（3）经过点A（5，－3），且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
答案 －＝1
解析 设双曲线的方程为x2－y2＝λ（λ≠0），把点A（5，－3）代入，得λ＝16，故所求方程为－＝1.
（4）（2018·北京高考）若双曲线－＝1（a>0）的离心率为，则a＝________.
答案 4
解析 由已知，b2＝4，e＝＝，即＝2＝，又因为a2＋b2＝c2，所以＝，a2＝16，a＝4.
题型 双曲线的定义及应用
1．若双曲线－＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A（1,4），则|PF|＋|PA|的最小值是（ ）
A．8B．9C．10D．12
答案 B
解析 由题意知，双曲线－＝1的左焦点F的坐标为（－4,0），设双曲线的右焦点为B，则B（4,0），由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．
∴|PF|＋|PA|的最小值为9.故选B.
2．已知F1，F2为双曲线C：
x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.
答案
解析 ∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，
∴|PF1|＝2|PF2|＝4，
则cos∠F1PF2＝
＝＝.
条件探究 举例说明2中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，求△F1PF2的面积．
解 不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝＝，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin60°＝2.
（1）应用双曲线的定义需注意的问题
在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点（动点）具备的几何条件，即“到两定点（焦点）的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用．
（2）在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF1|－|PF2||＝2a平方，建立与|PF1|·|PF2|间的联系．
1．F1，F2分别是双曲线C：
－＝1的左、右焦点，P为双曲线C右支上一点，且|PF1|＝8，则△PF1F2的周长为（ ）
A．15B．16C．17D．18
答案 D
解析 由已知得a＝3，b＝，c＝＝4，所以|F1F2|＝2c＝8.由双曲线的定义可知，|PF1|－|PF2|＝2a＝6，又|PF1|＝8，所以|PF2|＝2.所以△PF1F2的周长是|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝18.
2．方程－＝12的化简结果为（ ）
A.－＝1B.－＝1
C.－＝1（x>0）D.－＝1（x>0）
答案 C
解析 由已知得点P（x，y）到点F1（－10,0）和点F2（10，0）的距离之差为12，显然12<|F1F2|，所以点P的轨迹是以F1（－10,0），F2（10,0）为焦点，实轴长为12的双曲线的右支，已知方程是点P的轨迹方程，由a＝6，c＝10得b＝＝8，所以点P的轨迹方程可化为－＝1（x>0）．
题型 双曲线的标准方程及应用
1．已知动圆M与圆C1：
（x＋4）2＋y2＝2外切，与圆C2：
（x－4）2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A.－＝1（x≥）B.－＝1（x≤－）
C.＋＝1（x≥）D.＋＝1（x≤－）
答案 A
解析 设动圆的半径为r，由题意可得MC1＝r＋，MC2＝r－，所以MC1－MC2＝2＝2a，故由双曲线的定义可知动点M在以C1（－4,0），C2（4,0）为焦点，实轴长为2a＝2的双曲线的右支上，即a＝，c＝4⇒b2＝16－2＝14，故其标准方程为－＝1（x≥）．
2．根据下列条件，求双曲线的标准方程：
（1）虚轴长为12，离心率为；
（2）焦距为26，且经过点M（0,12）；
（3）经过两点P（－3,2）和Q（－6，－7）．
解
（1）设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1（a>0，b>0）．
由题意知，2b＝12，e＝＝，
∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
（2）∵双曲线经过点M（0,12），∴M（0,12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
（3）设双曲线方程为mx2－ny2＝1（mn>0）．
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
求双曲线标准方程的两种方法
（1）待定系数法：
设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ（λ≠0）．
（2）定义法：
依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．
注意：
求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1（mn<0）求解．
1．设F1和F2分别为双曲线－＝1（a>0，b>0）的左、右焦点，若F1，F2，P（0,2b）为等边三角形的三个顶点，且双曲线经过Q（，）点，则该双曲线的方程为（ ）
A．x2－＝1B.－＝1
C.－＝1D.－＝1
答案 D
解析 F1和F2分别为双曲线－＝1（a>0，b>0）的左、右焦点，F1，F2，P（0,2b）构成正三角形，
∴2b＝c，即有3c2＝4b2＝3（a2＋b2），∴b2＝3a2；双曲线－＝1过点Q（，），
∴－＝1，解得a2＝4，∴b2＝12，
∴双曲线方程为－＝1.故选D.
2．已知双曲线过点（4，），且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．
答案 －y2＝1
解析 因为此双曲线的渐近线方程为y＝±x，即±y＝0，所以可设此双曲线方程为－y2＝λ（λ≠0）．
又因为此双曲线过点（4，），所以－（）2＝λ，λ＝1，所以此双曲线的标准方程为－y2＝1.
题型 双曲线的几何性质
角度1 与双曲线有关的范围问题
1．（2015·全国卷Ⅰ）已知M（x0，y0）是双曲线C：
－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
答案 A
解析 不妨令F1为双曲线的左焦点，则F2为右焦点，由题意可知a2＝2，b2＝1，∴c2＝3，∴F1（－，0），F2（，0），则·＝（－－x0）·（－x0）＋（－y0）·（－y0）＝x＋y－3.
又知－y＝1，∴x＝2＋2y，∴·＝3y－1<0.
