,则«SkipRecordIf...».
完全类似的例题见《数学复习指南》P95例4.15,《考研数学大串讲》P42例15.
(11)设«SkipRecordIf...»在[a,b]上连续,且«SkipRecordIf...»,则下列结论中错误的是
(A)至少存在一点«SkipRecordIf...»,使得«SkipRecordIf...»>f(a).
(B)至少存在一点«SkipRecordIf...»,使得«SkipRecordIf...»>f(b).
(C)至少存在一点«SkipRecordIf...»,使得«SkipRecordIf...».
(D)至少存在一点«SkipRecordIf...»,使得«SkipRecordIf...»=0.[D]
【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项,由排除法可选出错误选项.
【详解】首先,由已知«SkipRecordIf...»在[a,b]上连续,且«SkipRecordIf...»,则由介值定理,
至少存在一点«SkipRecordIf...»,使得«SkipRecordIf...»;
另外,«SkipRecordIf...»,由极限的保号性,至少存在一点«SkipRecordIf...»
使得«SkipRecordIf...»,即«SkipRecordIf...».同理,至少存在一点«SkipRecordIf...»
使得«SkipRecordIf...».所以,(A)(B)(C)都正确,故选(D).
【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性,有一定的难度.
完全类似的例题见《数学复习指南》P130例5.8,《数学题型集粹与练习题集》P70例5.4.
(12)设«SkipRecordIf...»阶矩阵«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»等价,则必须
(A)当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...».(B)当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...».
(C)当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...».(D)当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...».[D]
【分析】利用矩阵«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»等价的充要条件:
«SkipRecordIf...»立即可得.
【详解】因为当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,又«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»等价,故«SkipRecordIf...»,即«SkipRecordIf...»,从而选(D).
【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查,属基本题型.
相关知识要点见《数学复习指南》P.284-286.
(13)设随机变量«SkipRecordIf...»服从正态分布«SkipRecordIf...»,对给定的«SkipRecordIf...»,数«SkipRecordIf...»满足«SkipRecordIf...»,若«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»等于
(A)«SkipRecordIf...».(B)«SkipRecordIf...».(C)«SkipRecordIf...».(D)«SkipRecordIf...».[B]
【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.
【详解】由«SkipRecordIf...»,以及标准正态分布密度曲线的对称性可得
«SkipRecordIf...».
故正确答案为(B).
【评注】本题是对标准正态分布的性质,严格地说它的上分位数概念的考查.
见《数学复习指南》P.489分位数概念的注释.
(14)设随机变量«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»独立同分布,且方差«SkipRecordIf...».令随机变量
«SkipRecordIf...»,则
(A)«SkipRecordIf...».(B)«SkipRecordIf...».
(C)«SkipRecordIf...». (D)«SkipRecordIf...».[C]
【分析】利用协方差的性质立即得正确答案..
【详解】由于随机变量«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»独立同分布,于是可得
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...».
故正确答案为(C).
【评注】本题是对协方差性质的考查,属于基本题.
相关知识点见《数学复习指南》P.454,类似的例题可见《2004文登模拟试题》数三的第一套第23题.
三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15)(本题满分8分)
求«SkipRecordIf...».
【分析】先通分化为“«SkipRecordIf...»”型极限,再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可.
【详解】«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...».
«SkipRecordIf...».
【评注】本题属于求未定式极限的基本题型,对于“«SkipRecordIf...»”型极限,应充分利用等价无穷小
替换来简化计算.
完全类似的例题见《数学复习指南》P28例1.45.
(16)(本题满分8分)
求«SkipRecordIf...»,其中D是由圆«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»所围成的
平面区域(如图).
【分析】首先,将积分区域D分为大圆«SkipRecordIf...»减去小圆
«SkipRecordIf...»,再利用对称性与极坐标计算即可.
【详解】令«SkipRecordIf...»,
由对称性,«SkipRecordIf...».
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...».
«SkipRecordIf...»
所以,«SkipRecordIf...».
【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型,对于二重积分,经常利用对称性
及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算.
完全类似的例题见《数学题型集粹与练习题集》P101例8.12
(1),《数学四临考演习》P16
第17题,《考研数学大串讲》P79例2.
