初中数学数与式总复习.docx
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初中数学数与式总复习
初中数学数与式总复习
实数的有关概念
⑴实数的组成
正整数
整数
有理数
实数
分数
负整数
正分数
负分数
有尽小数或无尽循环小数
无理数
正无理数负无理数
无尽不循环小数
注意：
1.最简分数是有理数。
2.n、最简根式、e等是无理数。
（2）数轴：
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意
上述规定的三要素缺一个不可），实数与数轴上的点是对应的。
数轴上任一
点对应的数总大于这个点左边的点对应的数，
（3）相反数
实数的相反数是一对数（只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反数是零）.
从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.
（4）绝对值
a（a0）
|a|0（a0）
a（a0）
从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离
（5）倒数
实数a（a工的倒数是丄（乘积为1的两个数，叫做互为倒数）；零没有倒数.
【例题经典】
理解实数的有关概念例1①a的相反数是-丄,则a的倒数是
5
44*
②实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示：
b0a
则化简|ba|+―b）2=.
③去年泉州市林业用地面积约为10200000亩,用科学记数法表示为约
【点评】本大题旨在通过几个简单的填空,让学生加强对实数有关概念的理
解.例2.（-2）3与-23（）.
（A）相等（B）互为相反数（C）互为倒数（D）它们的和为16
分析：
考查相反数的概念，明确相反数的意义。
例3.-.、3的绝对值是；-3丄的倒数是；4的平方根是•
29
分析：
考查绝对值、倒数、平方根的概念，明确各自的意义，不要混淆。
答案：
3,-2/7,切3
例4.下列各组数中，互为相反数的是（）
A.-3与3B-3|与一-C.|-3|与-D.-3与，（-3）2
33
分析：
本题考查相反数和绝对值及根式的概念掌握实数的分类
例1下列实数22、sin60°—、（0）°、3.14159、-宾、（-厲）-2、V8中无73
理数有（）个
A.1B.2C.3D.4
【点评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断.
实数的运算
（1）加法
同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；
异号两数相加。
取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
任何数与零相加等于原数。
（2）减法a-b=a+（-b）
⑶乘法
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零.即
|a||b|（a,b同号）
ab|a||b|（a,b异号）
0（a或b为零）
a1
⑷除法—a-（b0）
bb
（5）乘方anaaa
n个
（6）开方如果x2=a且x>0那么Qa=x；如果x3=a，那么Vax
在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减.有括号时，先算括号里面.
3.实数的运算律
（1）加法交换律a+b=b+a
（2）加法结合律（a+b）+c=a+（b+c）
（3）乘法交换律ab=ba
（4）乘法结合律（ab）c=a（bc）
（5）分配律a（b+c）=ab+ac
其中a、b、c表示任意实数•运用运算律有时可使运算简便.
【例题经典】
例1、若家用电冰箱冷藏室的温度是4C,冷冻室的温度比冷藏室的温度低22C,则冷冻室的温度「C）可列式计算为
A.4—22=—18B.22-4=18
C.22—（—4）=26D.—4—22=—26
点评：
本题涉及对正负数的理解、简单的有理数运算，试题以应用的方式呈现，同时也强调列式”即过程。
例2.我国宇航员杨利伟乘神州五号”绕地球飞行了14周，飞行轨道近似看作圆，其半径约为6.71X103千米，总航程约为（取3.14,保留3个有效数字）（）
A.5.90X05千米B.5.90X06千米
C.5.89X05千米D.5.89X106千米
分析：
本题考查科学记数法
例3•化简3的结果是（）.
J72
（A）、7-2（B）7+2（C）3（.7-2）（D）3（7+2）
分析：
考查实数的运算。
例4.实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有（）.
1b+c>0②a+b>a+c③bc>ac④ab>ac
C
b
a
一2
0-1
2
31
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个分析：
考查实数的运算，在数轴上比较实数的大小
1
例5计算：
--+（-2）2X（-1）0-1—12|.
