7．函数ψ（x）=2
sinπx−3
2
a
2
a
a
sin
2πxa
是不是一维势箱中粒子的一种可能状态？
如
果是，其能量有没有确定值（本征值）？
如有，其值是多少？
如果没有确定值，其平均值是多少？
8．试计算长度为a的一维势箱中的粒子从n=2跃迁到n=3的能级时，德布罗意长的变化。
9．在长度为100pm的一维势箱中有一个电子，问其从基态跃迁到第一激发态吸收的辐射波长是多少？
在同样情况下13粒子吸收的波长是多少？
（已知me=9.109×10-31kg，mα=6.68×10-27kg）10．已知一维势箱的长度为0.1nm，求：
（1）n=1时箱中电子的deBroglie波长；
（2）电子从n=2向n=1跃迁时辐射电磁波的波长；
（3）n=3时箱中电子的动能。
11．设一维势箱的长度为l，求处在n=2状态下的粒子，出现在左端1/3箱内的概率。
12．一电子在长为600pm的一维势箱中由能级n=5跃迁到n=4，所发射光子的波长是多少？
13．金属锌的临阈频率为8.065×1014s-1，用波长为300nm的紫外光照射锌板，计算该锌板发射出的光电子的最大速率。
14．计算下列各种情况下的deBröglie波长。
（1）在电子显微镜中，被加速到1000kV的电子；
（2）在300Ｋ时，从核反应堆发射的热中子（取平均能量为kT/2）
（3）以速率为1.0m·s-1运动的氩原子（摩尔质量39.948g·mol-1）
（4）以速率为10-10m·s-1运动的质量为1g的蜗牛。
（1eV=1.60×10-19J，k=1.38×10-23J·K-1）
15．计算能量为100eV的光子、自由电子、质量为300g小球的波长。
（1eV=1.60×10-19J，me=9.109×10-31kg）
16．试计算具有下列波长的光子能量和动量：
（1）0.1m（微波）
（2）500nm（可见光）（3）20µm（红外线）（4）500pm（X射线）
17．对于一个在特定的一维箱中的电子，观察到的最低跃迁频率为4.0×1014s-1，求箱子的长度。
18．维生素A的结构如图:
它在332nm处有一强吸收峰，也是长波方向第一个峰，试估算一维势箱的长度l。
19．一子弹运动速率为300m·s-1，假设其位置的不确定度为4.4×10-31m，速率不确定度为0.01%×300m·s-1，根据测不准关系式，求该子弹的质量。
20．边长为L=84pm的一维势箱中的6个电子，计算其基态总能量。
21．函数sinxcosx，sin2x，ex2中哪些是d2/dx2的本征函数，本征值是多少？
22．直链共轭多烯
中，π电子可视为在一维势箱中运动的粒子，实际测得π电子由最高填充能级向最低空能级跃迁时吸收光谱波长为30.16×104pm，试求该一维势箱的长度。
五、证明题
1．假定ψ和ψ是对应于能量E的简并态波函数，证明ψ=cψ+cψ
同样也是对应于
121122
能量E的波函数。
2
a
2．函数ψ（x）=sin
2πxa
πx
2
a
+2sin是否是一维势箱中的一个可能状态？
试讨论其
a
能量值。
3．设粒子位置的不确定度等于其德布罗意波长，则此粒子的速率的不确定度与粒子运动速率的关系如何。
第一章量子力学基础知识习题答案
一、是非题
1．非2．非3．非4．非5．是6．非二、填空题
1．E=hγ
h
P=h
λ
h
2．λ=
=,小
pmv
3．电子的几率密度
4．∆x⋅∆px≥h，说明微观物体的坐标和动量不能同时确定,其不确定度的乘积不小于h。
i
i
5．合格的波函数的条件是。
6．
（1）
∫ψ*ψ
jdτ=0
i≠j
，
（2）
∫ψ*ψ
idτ=1
7．
（1）ψ=
2
l
sin
nπxl
n=1,2,3,⋯，
（2）
iℏ
n2h2
=
E
8ml2
∂
h2