(17)(本题满分8分)
设f(u,v)具有连续偏导数,且满足«SkipRecordIf...».
求«SkipRecordIf...»所满足的一阶微分方程,并求其通解.
【分析】先求«SkipRecordIf...»,利用已知关系«SkipRecordIf...»,可得到关于y的一阶微分方程.
【详解】«SkipRecordIf...»,
因此,所求的一阶微分方程为«SkipRecordIf...».
解得«SkipRecordIf...»(C为任意常数).
【评注】本题综合了复合函数求偏导数与微分方程,但是,求偏导数与解微分方程都是
基本题型.
完全类似的例题见《数学复习指南》P243例11.11,《数学题型集粹与练习题集》P95例7.13、
例7.14,《数学四临考演习》P3第16题,《考研数学大串讲》P76例14.
(18)(本题满分9分)
设某商品的需求函数为Q=100-5P,其中价格P∈(0,20),Q为需求量.
(I)求需求量对价格的弹性«SkipRecordIf...»(«SkipRecordIf...»>0);
(II)推导«SkipRecordIf...»(其中R为收益),并用弹性«SkipRecordIf...»说明价格在何范围内变化时,
降低价格反而使收益增加.
【分析】由于«SkipRecordIf...»>0,所以«SkipRecordIf...»;由Q=PQ及«SkipRecordIf...»可推导
«SkipRecordIf...».
【详解】(I)«SkipRecordIf...».
(II)由R=PQ,得
«SkipRecordIf...».
又由«SkipRecordIf...»,得P=10.
当10
1,于是«SkipRecordIf...»,
故当10
【评注】当«SkipRecordIf...»>0时,需求量对价格的弹性公式为«SkipRecordIf...».
利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式:
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,
«SkipRecordIf...»(收益对价格的弹性).
这些公式在文登学校辅导材料系列之五《数学应用专题(经济类)》有详细的总结.
完全类似的例题见《数学复习指南》P255例12.4,《数学应用专题(经济类)》P2.
(19)(本题满分9分)
设«SkipRecordIf...»,S表示夹在x轴与曲线y=F(x)之间的面积.对任何t>0,
«SkipRecordIf...»表示矩形-t≤x≤t,0≤y≤F(t)的面积.求
(I)S(t)=S-«SkipRecordIf...»的表达式;
(II)S(t)的最小值.
【分析】曲线y=F(x)关于y轴对称,x轴与曲线y=F(x)围成一无界区域,所以,
面积S可用广义积分表示.
【详解】(I)«SkipRecordIf...»,
«SkipRecordIf...»,
因此«SkipRecordIf...»,t∈(0,+∞).
(II)由于«SkipRecordIf...»,
故S(t)的唯一驻点为«SkipRecordIf...»,
又«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,
所以,«SkipRecordIf...»为极小值,它也是最小值.
【评注】本题综合了面积问题与极值问题,但这两问题本身并不难,属于基本题型.
完全类似的例题见《数学复习指南》P143例6.13,《数学题型集粹与练习题集》P80例6.11.
(20)(本题满分13分)
设线性方程组
«SkipRecordIf...»
已知«SkipRecordIf...»是该方程组的一个解,试求
(Ⅰ)方程组的全部解,并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解;
(Ⅱ)该方程组满足«SkipRecordIf...»的全部解.
【分析】含未知参数的线性方程组的求解,当系数矩阵为非方阵时一般用初等行变换法化增广矩阵为阶梯形,然后对参数进行讨论.由于本题已知了方程组的一个解,于是可先由它来(部分)确定未知参数.
【详解】 将«SkipRecordIf...»代入方程组,得«SkipRecordIf...».对方程组的增广矩阵«SkipRecordIf...»施以初等行变换,得
«SkipRecordIf...»,
(Ⅰ) 当«SkipRecordIf...»时,有
«SkipRecordIf...»,
«SkipRecordIf...»,故方程组有无穷多解,且«SkipRecordIf...»为其一个特解,
对应的齐次线性方程组的基础解系为«SkipRecordIf...»,故方程组的全部解为
«SkipRecordIf...»(«SkipRecordIf...»为任意常数).
当«SkipRecordIf...»时,有
«SkipRecordIf...»,
«SkipRecordIf...»,故方程组有无穷多解,且«SkipRecordIf.