∴－角度2 与双曲线渐近线有关的问题
2．（2018·全国卷Ⅰ）已知双曲线C：
－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝（ ）
A.B．3C．2D．4
答案 B
解析 因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F（2,0），所以直线MN的方程为y＝－（x－2），
由得所以M，
由得所以N（3，－），
所以|MN|＝＝3.
角度3 与双曲线离心率有关的问题
3．双曲线－＝1（a>0，b>0）的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点（2,1）在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
答案 B
解析 依题意，注意到题中的双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，且“右”区域是由不等式组所确定，又点（2,1）在“右”区域内，于是有1<，即>，因此题中的双曲线的离心率e＝∈，选B.
1．与双曲线有关的范围问题的解题思路
（1）若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．
（2）若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．
2．与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略
（1）双曲线的离心率e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形成关于e的关系式，并且需注意e>1.
（2）双曲线－＝1（a>0，b>0）的渐近线是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0.
（3）渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．
1．（2016·全国卷Ⅰ）已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（ ）
A．（－1,3）B．（－1，）
C．（0,3）D．（0，）
答案 A
解析 由题意可知，c2＝（m2＋n）＋（3m2－n）＝4m2，其中c为半焦距，
∴2c＝2×2|m|＝4，∴|m|＝1，
∵方程－＝1表示双曲线，
∴（m2＋n）·（3m2－n）>0，
∴－m22．设双曲线C：
－＝1（a>0，b>0）的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）
A．2B.
C．2D．4
答案 B
解析 因为双曲线C：
－＝1的两条渐近线互相垂直，所以渐近线方程为y＝±x，所以a＝b.因为顶点到一条渐近线的距离为1，所以a＝1，所以a＝b＝，双曲线C的方程为－＝1，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b＝.
3．（2018·全国卷Ⅲ）设F1，F2是双曲线C：
－＝1（a>0，b>0）的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为（ ）
A.B．2
C.D.
答案 C
解析 由题可知|PF2|＝b，|OF2|＝c，∴|PO|＝a.
在Rt△POF2中，cos∠PF2O＝＝，
∵在△PF1F2中，
cos∠PF2O＝＝，
∴＝⇒c2＝3a2，
∴e＝.故选C.
题型 直线与双曲线的综合问题
已知双曲线C：
x2－y2＝1及直线l：
y＝kx－1.
（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（2）若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
解
（1）若双曲线C与直线l有两个不同的交点，
则方程组有两个不同的实数根，
整理得（1－k2）x2＋2kx－2＝0，
所以
解得－即双曲线C与直线l有两个不同的交点时，k的取值范围是（－，－1）∪（－1,1）∪（1，）．
（2）设交点A（x1，y1），B（x2，y2），直线l与y轴交于点D（0，－1），由
（1）知，C与l联立的方程为（1－k2）x2＋2kx－2＝0，
所以
当A，B在双曲线的一支上且|x1|>|x2|时，S△OAB＝S△OAD－S△OBD＝（|x1|－|x2|）＝|x1－x2|；当A，B在双曲线的两支上且x1>x2时，S△OAB＝S△ODA＋S△OBD＝（|x1|＋|x2|）＝|x1－x2|.
所以S△OAB＝|x1－x2|＝，
所以（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝
（2）2，
即2＋＝8，解得k＝0或k＝±.
又因为－所以当k＝0或k＝±时，△AOB的面积为.
1．判断直线与双曲线位置关系的三个步骤
2．一个易错点
联立直线与双曲线方程消元后，一定要注意二次项系数是否为零的判断或讨论．
3．一组常用结论
过双曲线－＝1的右焦点F作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为8，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y＝±xB．y＝±2x
C．y＝±xD．y＝±2x
答案 C
解析 由右焦点F（c,0），∴－＝1，
∴y＝±，∴|AB|＝，∵△AOB的面积为8，
∴××＝8，解得m＝，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.
高频考点 双曲线的离心率、渐近线问题
考点分析 高考题对双曲线的考查，通常以选择或填空题的形式出现，考查内容以离心率、渐近线问题为主．
（2019·安徽皖江模拟）已知双曲线－＝1（a>0，b>0），四点P1（4,2），P2（2,0），P3（－4,3），P4（4，3）中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A.B.
C.D.
答案 C
解析 由双曲线的对称性可知P3（－4,3），P4（4,3）在双曲线上，且P1（4,2）一定不在双曲线上，∴P2（2,0）也在双曲线上，∴a＝2，b＝，c＝，∴e＝.
如果双曲线－＝1（a>0，b>0）两渐近线的夹角是60°，则该双曲线的离心率是________．
答案 或2
解析 易知双曲线的渐近线的斜率是±.又两渐近线的夹角为60°，则＝tan30°或＝tan60°，即e2－1＝或e2－1＝3，又e>1，所以e＝或e＝2，故该双曲线的离心率为或2.
（2018·华南师大附中二模）已知双曲线C：
－＝1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，点F2关于直线y＝x的对称点为M，若点M在双曲线C上，则双曲线C的渐近线方程为________．
答案 y＝±2x
解析 设点F2关于直线y＝x的对称点是M在双曲线的左支上，MF2交渐近线于点N，则|MN|＝|NF2|＝＝b，|ON|＝＝＝a，又因为O是F1F2的中点，N是MF2的中点，所以|MF1|＝2a，又由双曲线的定义知|MF2|－|MF1|＝2a，所以2b－2a＝2a⇒＝2，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.
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