C．k1＝k2D．不确定
[答案] A
[解析] y＝sinx，y′＝cosx，
∴k1＝cos0＝1，k2＝cos
＝0，
k1>k2.
2．函数y＝x2cosx的导数为（ ）
A．y′＝2xcosx＋x2sinxB．y′＝2xcosx－x2sinx
C．y′＝x2cosx－2xsinxD．y′＝xcosx－x2sinx
[答案] B
[解析] y＝x2cosx，y′＝（x2）′cosx＋x2（cosx）′
＝2xcosx－x2sinx，故选B.
3．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为（ ）
A．4x－y－3＝0B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝0
[答案] A
[解析] 考查斜率与导数及直线方程基本知识．
因为y′＝4x3，由y′＝4得x＝1.而x＝1时y＝1，故l方程为4x－y－3＝0.
4．若曲线f（x）＝x4－x在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为（ ）
A．（1,3）B．（－1,3）
C．（1,0）D．（－1,0）
[答案] C
[解析] 设P（x0，y0），f′（x）＝4x3－1，
由题意得f′（x0）＝3，
∴4x
－1＝3，∴x0＝1.
∴y0＝x
－x0＝0，故选C.
5．函数f（x）＝x3＋3x2＋3x的单调增区间为（ ）
A．（－∞，＋∞）B．（－∞，－1）
C．（0，＋∞）D．（－1，＋∞）
[答案] A
[解析] f′（x）＝3x2＋6x＋3＝3（x2＋2x＋1）
＝3（x＋1）2≥0对x∈R恒成立，
所以f（x）＝x3＋3x2＋3x在R上为增函数，故选A.
6．（2012～2013学年度河南漯河市高二期末测试）函数f（x）＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是（ ）
A．－2B．0
C．2D．4
[答案] C
[解析] f′（x）＝3x2－6x＝3x（x－2），
f′（x）＝0得x＝0或2（舍去）
又f（0）＝2，f
（1）＝0，f（－1）＝－2
∴f（x）在区间[－1,1]上的最大值为2.
7．三次函数f（x）＝mx3－x在（－∞，＋∞）上是减函数，则m的取值范围是（ ）
A．m<0B．m<1
C．m≤0D．m≤1
[答案] C
[解析] f′（x）＝3mx2－1，由题意知3mx2－1≤0在（－∞，＋∞）上恒成立，当m＝0时，－1≤0在（－∞，＋∞）上恒成立；
当m≠0时，由题意得m<0，
综上可知m≤0.
8．已知抛物线y＝－2x2＋bx＋c在点（2，－1）处与直线y＝x－3相切，则b＋c的值为（ ）
A．20B．9
C．－2D．2
[答案] C
[解析] 由题意得y′|x＝2＝1，又y′＝－4x＋b，
∴－4×2＋b＝1，∴b＝9，
又点（2，－1）在抛物线上，
∴c＝－11，∴b＋c＝－2，故选C.
9．函数f（x）＝excosx的图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角的余弦值为（ ）
A．－
B.
C.
D．1
[答案] C
[解析] f′（x）＝excosx－exsinx，∴f′（0）＝1.
设f（x）在点（0，f（0））处切线的倾斜角为α，则tanα＝1，
∵α∈（0，π），∴α＝
，∴cosα＝
.
10．函数f（x）＝x2＋（2－a）x＋a－1是偶函数，则曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程是（ ）
A．y＝2xB．y＝－2x＋4
C．y＝－xD．y＝－x＋2
[答案] A
[解析] 考查利用导数确定切线方程．由f（x）为偶函数得a＝2，即f（x）＝x2＋1，从而f′
（1）＝2.切点（1,2），所以切线为y＝2x.
11．设函数f（x）的图象如图，则函数y＝f′（x）的图象可能是下图中的（ ）
[答案] D
[解析] 解法一：
由y＝f（x）图象知有两个极值点，第一个是极大值点，第二个是极小值点，由极值意义知．选D.
