A.
∪（0,1）∪
B.
∪（0,1）∪
C．（－3,1）∪（0,1）∪（1,3）
D.
∪（0,1）∪（1,3）
[分析] 在同一坐标系内，画出（－3,3）上的f（x）及y＝cosx的图象，利用图象确定解集．
→
→
[解析] 不等式f（x）cosx<0等价于
或
画出f（x）在（－3,3）上的图象，cosx的图象又熟知，运用数形结合，如图所示，从“形”中找出图象分别在x轴上、下部分的对应“数”的区间为
∪（0,1）∪
.故选B.
[答案] B
[点评]
（1）有关数的问题可借助图形的性质，使问题直观化．
（2）f（x）在y轴左边的图象是利用奇函数的图象关于原点对称画出的，体现了数学对称的思想方法．
【探究1】 f（x）＝
若不等式f（x）≥2x－m恒成立，求实数m的取值范围．
解 在同一坐标系中分别画出函数y＝2x－m及y＝f（x）的图象（如图），由于不等式f（x）≥2x－m恒成立，所以函数y＝2x－m的图象应总在函数y＝f（x）图象的下方，因此，当x＝－2时，y＝－4－m≤0，所以m≥－4，所以m的取值范围是[－4，＋∞）．
点评 此题属于不等式恒成立问题，先利用图象的上、下位置关系确定直线的位置，然后再还原即可．解不等式或证明不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个（或多个）函数，利用两个函数图象的上、下位置关系来确定不等式的解集或证明不等式．
类型二 数形结合解决方程问题
【例2】 已知二次函数y＝f1（x）的图象以原点为顶点且过点（1,1），反比例函数y＝f2（x）的图象与直线y＝x的两个交点间的距离为8，f（x）＝f1（x）＋f2（x）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）证明：
当a>3时，关于x的方程f（x）＝f（a）有三个实数解．
[分析] 利用待定系数法求出f（x），借助图形或对方程f（x）＝f（a）同解变形确定方程根的个数．
→
→
为顶点，开口向下的抛物线（如图所示）．
因此，f2（x）与f3（x）的图象在第三象限有一个交点，
即f（x）＝f（a）有一个负数解．
又∵f2
（2）＝4，f3
（2）＝－4＋a2＋
，
当a>3时，f3
（2）－f2
（2）＝a2＋
－8>0，
∴当a>3时，在第一象限f3（x）的图象上存在一点（2，f3
（2））在f2（x）图象的上方．
∴f2（x）与f3（x）的图象在第一象限有两个交点，
即f（x）＝f（a）有两个正数解．
因此，方程f（x）＝f（a）有三个实数解．
证法二：
由f（x）＝f（a），得x2＋
＝a2＋
，
即（x－a）
＝0，得方程的一个解x1＝a.
方程x＋a－
＝0化为ax2＋a2x－8＝0，
由a>3，Δ＝a4＋32a>0，得
x＝
，
∴x2＝
，
x3＝
，
∵a>3，∴x1≠x2.若x1＝x3，则3a2＝
，a4＝4a，解得a＝0或a＝
，这与a>3矛盾，∴x1≠x3.
故原方程有三个实数解．
[点评]
（1）以形助数：
解答中在同一坐标系内画出y＝f2（x）及y＝f3（x）的图象，得知f（x）＝f（a）有一个负数解．以数助形：
y＝f2（x）与y＝f3（x）在第一象限内的交点个数不能只由图形作出判断，通过a>3，f3
（2）>f2
（2）才准确得到方程f（x）＝f（a）有两个正数解．这充分体现了数形结合解决问题的优越性．
（2）证明或探求方程根的个数问题的常见方法：
一是将方程转化为f（x）＝0，然后研究函数y＝f（x）的零点，可利用f（a）·f（b）<0，则[a，b]内至少有一个零点；二是将方程转化为f（x）＝g（x），然后在同一坐标系内画出y＝f（x）及y＝g（x）的图象，研究它们的交点个数，从而确定方程根的个数．
【探究2】 已知u≥1，v≥1且（logau）2＋（logav）2＝
loga（au2）＋loga（av2）（a>1），求loga（uv）的最大值和最小值．
解
令x＝logau，y＝logav，
则已知式可化为：
（x－1）2＋（y－1）2＝4（x≥0，y≥0）
再设t＝loga（uv）＝x＋y（x≥0，y≥0），由图可知，当线段y＝－x＋t（x≥0，y≥0）与圆弧（x－1）2＋（y－1）2＝4（x≥0，y≥0）相切时，截距t取得最大值，此时tmax＝2＋2
（如图中CD位置）；当线段端点是圆弧端点时，t取得最小值，此时tmin＝1＋
（如图中AB位置）．因此loga（uv）的最大值是2＋2
，最小值是1＋
.
点评 本题通过换元的方法将已知条件转化为圆的方程的形式，将欲求代数式和直线的截距进行联系，结合图形直观形象地获得答案．
类型三 数形结合思想解决代数式值的范围问题
【例3】 已知实数x，y满足x2＋y2＝3（y≥0），m＝
，b＝2x＋y.
求证：
（1）
≤m≤
；
（2）－2
≤b≤
.
[分析] m可看作两点（x，y）与（－3，－1）连线的斜率，b可看作直线y＝－2x＋b在y轴上的截距．
→
→
[证明]
（1）m可看作过半圆x2＋y2＝3（y≥0）上的点M（x，y）和定点A（－3，－1）的直线的斜率．
由图可知k1≤m≤k2（k1，k2分别为直线AM1，AM2的斜率），k1＝
＝
，
圆心到切线k2x－y＋3k2－1＝0的距离为
d＝
＝
，k2＝
（舍去负值），
∴
≤m≤
.