3
【点评】按照运算顺序进行乘方与开方运算。
例5•校学生会生活委员发现同学们在食堂吃午餐时浪费现象十分严重，于是决定
写一张标语贴在食堂门口，告诫大家不要浪费粮食.请你帮他把标语中的有关数
据填上.（已知1克大米约52粒）
如果每人每天浪费1粒大米，全国13亿人口，每天就要大约浪费米
吨大
分析：
本题考查实数的运算。
例7•阳阳和明明玩上楼梯游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，玩着玩着两人发现：
当楼梯的台阶数为一级、二级、三级……逐步增加时，楼梯的上法数依次为：
1,2，3，5，8，13,21,...•••（这就是著名的斐波那契数列）.请你仔细观察这列数中的规律后回答：
上10级台阶共有种上法.
分析：
归纳探索规律：
后一位数是它前两位数之和
例8•观察下列等式（式子中的“!
是一种数学运算符号）
1!
=1,2!
=2>1,3!
=3）2X1,4!
=4>3X2X1,…，
【回顾与思考】
知识点
代数式、代数式的值、整式、同类项、合并同类项、去括号与去括号法则、幕的运算法则、整式的加减乘除乘方运算法则、乘法公式、正整数指数幕、零指数幕、负整数指数幕。
大纲要求
考查重点
1•代数式的有关概念.
（1）代数式：
代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结而成的式子•单独的一个数或者一个字母也是代数式.
（2）代数式的值；用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果p叫做代
数式的值.
求代数式的值可以直接代入、计算.如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值.
（3）代数式的分类
2.整式的有关概念
1、单项式的有关概念
（1）单项式：
由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式。
单独的一个数或字..母也叫做单项式。
例如：
3a,m2n,abx,4x3,9,a
注意：
单项式不含加减运算，只含字母与字母或字母的乘法（包括乘方）运算
（2）单项式的系数：
单项式中数字因数叫做这个单项式的系数。
例如：
单项式
丄x2y,7xy2的系数分别是】7,当单项式系数是1或一1时，“1通常省略不写，
22
如ab就是1ab，系数是1；n就是1n，系数是一1.
（3）单项式的次数（指数）：
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
如4x的次数是1,3x2y3z的次数是2+3+1=6;数学的次数是0,如3,—9等可以当作0次单项式。
一个单项式的次数是几就叫做几次单项式，如则-a2b2是四次单项式。
3
例1:
指出下列各单项式的系数和次数
23
a,5ab2,a2bc,——
37
提示：
圆周率是常数，当单项式中含有项式的次数时应注意不要加上的指数。
1
『2b2中,a与b的指数和为4,
时，是单项式的系数，且在计算单
2、多项式的有关概念
（1）多项式：
几个单项式的和叫做多项式。
其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
如3x22x5是多项式，它的项分别是3x2,2x和5,其中5是常数项。
（2）多项式的次数：
多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。
如2y43x22的次为是3,即2x3”的次数。
一个多项式中含有几项，最高次数是几次就叫几次几项式。
如2y46y36叫做四次三项式。
在多项中，含有字母的项的次数是几次就叫做几次项。
如3a2b2abb5
（1）单项式：
只含有数与字母的积的代数式叫做单项式．
对于给出的单项式，要注意分析它的系数是什么，含有哪些字母，各个字母的指数分别是什么。
（2）
多项式：
几个单项式的和，叫做多项式对于给出的多项式，要注意分析它是几次几项式，各项是什么，对各项再像分析单项式那样来分析
（3）多项式的降幂排列与升幂排列把一个多项式技某一个字母的指数从大列小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列
把—个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺斤排列起来，叫做把这个多项式技这个字母升幂排列，
给出一个多项式，要会根据要求对它进行降幂排列或升幂排列．
（4）同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类顷．
要会判断给出的项是否同类项，知道同类项可以合并．即axbx（ab）x其中的X可以代表单项式中的字母部分，代表其他式子。
3．整式的运算
（1）整式的加减：
几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接．整式加减的一般步骤是：
（i）如果遇到括号．按去括号法则先去括号：
括号前是“十”号，把括号和它前面的“+号”去掉。
括号里各项都不变符号，括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉．括号里各项都改变符号．
（ii）合并同类项：
同类项的系数相加，所得的结果作为系数．字母和字母的指数不变．
（2）整式的乘除：
单项式相乘（除），把它们的系数、相同字母分别相乘（除），对于只在一个单项式（被除式）里含有的字母，则连同它的指数作为积（商）的一个因式相同字母相乘（除）要用到同底数幂的运算性质：
amanamn（m,n是整数）
amanamn（a0,m,n是整数）
多项式乘（除）以单项式，先把这个多项式的每一项乘（除）以这个单项式，再把所得的积（商）相加．
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
遇到特殊形式的多项式乘法，还可以直接算：
（x
a）（x
b）x
（a
b）xab,
（a
b）（a
b）a2
b2
I
（a
b）2
a2ab
b2
1
（a
b）（a2
abb
2）
33ab.
