1993年考研数学三真题与全面解析.docx
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1993年考研数学三真题与全面解析
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题（
本题共5
小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.）
（1）lim3x2
5sin2
.
x5x3x
（2）
已知y
f
3x
2,f
x
arctanx2,则dy
.
3x
2
dxx
0
（3）
级数
（ln3）n
的和为
.
n0
2n
（4）
设4
阶方阵A的秩为2
则其伴随矩阵
A*的秩为
.
（5）
设总体X的方差为1,根据来自X的容量为100的简单随机样本,测得样本均值为5,则
X的数学期望的置信度近似等于
0.95
的置信区间为
.
二、选择题（本题共
5小题,每小题
3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中
只有一项
是符合题目要求的
把所选项前的字母填在题后的括号内
.）
（1）
设f
x
xsin1
x
0,
x在点x
0处
（）
x2
则f
0,
x
0,
（A）
极限不存在
（B）
极限存在但不连续
（C）
连续但不可导
（D）
可导
lnx
（2）设fx为连续函数,且Fx
1
ftdt,则F
x等于
（）
x
（A）
1
f
lnx
1
f
1
（B）
1
lnx
1
x
x
2
x
f
f
x
x
（C）
1
f
lnx
12
f
1
（D）
f
lnx
f
1
x
x
x
x
（3）
n阶方阵A具有n个不同的特征值是
A与对角阵相似的
（）
（A）
充分必要条件
（B）
充分而非必要条件
（C）
必要而非充分条件
（D）
既非充分也非必要条件
（4）
假设事件A和B满足
P（BA）1,则
（
）
（A）
A是必然事件
（B）
P（BA）
0.
（C）
AB
（D）
AB
（5）设随机变量
X的密度函数为
（x）,且（x）
（x）.
F（x）是X的分布函数,则对任
意实数a,有
（）
1
（A）
F（a）
a
（B）
F（
a）
a
1（x）dx.
2
（x）dx
0
0
（C）
F（a）
F（a）
（D）
F（
a）
2F（a）1
三、（本题满分
5分）
设zf
x,y是由方程zyxxezyx
0所确定的二元函数
求dz.
四、（本题满分7分）
已知lim
xa
x
4x2e2xdx,求常数a的值.
xxa
a
五、（本题满分
9分）
设某产品的成本函数为
C
aq2
bq
c,需求函数为q
1（d
p）,其中C为成本,q
e
为需求量（即产量）,
p为单价,
a,b,c,d,e都是正的常数,且d
b,求:
（1）
利润最大时的产量及最大利润
;
（2）
需求对价格的弹性;
（3）
需求对价格弹性的绝对值为
1时的产量.
六、（本题满分
8分）
假设:
（1）
函数yf（x）（0x
）满足条件f（0）
0
和
（）
x
1;
0
f
xe
（2）
平行于y轴的动直线MN与曲线y
f（x）和y
ex
1分别相交于点
P1和P2;
（3）
曲线y
f（x）,直线MN与x轴所围封闭图形的面积
S恒等于线段PP的长度.
1
2
求函数y
f（x）的表达式.
七、（本题满分
6分）
假设函数
f（x）在[0,1]
上连续,在（0,1）内二阶可导,
过点A（0,
f（0））与B（1,f
（1））的直
线与曲线y
f（x）相交于点C（c,f（c））,其中0c1.
证明:
在（0,1）内至少存在一点,使f（）0.
八、（本题满分10分）
k为何值时,线性方程组
x1x2kx34,
2
x1kx2x3k,
x1x22x34
有惟一解,无解,有无穷多组解?
在有解情况下,求出其全部解.
九、（本题满分9分）
设二次型
fx12
x22
x32
2x1x2
2x2x32x1x3
经正交变换X
PY化成f
y22
2y32,其中X
（x1,x2,x3）T和Y
（y1,y2,y3）T是三维列
向量,P是3
阶正交矩阵.试求常数
.
十、（本题满分8分）
设随机变量X和Y同分布,X的概率密度为
f（x）
3x2,
0x2,
8
0,
其他.
（1）
已知事件AX
a和B
Ya
独立,且PAB
3.求常数a.
1
4
（2）
求
的数学期望.
X2
十一、（本题满分8分）
假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数Nt服从参数为t的泊松分
布.
（1）求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；
（2）求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率Q.
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.）
（1）【答案】6
5
lim3x
2
5sin2
3x
2
5
sin2
【解析】
2lim
lim
2
x,
x
5x
3
x
x
5x2
3x
x
x
sin2
sint
3x
2
5
6x
3
极限
lim
x
lim
2
lim
1,而
5x2
3x
洛lim
x
t
0
t
x
x10x
5
x
所以
lim
3x2
5
2
3
1
6
.
sin
2
x
5x
3
x
5
5
（2）【答案】3
4
【解析】令gx
3x
2,则有g01,gx
12
2
3x
2
3x
2,则g03,
由复合函数求导法则知
dy
fg
0
g0
3f
1
3arctan1
3.
dxx0
4
（3）【答案】
2
2ln3
【解析】利用几何级数求和公式
xn
1
（x
1）,令x
ln3
即得
n
0
1
x
2
（ln3）n
1
2
2n
ln3
2
.
n0
ln3
1
2
（4）【答案】0
【解析】本题考查伴随矩阵的定义及矩阵的秩的定义.
由于rA
2,说明A中3阶子式全为0,于是A的代数余子式A
0,故A*
0.
ij
所以秩rA*0.
若熟悉伴随矩阵A*秩的关系式
n,
r
A
n,
r
A*
1,
r
A
n1,
0,
r
A
n
1,
易知rA*
0.