;，（3）1/2，（4）增长
8ml2
8．−
2π∂x
9．
（1）爱因斯坦
（2）德布罗意（3）海森堡（4）薛定谔（5）玻恩
三、选择题
1．（D）2．（C）3．（D）4．（C）5．
（1）B,C
（2）A,B,C（3）B,C6．（D）
7．（A）
8．（Ａ）（Ｂ）
四、计算题
1．p=h
λ
=6.626×10-34
0.1×10-9
m⋅kg⋅s-1=6.626×10−24m⋅kg⋅s-1
p2（6.626×10−34）2
T==J=2.410×10-17J
2m2×9.109×10−31
2．T=hν-hν0=
hchc
-
λλ
0
T=（1/2）mv2
2hc（1−1）
mλλ0
v==6.03×105m·s-1
3．（1/2）mv2=hν
-W0=hc/λ-W0=2.06×10-19J
v=6.73×105m/s
10000
4．λ=1.226×10-9ｍ/=1.226×10-11m
5．pˆ
h
x=-i
2π
d，-ihddx2πdx
（Ne-ix）=-h
2π
（Ne-ix）本征值为-h
2π
1.755a2πx1
6．P=
∫0.25a
sin2（）dx=0.5+=0.818
aaπ
2
a
2
a
πx2πx
7．
（1）该函数是一维箱中粒子的一种可能状态,因sin及sin是方程的解,
aa
其任意线性组合也是体系可能存在的状态。
（2）其能量没有确定值,因该状态函数不是能量算符的本征函数。
5h2
（3）=
13ma2
hh21
8．∆λ=λ2-λ3=-=a-a=a
p2p333
n2h2
4h2
h23h2
9．一维势箱En=，∆E=E2-E1=-=
8ml2
8ml2
8ml2
8ml2
hc8ml2c
λ==，对电子λ=11.00nm，对α粒子λ=8.07×104nm
∆E3h
10．
（1）λ=2×10-10m，
（2）λ=1.1×10-8m，（3）T=5.43×10-17J
11．n=2,ψ=
2sin2πx，p=∫1/3ψ2dx=1+
=0.402
3
ll038π
2
12．E
−E=h
c，（n2−n2）h
=hc
，λ=
8ml2c
=43.95nm
13．
21
hγ=hγ
λ2
+1mν2
02
18ml2
−
λ9h
3×108
2h（γ−γ）1
ν=[0]2=[
2×6.626×10
34（
300×10−9
−8.065×1014）1
]2
=5.31×105ms−1
m
2mE
14．
（1）λ=h=
9.1×10−31
6.626×10−34
2×9.1×10−31×1000×103×1.6×10−19
=1.23×10−12m
2mE
2m（1/2）kT
2×1.67×10−27×1.38×10−23×300
（2）λ=h=h=
6.626×10−34
=1.78×10−10m
（3）
λ=h=
p
h=6.626×10−34
mv39.948/6.02×1023×1
=9.99×10−12m
（4）
λ=hmv
=6.63×10−21m
15．光子：
λ=hc=1.24×10−8，自由电子：
λ=
E
h=1.23×10−10m
2mE
2mE
小球：
λ=
h=2.14×10−25m
16．p=4.30×10−24kgms−1,
Ek=5.54×10−21J
（1）
（2）
E=1.99×10−24J;
E=3.98×10−19J;
p=6.63×10−33kg⋅m⋅s−1p=1.33×10−27kg⋅m⋅s−1
（3）E=9.94×10−21J;p=3.31×10−29kg⋅m⋅s−1
（4）
E=3.98×10−16J;
h2
p=1.33×10−24kg⋅m⋅s−1
3h2
17．E
−E=
（n2−n2）=
=hγ
218ml221
8ml2
l=（3h
8mγ