（2）b可看作斜率为－2，过半圆x2＋y2＝3（y≥0）上一点P（x，y）的直线在y轴上的截距．
由图可知n2≤b≤n1，P2C的方程为y＝－2（x＋
），
令x＝0，y＝n2＝－2
，
∵圆心到切线P1B：
2x＋y＋c＝0的距离d＝
＝
，
∴c＝±
（舍负值），n1＝
，
∴－2
≤b≤
.,
[点评] 条件中的数量关系决定了几何图形的性质，反之，几何图形的性质反映了数量关系，数形结合思想能将抽象思维与形象思维有机地结合起来，恰当地运用可提高解题速度，优化解题过程．
【探究3】 已知x，y满足
＋
＝1，求y－3x的最大值与最小值．
解 令y－3x＝b，则y＝3x＋b.
原问题转化为：
在椭圆
＋
＝1上求一点，使过该点的直线的斜率为3，且在y轴上的截距最大或最小．
由图可知，当直线y＝3x＋b与椭圆
＋
＝1相切时，有最大截距与最小截距，
⇒169x2＋96bx＋16b2－400＝0，
由Δ＝0，得b＝±13，故y－3x的最大值为13，最小值为－13.
点评 对于二元函数y－3x在限定条件
＋
＝1下求最值，常采用构造直线的截距的方法来求．本题正是通过引入参数b＝y－3x，视b为直线y＝3x＋b的纵截距，而直线与椭圆必须有公共点，故相切时b有最值，利用参数b的几何意义将一个代数式的最值问题转化成直线与椭圆相切的几何问题，体现了数形结合的魅力．
类型四 数形结合思想解决几何问题
【例4】 如图所示，已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为________．
[分析] 在同一坐标系中画出直线与圆．作出圆的切线PA、PB，则四边形PACB的面积S四边形PACB＝S△PAC＋S△PBC＝2S△PAC.把S四边形PACB转化为2倍的S△PAC可以有以下多条数形结合的思路．
→
→
[解] 解法一：
从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或向右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SRt△PAC＝
|PA|·|AC|＝
|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时|PC|＝
＝3，
从而|PA|＝
＝2
.
∴S四边形PACB最小值＝2×
×|PA|×|AC|＝2
.
这是运动变化的思想帮助我们打开了解题的思路．
解法二：
利用等价转化的思想：
设点P坐标为（x，y），则
|PC|＝
，由勾股定理及|AC|＝1，得|PA|＝
＝
，从而S四边形PACB＝2S△PAC＝2·
|PA|·|AC|＝|PA|＝
，从而欲求S四边形PACB最小值，只需求|PA|的最小值，只
求|PC|2＝（x－1）2＋（y－1）2的最小值，即定点C（1,1）与直线上动点（x，y）距离的平方的最小值，它也就是点C（1,1）到直线3x＋4y＋8＝0的距离的平方，这个最小值d2＝
2＝9，
∴S四边形PACB最小值＝
＝2
.
解法三：
利用函数思想，将解法二中S四边形PACB＝
中的y由3x＋4y＋8＝0中解出，代入化为关于x的一元函数，进而用配方法求最值，也可得S四边形PACB最小值＝2
.,
[点评] 本题的解答运用了多种数学思想方法：
数形结合思想，运动变化的思想，等价转化的思想以及配方法，灵活运用数学思想方法，能使数学问题快速得以解决．
【探究4】 已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）
A.
B.
C．（1,2）D．（1，－2）
解析 依题意可得抛物线的焦点坐标为F（1,0），设P到准线的距离为d，则由抛物线的定义知：
|PF|＋|PQ|＝d＋|PQ|.如图，当PQ∥x轴时，|PF|＋|PQ|最小，此时点P的坐标为
，故选A.
点评 这是一道典型的数形结合求最值的题目，方法是借助抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，然后在图形中通过几何方法得到问题的解．很多数学概念都具有一定的几何意义，常见的对应关系有：
导数f′（x0）↔曲线在x0处的斜率；复数的模↔向量的长度；椭圆↔到两定点A、B的距离之和为常数2a（2a>|AB|）；双曲线↔到两定点A、B的距离之差的绝对值为常数2a（2a<|AB|）；抛物线↔到定点与到定直线的距离相等；数列↔函数点列；方程组的解↔曲线的交点等.
好方法好成绩
1.数形结合的思考途径
（1）函数图象的交点或位置关系的问题与方程、不等式问题的相互转化；
（2）利用绝对值、解析几何中的重要公式（如两点间距离公式、直线的斜率、截距等）、定义等讨论函数式的背景及几何意义；
（3）有的几何图形问题，考虑建立恰当的直角坐标系，利用代数运算或选用向量基底，通过向量运算来处理．
在解题过程中常用到的图形有：
数轴、常见函数（一次、二次函数，指数、对数函数，三角函数）的图象、单位圆及三角函数线、圆、圆锥曲线和空间几何体等．
2．数形结合思想方法所涉及的主要内容
（1）考查集合及其运算问题——Venn图．
（2）考查用函数图象解决有关问题（如方程、不等式等问题）．
（3）考查运用向量运算解决有关问题．
（4）考查三角函数图象及应用．
（5）数轴及直角坐标系的广泛应用．
（6）数学概念及数学表达式的几何意义的应用．
（7）解析几何、立体几何中的数形结合．
3．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则
（1）等价性原则．要注意由于图象不能精确刻画数量关系所带来的负面效应．
（2）双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数逻辑推导，仅对代数问题进行几何分析容易失真．
（3）简单性原则．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围.
（注：
可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!
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