（3）整式的乘方
单项式乘方，把系数乘方，作为结果的系数，再把乘方的次数与字母的指数分别相乘所得的幕作为结果的因式。
单项式的乘方要用到幕的乘方性质与积的乘方性质：
（am）namn（m,n是整数）,
（ab）nanbn（n是整数）
多项式的乘方只涉及
（ab）2a22abb2
【例题经典】
代数式的有关概念
例1、已知一1对任意的a、b,对应的代数式的值最大的是（）
（A）a+b（B）a—b（C）a+b2（D）a2+b
评析：
本题一改将数值代人求值的面貌，要求学生有良好的数感。
同类项的概念
例1若单项式2a"+2nbn-2m+2与a5b7是同类项，求nm的值.
间
卧
室
厨房
4x
解出即可。
例2一套住房的平面图如右图所示，其中卫生间、厨房的面积和是（）
A.4xyB.3xyC.2xyD.xy
评析：
本题是一道数形结合题，考查了平面图形的面积的计算、合并同类项等知识，同时又隐含着对代数式的理解。
幕的运算性质
例1
（1）aman=（m，n都是正整数）；
（2）am^an=（a^Qm，n都是正整数，且m>n），特别地：
a0=1（a^0，a-p=l（a^Qp是正整数）;
ap
（3）（am）n=（m，n都是正整数）；（4）（ab）n=（n是正整数）
（5）平方差公式：
（a+b）（a-b）=.
（6）完全平方公式：
（a±>）2=.
【点评】能够熟练掌握公式进行
例2•下列各式计算正确的是（）.
（A）（a5）2=a7（B）2x-2=丄（c）4a32a2=8a6（D）a8力2=a6
2x
分析：
考查学生对幕的运算性质及同类项法则的掌握情况。
例3•下列各式中，运算正确的是（）
A.a2a3=a6B.（-a+2b）2=（a-2b）2
c.：
b2丄@+b丰O）D.（1.3）213
abab
分析：
考查学生对幕的运算性质
例4、（泰州市）下列运算正确的是
A.a2a3a5;B.（—2x）3=—2x3;
C.（a—b）（—a+b）=—a2—2ab—b2;
D..2.83.2
评析：
本题意在考查学生幕的运算法则、整式的乘法、二次根式的运算等的掌握
情况。
整式的化简与运算
例5计算：
9xy（-1x2y）=;
3
先化简，再求值：
[（x-y）2+（x+y）（x-y）]-2x其中x=3,y=-1.5.
【点评】本例题主要考查整式的综合运算，学生认真分析题目中的代数式结构，灵活运用公式，才能使运算简便准确.
【回顾与思考】
因式分解
〖考查重点与常见题型〗
考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。
重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。
习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。
因式分解知识点
多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积.分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止.分解因式的常用方法有：
（1）提公因式法
如多项式ambmcmm（abc）,
其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个
多项式.
（2）运用公式法，即用
2a
b2
（a
b）（a
b）,
2a
2ab
b2
（a
b）2,写出结果
3a
b3
（a
b）（a2
abb2）
（3）
十字相乘法
b，如有，则x2pxq
（xa）（xb）；对于一般的二次三项式ax2bxc（a0）,寻找
满足
aia2=a，cic2=c,aic2+a2ci=b的ai，a2，ci，c2，女口有，则
2axbxc（a1xc1）（a2xc2）.
（4）分组分解法：
把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行.
分组时要用到添括号：
括号前面是“+”，括到括号里的各项都不变符号；
括号前面是“”号，括到括号里的各项都改变符号•
【例题经典】掌握因式分解的概念及方法例1、分解因式:
32
1x-x=
2x2-8i=
3x2+2x+i=
4a2-a+-=;
4
5a3-2^+a=.