）1/2=8.27×10−10m
18．l=1.05nm
h
19．m=
Δν⋅Δx
6.63×10−34J⋅s
=0.01%×300m⋅s−1×4.4×10−31m
=0.05kg
h2
20．E=
=
8ml2
（2×1+2×22+2×32）
（6.63×10−34）2
×28=2.38×10−18J
8×9.1×10−31×（8.4×10−10）2
21．
dsinxcosx=cos2x−sin2x
dx
d2
dx2sinxcosx=−4sinxcosx
dsin2x=2sindx
d2
xcosx
dx2
sin2x=2cos2x−2sin2x
dex2
2
dx
=2xex2
2
d2
ex
dx2
=2ex
+4x2ex
2
d2
只有sinxcosx是的本征函数，本征值是-4。
dx2
22．该多烯中有6个π电子，最高填充能级n=3，最低空能级n=4。
∆E=E4−E3=
（42−32）h2
8ml2
=7h2
8ml2
∆E=hc
λ
7h2
7hλ
8mc
=
8ml2l=
7×6.626×10−34J⋅s×30.16×104pm×10−12m/pm
8×9.1×10−31kg×3×108m
l=
=8×10−10m
五、证明题
1．∵
Hˆψ
=Eψ,
Hˆψ=Eψ
1
2
1
2
Hˆψ=Hˆ
（cψ+cψ）=
Hˆc1ψ1+
Hˆc2ψ2=c1Hˆψ1+c2Hˆψ2
1122
=cEψ+cEψ=Eψ
1122
22EE
4h2
4h2h2
2．是;=
1+
2=+=
22+12
22+1240ma240ma2
5ma2
hhhh
3．Δx=λ=
=,
pmv
Δv==
m⋅Δx
=v
m⋅h
mv
第二章原子的结构和性质习题
一、是非题
1．在多电子原子中，单个电子的动能算符均为−
ℏ∇2，所以，每个电子的动能都相等。
2
2m
2．原子轨道是指原子中的单电子波函数，所以一个原子轨道只能容纳一个电子。
3．ψ,ψ,ψ分别对应ψ,ψ,ψ
3．求解氢原子的Schrödinger方程能自然得到n，l，m，ms四个量子数。
4px4py4pz41141−1410
z
4．ψ210与ψ2p代表相同的状态。
5．对单电子原子来说，角量子数l确定后，它的轨道角动量矢量是能够完全确定。
6．在原子中，磁量子数m相同的原子轨道角动量的大小不一定相同。
7．在单电子原子中，磁量子数m相同的轨道，其角动量的大小必然相等。
8．在径向分布图中，节点前后图像的符号恰好相反。
9．氢原子1s态在离核52.9pm处概率密度最大。
10．氢原子1s轨道的径向分布函数最大值在r=a0处的原因是1s轨道在r=a0处的概率密度最大。
11．多电子原子中单电子波函数的角度部分和氢原子是相同的。
12．由组态p2导出的光谱项和光谱支项与组态p4导出的光谱项和光谱支项相同，其能级次序也相同。
13．通过解氢原子的薛定谔方程，可得到n，l，m和ms四个量子数。
14．电子自旋量子数s=±1/2。
15．若Rnl（r）已归一化，则∫Rnl（r）Rnl（r）dr=1。
16．离核愈近，D（=r2R2）值愈大。
二、填空题
1．在直角坐标系下，Li2+的Schrödinger方程为。
2．已知类氢离子He+的某一状态波函数为：
⎜
1⎛2
⎞32⎛
2r⎞
4（2π）1
2⎜a⎟
⎜2−a
⎟e-2r2a0
⎝0⎠⎝0⎠
则此状态的能量为
（a）
，
此状态的角动量的平方值为
（b）
，
此状态角动量在z方向的分量为
（c）
，
此状态的n，l，m值分别为
（d）
），
此状态角度分布的节面数为
（e）
。
3．原子轨道是原子中的单电子波函数，每个原子轨道只能容纳个电子。
4．H原子的ψ（r,θ,ϕ）可以写作R（r）,Θ（θ）,Φ（φ）三个函数的乘积，这三个函数分别由量子数（a），（b），（c）来规定。