注：
按定义
A11
A21
An1
A*
A12
A22
An2
A1n
A2n
Ann
伴随矩阵是n阶矩阵,它的元素是行列式
A的代数余子式,是n
1阶子式.
（5）【答案】（4.804,5.196）
【解析】此题是求一个一般总体、大样本、方差已知的关于期望值的置信区间,可以
用正态总体的区间估计公式近似求其置信区间.
因X的方差为
1,设X的期望为
X
N（0,1）.
则U
/
n
当置信度为1
0.95,时
0.05,有正态分布表知
u
u0.025
1.96.因此用公式：
2
I
（x
u,x
n
u
）.
n
2
2
将x5,1,n
100,u
1.96代入上式,得到所求的置信区间为I
（4.804,5.196）.
2
二、选择题（本题共5小题,每小题
3分,满分15
分.）
（1）【答案】（C）
【解析】利用函数连续定义判定.
由于当x
0时,sin
12
为有界变量,
x为无穷小量,则
x
lim
f
x
lim
xsin12
0,且f
0
0.
x0
x
0
x
于是fx在x
0处连续.故（A）（B）
不正确.
1
1
又因为lim
xsinx2
f
0
lim
xsin
x2
1
1
不存在,所以fx
lim
sin2
x
0
x
0
x
0
x
x0
x
x
在x
0处不可导,所以选（C）.
【相关知识点】函数连续定义：
如果函数在x0
处连续,则有lim
f（x）
limf（x）f（x0）.
x
x0
xx0
（2）【答案】（A）
【解析】
1
1
1
f
lnx
1
1
Fx
flnx
x
f
x
x2
x
x2f
x
.
【相关知识点】积分上限函数的求导公式：
d
x
t
dt
f
x
x
f
x
x.
dx
f
x
（3）【答案】（B）
【解析】A
A有n个线性无关的特征向量.
由于当特征值
1
2时,特征向量
1,
2线性无关.从而知,当A有n个不同特征值时,
矩阵A有n个线性无关的特征向量
那么矩阵A可以相似对角化.
因为当A的特征值有重根时
矩阵A仍有可能相似对角化
（当特征根的代数重数等于其
几何重数的时候）,所以特征值不同仅是能相似对角化的充分条件
故应选（B）.
（4）【答案】（D）
【解析】P（BA）
1的充分必要条件是
P（AB）
1,即P（AB）P（A）.显然四个选项中,
P（A）
当A
B时,AB
A,
可得P（AB）
P（A）.因此A
B是P（BA）
1
的充分条件.因此
选（D）.
（5）【答案】（B）
【解析】题目即考查概率论方面的知识
在计算过程中又用到定积分的一些知识.
由积分的性质,换元积分,并改变积分上下限有
F（
a）
a
x
t
a
（t）dt
（x）dx,
（x）dx
a
随机变量X的密度函数为
（x）,则
（x）dx
1
又由于（
x）
（x）,所以
0
（x）dx
1,（偶函数积分的性质）
（x）dx
0
2
1
a
0
a
（x）dx
（x）dx
即
（x）dx
（x）dx
.
a
0
a
2
1
a
a
于是
F（a）
（x）dx
（x）dx
（x）dx
0
（x）dx
a
0
2
a
（x）dx.
0
故应选（B）.
三、（本题满分
5分）
【解析】方法一：
利用一阶微分形式的不变性
将方程两端微分,得
dzdy
dx
ezyxdx
xezyx
dz
dy
dx0.
整理后得
1xezyx
dz
1xez
yx
ez
yx
dx
1xezyxdy.
由此,得dz
1
xezyx
ez
yx
dy.
1xezyx
dx
方法二：
应先求出函数对
x,y的偏导数,将z
y
x
xezyx
0两边分别对x,y求偏导,
zx
1ezyx
xezyxzx
10,
zy
1xezyxzy
1
0,
解之得
zx
1
x
1ez
yx
1
xezy
x
zy
1.
dz
zxdx
zydy
1
x
1ezy
x
dy.
故
1
xez
y
x
dx
四、（本题满分
7分）
x
x
2a
x
2a
【解析】
lim
a
lim1
lim1
x
a
xa
xa
x
x
x
令
2a
t
则当x
时,t
0,
x
a
xa2ax
2axa
x
a
1
2a
2a
lim
1
lim
1tt
e,
x
a
x
t0
x
a
2ax
2ax
2a
2a
xa
lim
lim
1
xa
e2a.
所以
ex
x
x
a
而
4x2e2xdx2x2de2x
2x2e2x
a
4xe2xdx
a
a
a
lim2b2e2b
2a2e2a
2
xde2x
b
a
2a2e2a
2xe
2x
2
a
e2xdx
a
2a2e2a
lim
2be
b
2a2e2a
2ae2a
e
2b
2ae2a
lim
e2b
e2a
b
2a
由e2a2a2e2a2ae2ae2a,得a2a0,所以a0或a1.
五、（本题满分9分）
【解析】
（1）利润函数为
L
pq
C
（d
eq）q（aq2
bq
c）
（d
b）q
（e
a）q2
c,
对q求导,并令dL
0,
得dL
（d
b）
2（ea）q
0,得q
d
b.
dq
dq
2（e
a）
因为
d2L
2（e
a）
0,所以,当q
d
b
时为利润函数的极大值点
根据题意也是利
dq2
a）
2（e
润的最大值点,所以Lmax
（d
b）2
c.
4（e
a）
（2）
因为q（p）
1（d
p）,所以q（p）
1
故需求对价格的弹性为
pq
eqd.
e
e
q
eq
（3）
由
d
1,得q.
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