解法二：
观察f（x）的图象可见f（x）的单调性为增、减、增，故f′（x）的值为正、负、正，故选D.
12．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2，2]恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．（－∞，7]B．（－∞，－20]
C．（－∞，0]D．[－12,7]
[答案] B
[解析] 令f（x）＝x3－3x2－9x＋2，则f′（x）＝3x2－6x－9，令f′（x）＝0得x＝－1或x＝3（舍去）．
∵f（－1）＝7，f（－2）＝0，
f
（2）＝－20.
∴f（x）的最小值为f
（2）＝－20，
故m≤－20，综上可知应选B.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上）
13．曲线y＝lnx在点（1,0）处的切线的倾斜角为________．
[答案]
[解析] y′＝
，曲线y＝lnx在点（1,0）处的切线的斜率k＝1，
∴切线的倾斜角为
.
14．f（x）＝ax3－2x2－3，若f′
（1）＝5，则a等于________．
[答案] 3
[解析] ∵f′（x）＝3ax2－4x，
∴f′
（1）＝3a－4＝5，∴a＝3.
15．函数y＝f（x）＝lnx－x在区间（0，e]上的最大值为________．
[答案] －1
[解析] f′（x）＝
－1，令f′（x）＝0，即x＝1.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（0,1）
1
（1，e）
e
f′（x）
＋
0
－
f（x）
单调递增
极大值－1
单调递减
1－e
由于f（e）＝1－e，而－1>1－e，从而f（x）max＝f
（1）＝－1.
16．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围是________．
[答案] a<－1
[解析] ∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.
当a≥0时，y不可能有极值点，故a<0.
由ex＋a＝0，得ex＝－a，∴x＝ln（－a）．
∴x＝ln（－a）即为函数的极值点．
∴ln（－a）>0，即ln（－a）>ln1.
∴a<－1.
三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分12分）已知曲线y＝
上两点P（2，－1）、Q（－1，
）．
求：
（1）曲线在点P处、点Q处的切线斜率；
（2）曲线在点P、Q处的切线方程．
[解析] ∵－1＝
，∴t＝1
∴y＝
，∴y′＝
.
（1）当P为切点时，k1＝y′|x＝2＝1，
当Q为切点时，k2＝y′|x＝－1＝
.
（2）当P为切点时，切线方程为x－y－3＝0；
当Q为切点时，切线方程为x－4y＋3＝0.
18．（本题满分12分）已知f（x）＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a、b的值．
[解析] 显然a≠0（否则f（x）＝b与题设矛盾），由f′（x）＝3ax2－12ax＝0及x∈[－1,2]得，x＝0.
（1）当a>0时，列表：
x
（－1,0）
0
（0,2）
f′（x）
＋
0
－
f（x）
递增
极大值b
递减
由上表知，f（x）在[－1,0]上是增函数，
f（x）在[0,2]上是减函数．
且当x＝0时，f（x）有最大值，从而b＝3.
又f（－1）＝－7a＋3，f
（2）＝－16a＋3，
∵a>0，∴f（－1）>f
（2），
从而f
（2）＝－16a＋3＝－29，∴a＝2.
（2）当a<0时，用类似的方法可判断当x＝0时，f（x）有最小值，当x＝2时，f（x）有最大值，
从而f（0）＝b＝－29，f
（2）＝－16a－29＝3，得a＝－2.
综上，a＝2、b＝3或a＝－2、b＝－29.
19．（本题满分12分）已知函数f（x）＝－x3＋3x2＋9x＋a.
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x）在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
[解析]
（1）f′（x）＝－3x2＋6x＋9.
