数值分析实验报告4.docx
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数值分析实验报告4
实验报告
实验项目名称非线性方程与方程组的数值解法
实 验 室 数学实验室
所属课程名称数值逼近
实验类型算法设计
实验日期
班级
学号
姓名
成绩
实验概述：
【实验目的及要求】
本次实验的目的是熟练《数值分析》第七章“非线性方程与方程组的数值解法”的相关内容，掌握方程求根与二分法、加权加速法、埃特金加速法、牛顿法、弦截法、抛物线法以及复根的情况。
。
本次试验要求编写二分法、加权加速法、埃特金加速法、牛顿法、弦截法、抛物线法等方法的程序编码，并在MATLAB软件中去实现。
【实验原理】
《数值分析》第七章“非线性方程与方程组的数值解法“的相关内容，包括：
方程求根与二分法、加权加速法、埃特金加速法、牛顿法、弦截法、抛物线法等的相应算法和相关性质。
【实验环境】（使用的软硬件）
软件：
MATLAB2012a
硬件：
电脑型号：
联想Lenovo昭阳E46A笔记本电脑
操作系统：
Windows8专业版
处理器：
Intel（R）Core（TM）i3CPUM350@2.27GHz2.27GHz
实验内容：
【实验方案设计】
第一步，将书上关于方程求根与二分法、加权加速法、埃特金加速法、牛顿法、弦截法、抛物线法等的内容转化成程序语言，用MATLAB实现；第二步，分别用以上求积公式的程序编码求解不同的问题。
【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）
实验的主要步骤是：
首先分析问题，根据分析设计MATLAB程序，利用程序算出问题答案，分析所得答案结果，再得出最后结论。
实验一：
求方程X3+4X2-10=0在X0=1.5附近的一个根，迭代函数为X=（
（精度达到10-6）
（1）用一般法求根
（2）用加权加速法求根
（3）用埃特金加速法求根
（4）找到另外一个迭代函数，用以上三种方法求根
（5）用matlab自带函数找根
（6）用Newton法求根
（7）用弦截法求根
（8）用抛物线法求根
（9）找出其他根，是否有复根，并比较以上哪种方法速度快
（1）在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现一般法求根的程序代码如下：
function[y,n]=BDD（x,eps）
ifnargin==1
eps=1e-6;
xl=gg（x）;
n=1;
E=abs（xl-x）;
while（E>=eps）&&（n<=10000）
x=xl;
xl=gg（x）;
n=n+1;
E=abs（xl-x）;
end
y=x;
k=n
end
end
functionf=gg（x）
f=sqrt（10/（4+x））;
end
在commandWindows中输入命令：
formatlong及BDD（1.5），得出的结果为：
>>formatlong
BDD（1.5）
k=
7
ans=
1.365230575673434
（2）在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现加权加速求根的程序代码如下：
function[y,n]=WA（a,eps）
ifnargin==1
eps=1e-16;
end
symsx
L=subs（diff（sqrt（10/（4+x）））,a）;
xl=gg（a,L）;
n=1;
E=abs（xl-a）;
while（E>=eps）&（n<=10000）
x=xl;
xl=gg（x,L）;
n=n+1;
E=abs（xl-x）;
end
y=x;
k=n
end
functionf=gg（x,L）
f=（sqrt（10/（4+x））-L.*x）/（1-L）;
end
在commandWindows中输入命令：
WA（1.5），得出的结果为：
>>WA（1.5）
k=
4
ans=
1.365230008676674
（3）在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现埃特金求根的程序代码如下：
function[y,n]=ATJ（a,eps）
ifnargin==1
eps=1e-6;
end
symsx
x0=subs（f（x）,a）;
x1=subs（f（x）,x0）;
x2=gg（x0,x1,a）;
n=1;
E=abs（x2-a）;
while（E>=eps）&（n<=10000）
X=x2;
x0=subs（f（x）,X）;
x1=subs（f（x）,x0）;
x2=gg（x0,x1,X）;
n=n+1;
E=abs（x2-X）;
end
y=X;
k=n
end
functionh=f（x）
h=sqrt（10/（4+x））;
end
functionf=gg（x,y,z）
f=y-（（y-x）^2）/（y-2*x+z）;
end
在commandWindows中输入命令：
ATJ（1.5），得出的结果为：
>>ATJ（1.5）
k=
3
ans=
1.365230013416586
（4）在以上三题中的代码的基础上进行修改：
functionf=gg（x）
f=sqrt（2.5-（x^3）/4）;
end
则三种方法运行出的结果分别为：
>>BDD（1.5）
k=
20
ans=
1.365229578333959
>>WA（1.5）
k=
6
ans=