5．H原子波函数
2
⎛Z⎞32⎛6Zr
Z2r2⎞
⎜
ψ=81（π）12⎜a⎟⎜a
−
a2⎟ecosθ，则三个量子数分别为n=，l
−Zr3a0
⎝0⎠⎝00⎠
=和m=。
2pz
6．氢原子波函数（A）ψ,
（B）ψ,
（C）ψ中是算符Hˆ的本征函数是（a），算符Mˆ2
2px
2p211
的本征函数有（b），算符MˆZ的本征函数有（c）。
3pz3pz
7．氢原子处于定态ψ时的能量为（a）eV，原子轨道ψ只与变量（b）有关，
ψ
3pz
与（）相同的简并态。
ψc
3px
3，2，1
8．氢原子中的电子处于ψ状态时，电子的能量为（a）eV，轨道角动量为（b）
h2π，轨道角动量与z轴或磁场方向的夹角为（c）。
1⎛Z⎞⎛Zr⎞2
816π12⎜a
⎟⎜a
⎟
9．氢原子波函数ψ
=（）⎜⎟⎜⎟e−Zr3a0（3cos2θ−1）的
320
⎝0⎠⎝0⎠
径向部分节面数（a），角度部分节面数（b）。
10．原子轨道的径向部分R（r）与径向分布函数的关系是（a）。
用公式表示电子出现在半径
r=a0、厚度为100pm的球壳内的概率为（b）。
11．基态H原子单位体积中电子出现概率最大值在（a）；单位厚度的球壳体积中电子出现概率最大值在（b）。
12．基态Be原子的Slater行列式波函数为：
。
13．氦原子的薛定谔方程为：
。
14．量子数为L和S的一个谱项有（a）个微观状态。
1D2有（ｂ）个微观状态。
15．Cl原子的电子组态为[Ne]3s23p5，它的能量最低的光谱支项为.
16．多电子原子的一个光谱支项为3D2，在此光谱支项所表征的状态中，原子的总轨道角动量等于（a）；原子总自旋角动量等于（b）；原子总角动量等于（c）；在磁场中，此光谱支项分裂出（d）个蔡曼（Zeeman）能级。
17．对谱项3P考虑旋轨偶合时，各能级分裂的能级为。
18．Li原子基组态的光谱项和光谱支项为。
19．在一定的电子组态下，描述多电子原子运动状态的量子数（考虑自旋－轨道相互作用）是。
20．1eV的能量是指。
21．1a.u.（原子单位）的长度为。
22．1a.u.（原子单位）的质量为。
23．1a.u.（原子单位）的电荷为。
24．1a.u.（原子单位）的能量为。
25．1a.u.（原子单位）的角动量为。
z
26．ϕ211,ϕ321,ϕ3d2,（ϕ
+
ϕ
320
）均是氢原子许可的状态，其中是
322
Hˆ的本征态，
是Mˆ2的本征态，是Mˆz的本征态。
27．写出C原子的电子运动的薛定谔方程。
28．写出Mg原子的电子运动的薛定谔方程。
29．两个原子轨道ψ1和ψ2互相正交的数学表达式为。
30．写出组态为1s12s2锂原子的Slater行列式波函数：
。
三、选择题
1．已知ψ
=R×Y
=R×Θ×Φ，其中R,Θ,Φ,Y皆已归一化，则下列式子成立的是：
（）
（A）∫∞ψ2dr=1（B）（B）∫∞R2dr=1
00
0
0
0
（C）∫∞∫2πY2dθdφ=1（D）∫πΘ2sinθdθ=1
2ψ
．氢原子处于状态时，电子的角动量为：
（）
2pz
（A）在x轴上的投影没有确定值，其平均值为1
（B）在x轴上的投影有确定值，其确定值为1
（C）在x轴上的投影没有确定值，其平均值为0
（D）在x轴上的投影有确定值，其值为0
3．H原子3d状态的轨道角动量沿磁场方向分量的个数为：
（）
（A）5（B）4（C）3（D）2
4．H原子的s轨道的角动量为：
（）
（A）
h2π
（B）
2h2π
（C）
0（D）-h2π
5．用来作原子的电子云形状应该用：
（）
（A）Y2（B）R2
（C）D2
（D）
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