令f′（x）<0，解得x<－1，或x>3，
∴函数f（x）的单调递减区间为（－∞，－1）和（3，＋∞）．
（2）∵f（－2）＝8＋12－18＋a＝2＋a，
f
（2）＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f
（2）>f（－2）．
∵在（－1,3）上f′（x）>0，
∴f（x）在（－1,2]上单调递增．
又由于f（x）在[－2，－1]上单调递减，因此f
（2）和f（－1）分别是f（x）在区间[－2,2]上的最大值和最小值．
于是有22＋a＝20，解得a＝－2，
∴f（x）＝－x3＋3x2＋9x－2.
∴f（－1）＝1＋3－9－2＝－7，即函数f（x）在区间[－2，2]上的最小值为－7.
20．（本题满分12分）（2012·安徽文，17）设定义在（0，＋∞）上的函数f（x）＝ax＋
＋b（a>0）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线方程为y＝
x，求a、b的值．
[解析]
（1）由题设和均值不等式可知，f（x）＝ax＋
＋b≥2＋b，
其中等号成立当且仅当ax＝1，
即当x＝
时，f（x）取最小值为2＋b.
（2）f′（x）＝a－
，
由题设知，f′
（1）＝a－
＝
，
解得a＝2或a＝－
（不合题意，舍去）．
将a＝2代入f
（1）＝a＋
＋b＝
，解得b＝－1，
所以a＝2，b＝－1.
[点评] 本题考查均值不等式，导数应用，方程求解等基础内容．在应用均值不等式时保证“一定、二正、三相等”，并明确等号成立的条件．第
（1）问也可用导数研究其单调性再求最小值．
21．（本题满分12分）（2012～2013学年度辽宁大连24中高二期末测试）已知函数f（x）＝ax3＋bx（x∈R）．
（1）若函数f（x）的图象在点x＝3处的切线与直线24x－y＋1＝0平行，函数f（x）在x＝1处取得极值，求函数f（x）的解析式，并确定函数的单调递减区间；
（2）若a＝1，且函数f（x）在[－1,1]上是减函数，求b的取值范围．
[解析]
（1）∵f（x）＝ax3＋bx（x∈R），
∴f′（x）＝3ax2＋b.
由题意得f′（3）＝27a＋b＝24，
且f′
（1）＝3a＋b＝0，
解得a＝1，b＝－3.
经检验成立．
∴f（x）＝x3－3x.
令f′（x）＝3x2－3<0，
得－1∴函数f（x）的减区间为（－1,1）．
（2）当a＝1时，f（x）＝x3＋bx（x∈R），
又∵f（x）在区间[－1,1]上是减函数，
∴f′（x）＝3x2＋b≤0在区间[－1,1]上恒成立，
即b≤－3x2在区间[－1,1]上恒成立，
∴b≤（－3x2）min＝－3.
22．（本题满分14分）某商场预计2011年从1月份起前x个月，顾客对某种商品的需求总量p（x）件与月份x的近似关系是p（x）＝
x（x＋1）（39－2x）（x∈N*，且x≤12）．该商品的进价q（x）元与月份x的近似关系是q（x）＝150＋2x（x∈N*且x≤12）．
（1）写出今年第x月的需求量f（x）件与月份x的函数关系式；
（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？
[解析]
（1）当x＝1时，f
（1）＝p
（1）＝37；
当2≤x≤12时，
f（x）＝p（x）－p（x－1）
＝
x（x＋1）（39－2x）－
（x－1）x（41－2x）
＝－3x2＋40x（x∈N*，且2≤x≤12）．
验证x＝1符合f（x）＝－3x2＋40x，
∴f（x）＝－3x2＋40x（x∈N*且1≤x≤12）．
（2）预计销售该商品的月利润为g（x）＝（－3x2＋40x）·（185－150－2x）＝6x3－185x2＋1400x（x∈N*,1≤x≤12），g′（x）＝18x2－370x＋1400，
令g′（x）＝0，解得x＝5，x＝
（舍去）．
当1≤x<5时，g′（x）>0；
当5∴当x＝5时，g（x）max＝g（5）＝3125（元）．
综上5月份的月利润最大是3125元．
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