1.365230351032824
>>ATJ（1.5）
k=
4
ans=
1.365230013413594
（5）在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现matlab自带函数求根的程序代码如下：
fun=@（x）x.^3+4*（x.^2）-10;
x=fzero（fun,1.5）
commandWindows中输出结果：
x=
1.365230013414097
（6）在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现Newton求根的程序代码如下：
function[y,n]=Newton（a,eps）
ifnargin==1
eps=1e-16;
end
symsx
L=subs（diff（f（x））,a）;
xl=subs（x-f（x）/L,a）;
n=1;
E=abs（xl-a）;
while（E>=eps）&（n<=10000）
X=xl;
L=subs（diff（f（x））,X）;
xl=subs（x-f（x）/L,X）;
n=n+1;
E=abs（xl-X）;
end
y=X;
k=n
end
functionf=f（x）
f=x^3+4*x^2-10;
end
在commandWindows中输入命令：
Newton（1.5），得出的结果为：
>>Newton（1.5）
k=
4
ans=
1.365230013916147
（7）在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现弦截法求根的程序代码如下：
function[y,n]=XJF（a,eps）
ifnargin==1
eps=1e-6;
end
symsx
x1=a+0.1;
A=ff（x1）;
B=ff（a）;
x2=gg（x1,a,A,B）;
n=1;
E=abs（x2-x1）;
while（E>=eps）&（n<=10000）
X=x1;
x1=x2;
A=ff（x1）;
B=ff（X）;
x2=gg（x1,X,A,B）;
n=n+1;
E=abs（x2-x1）;
end
y=x1;
k=n
end
functionh=ff（x）
h=x.^3+4*x.^2-10;
end
functionf=gg（x,y,z,w）
f=x-（（x-y）*z）/（z-w）;
end
在commandWindows中输入命令：
XJF（1.5），得出的结果为：
>>XJF（1.5）
k=
5
ans=
1.365230020178121
（8）在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现抛物线法求根的程序代码如下：
function[y,n]=parabola（fx,a,b,c,eps）
if（nargin==4）
eps=1e-6;
symsx
fa=subs（fx,a）;
fb=subs（fx,b）;
fc=subs（fx,c）;
fb_a=（fb-fa）/（b-a）;
fc_b=（fc-fb）/（c-b）;
fc_b_a=（fc_b-fb_a）/（c-a）;
w=fc_b+fc_b_a*（c-b）;
x0=c-2*fc/（w+（w^2-4*fc*fc_b_a）^.5）;
n=1;
if（abs（x0-c）>eps&&n<=10000）
a=b;
b=c;
c=x0;
fa=subs（fx,a）;
fb=subs（fx,b）;
fc=subs（fx,c）;
fb_a=（fb-fa）/（b-a）;
fc_b=（fc-fb）/（c-b）;
fc_b_a=（fc_b-fb_a）/（c-a）;
w=fc_b+fc_b_a*（c-b）;
x0=c-2*fc/（w+（w^2-4*fc*fc_b_a）^.5）;
n=n+1;
end
y=x0;
n;
end
end
在commandWindows中输入命令：
fx=x^3+4*x^2-10;
[y,n]=parabola（fx,1.5,1.6,1.378888322284549），得出的结果为：
>>fx=x^3+4*x^2-10;
[y,n]=parabola（fx,1.5,1.6,1.378888322284549）
y=
1.365230018508053
n=
2
（10）在commandWindows中输入命令：
p=[1,4,0,-10];roots（p），得出的结果为：
>>p=[1,4,0,-10];
roots（p）
ans=
-2.682615006707049+0.358259359924043i
-2.682615006707049-0.358259359924043i
1.365230013414097
前两个根是复根。
【结论】（结果）
通过以上的计算可以看出，埃特金和抛物线法比较快，埃特金需要三次迭代，抛物线只需要两次迭代就达到了要求的精度。
【小结】
通过此次实验，我对方程求根与二分法、加权加速法、埃特金加速法、牛顿法、弦截法、抛物线法有了更进一步的了解。
迭代法中牛顿法最实用，而弦截法和抛物线法不需要f（x）的导数，又具有超线性收敛，尤其是抛物线法收敛速度很快，也是常用的有效方法。
而matlab中有自带的函数可以求方程的根，fzero计算初值附近的一个根，函数roots计算多项式所有零点。
指导教师评语及成绩：
成绩：
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