【点评】运用提公因式法，公式法及两种方法的综合来解答即可
例2.把式子x2-y2-x—y分解因式的结果是
分析：
考查运用提公因式法进行分解因式。
例3.分解因式：
a2—4a+4=
分析：
考查运用公式法分解因式。
分式
1•考查整数指数幕的运算，零运算，有关习题经常出现在选择题中，如：
下列运算正确的是（）
1
（A）-40=1（B）（-2）-1=2（C）（-3m-n）2=9m-n（D）（a+b）-1=a-1+b-1
2.考查分式的化简求值。
在中考题中，经常出现分式的计算就或化简求值，有关习题多为中档的解答题。
注意解答有关习题时，要按照试题的要求，先化简后求值，化简要认真仔细，如：
化简并求值：
xx3-y32x+2。
阿.“+^+（2X7瀚其中x=cos30°=sin90
知识要点
1•分式的有关概念
设A、B表示两个整式.如果B中含有字母，式子—就叫做分式.注意分
B
母B的值不能为零，否则分式没有意义
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简
2、分式的基本性质
可以推广到整数指数幕，也就是上述等式中的熟练掌握分式的概念：
性质及运算
例4
（1）若分式丄3的值是零，则x=
xV3
【点评】分式值为0的条件是：
有意义且分子为0.
范围是（）
A.x乂4且x工2B.x=-4或x=2
C.x=-4D.x=2
（3）如果把分式中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（）
x
A.扩大10倍B.缩小10倍C.不变D.扩大2倍
例5:
化简（」x）亠4乞的结果是.
x2x22x
分析：
考查分式的混合运算，根据分式的性质和运算法则。
例6.已知a=—1，求—a2"1的值.
2（3a1aa
分析：
考查分式的四则运算，根据分式的性质和运算法则，分解因式进行化简
22
例7•已知|a-4|+..b-9=0，计算a2ab?
-^驾的值bab
答案：
由条件，得a-4=0且b-9=0/•a=4b=9
原式=a2/b2
例8•计算（x—y+上』）（x+y-上』）的正确结果是（）
xyxy
Ay2-x2B.x2-y2c.x2-4y2D.4x2-y2
分析：
考查分式的通分及四则运算。
因式分解与分式化简综合应用
例1先化简代数式：
「寻亠，然后选取一个使原式有意义的x的
x1x1x1
值代入求值.
【点评】注意代入的数值不能使原分式分母为零，否则无意义.
例2、有一道题先化简，再求值：
（X2；x）21，其中x.3。
”小
x2x4x4
玲做题时把x屈”错抄成了x43”但她的计算结果也是正确的，请你解
释这是怎么回事？
点评：
化简可发现结果是x24，因此无论x、3还是x-3其计算结果都
是7。
可见现在的考试特别重视应用和理解。
【回顾与思考】
内容分析
1.二次根式的有关概念
（1）二次根式
式子・、a（a0）叫做二次根式.注意被开方数只能是正数或0.
（2）最简二次根式
被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式.
（3）同类二次根式
化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式.
—2
（a）a（a0）;
2
|a|
a（a
0）,
2.二次根式的性质
a
a（a
0）;
.ab
a
■.b（a
0；b0）;
a
a
（a0;b
0）.
b
b
3.二次根式的运算
（1）二次根式的加减
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并.
（2）三次根式的乘法
二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即
.a、b.ab（a0,b0）.
二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行.
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式.
（3）二次根式的除法
二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去（或分子、分母约分）.把分母的根号化去，叫做分母有理化.
〖考查重点与常见题型〗
1.考查平方根、算术平方根、立方根的概念。
有关试题在试题中出现的频率很高，习题类型多为选择题或填空题。
2.考查最简二次根式、同类二次根式概念。
有关习题经常出现在选择题中。
3.考查二次根式的计算或化简求值，有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多。
【例题经典】理解二次根式的概念和性质
例1
（1）式子，x有意义的x取值范围是
【点评】从整体上看分母不为零，从局部看偶次根式被开方数为非负.
（2）已知a为实数，化简审€-
【点评】要注意挖掘其隐含条件：
a<0.
掌握最简二次根式的条件和同类二次根式的判断方法
例2下列根式中能与、.3合并的二次根式为（）
A.、、24B..1263D.18
【点评】抓住最简二次根式的条件，结合同类二次根式的概念去解决问题.掌握二次根式化简求值的方法要领
例3先化简，再求值：
若a=4+、3，b=4-13，求
a
a、、b
【点评】注意对求值式子进行变形化简约分，再对已知条件变形整体代入.
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