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《自动控制原理》

习题

3-1.选择题：

（1）已知单位负反馈闭环系统是稳定的，其开环传递函数为：

（s

2）

，系统

G（s）

s

s（s2

1）

对单位斜坡的稳态误差是：

a.0.5b.1

3-2已知系统脉冲响应

k（t）

0.0125e1.25t

试求系统闭环传递函数

（s）。

解（s）Lk（t）

0.0125/（s

1.25）

3-3一阶系统结构图如图

3-45所示。

要求系统闭环增益

K

2，调节时间

ts

0.4s

，试

确定参数K1,K2的值。

图3.38

题3-3图

解

由结构图写出闭环系统传递函数

K1

1

（s）

s

K1

K2

K

1K

2

sK1K2

s

1

1

s

K1K2

令闭环增益

K

1

2，

得：

K2

0.5

K2

令调节时间ts3T

3

0.4，得：

K1

15。

K1K2

3-4设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3.39所示。

如果该系统为单位反馈控制系

统，试确定其开环传递函数。

图3.39题3-4图

解：

由图2.8知，

开环传递函数为

3-5设角速度指示随动统结构图如图3-40所示。

若要求系统单位阶跃响应无超调，且调节

时间尽可能短，问开环增益K应取何值，调节时间ts是多少？

图3-40题3-5图

解：

依题意应取1，这时可设闭环极点为1,21T0。

写出系统闭环传递函数

10K

（s）s210s10K

闭环特征多项式

2

s22s

2

D（s）s2

10s10K

s

1

1

T0

T0

T0

2

10

比较系数有

T0

T0

0.2

2

联立求解得

2.5

1

K

10K

T0

因此有

ts4.75T00.95

1

3-6

图3.41所示为某控制系统结构图，是选择参数

K1和

K2，使系统的ω

n=6，ξ=1.

R（s）

K1

25

C（s）

_

s（s0.8）

_

KtS

3-7已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在右半

s平面根的个数及纯虚根。

（1）

（）

s

5

2

s

4

2

s

3

4

s

2

11100

Ds

s

（2）

（）

s

5

3

4

12

s

3

24

2

32

s

480

Ds

s

s

（3）

（）

s

5

2

s

4

s

2

0

Ds

（4）

（）

s

5

2

s

4

24

s

3

48

s

2

25

s

500

Ds

解

（1）

D

（）

s

5

2

s

4

2

s

3

4

s

2

1110

=0

s

s

Routh：

S5

1

2

11

S4

2

4

10

S3

6

S2

4

12

10

S

6

S0

10

第一列元素变号两次，有

2个正根。

（2）

D

（

）

s

5

3

4

12

s

3

24

s

2

32

s

48

=0

s

s

Routh：

S5

1

12

32

S4

3

24

48

S3

S2

S

3

12

24

4

32

3

48

0

3

3

16

4

24

3

16

12

48

4

12

16

4

48

0

0

辅助方程

12s2

480,

12

S

24

辅助方程求导：

24s0

S0

48

系统没有正根。

对辅助方程求解，得到系统一对虚根

s1,2j2。

（3）D（s）s52s4s20

Routh：

S5

1

0

-1

S4

2

0

-2

辅助方程

2s4

2

0

S3

8

0

辅助方程求导

8s3

0

S2

-2

S

16

S0

-2

第一列元素变号一次，有

1个正根；由辅助方程

24

2

0

可解出：

s

2s4

22（s1）（s1）（s

j）（s

j）

D（s）s5

2s4

s2（s2）（s1）（s1）（sj）（sj）

（4）

D

（）

s

5

2

s

4

24

s

3

48

s

2

25

s

500

s

Routh：

S5

1

24

-25

S4

2

48

-50

辅助方程2s4

48s2

500

S3

8

96

辅助方程求导

8s3

96s

0

S2

24

-50

S

338/3

S0

-50

第一列元素变号一次，有

1个正根；由辅助方程

24

48

s

2

50

0

可解出：

s

2s4

48s2

502（s1）（s

1）（s

j5）（s

j5）

D（s）

s5

2s4

24s3

48s2

25s50（s

2）（s

1）（s

1）（s

j5）（s

j5）

3-8对于图3.42所示系统，用劳斯（

Routh）稳定判据确定系统稳定时的

k

取值范围。

图3.42题3-8图

解：

闭环系统的特征方程为：

k（s+1）+s（s3+4s2+2s+3）=0

s4+4s3+2s2+（k+3）s+k=0

Routh

表：

S4

1

2

k

S3

4

K+1

S2

5-k

4k

S1

（-k2-14k+15）/（5-k）

S0

4k

根据Routh判据使系统稳定应满足：

∴0

3-9设单位反馈控制系统的开环传递函数为

要求确定引起闭环系统持续振荡时的

k值和相应的振荡频率ω。

解：

闭环特征方程为：

s

4+12s3+69s2+198s+（200+k）=0

根据劳斯判据列劳斯表如下：

S4

1

69

200+k

S3

12

198

S2

52.5

200+k

S1

152.3-0.23k

S0

200+k

由152.3-0.23k=0

可求得使系统闭环时产生持续振荡的

k值

k=662.13

将上述k值代入辅助方程

52.5s2+200+k=0

令s=jω,代入上述方程得到相应的持续振荡频率ω=4.05rad/s

3-10已知一系统如图3.43所示,试求

（a）使系统稳定的k值的取值范围。

（b）若要求闭环系统的特征根都位于Res=-1直线之左，确定k的取值范围。

图3.43题3-10图

解：

（a）闭环特征方程：

s（0.1s+1）（0.25s+1）+k=0

0.025s3+0.35s2+s+k=0

根据Routh判据使系统稳定应满足：

k>0

0.35>0.025k

∴0

（a）令s=z-1并代入特征方程并整理得：

0.025z3+0.275z2+0.375z+0.675+k=0

∴0.275×0.375>0.025（0.675+k）0

此时z〈0既s<-1

3-11.

某控制系统的方框图如图

3.44所示，欲保证阻尼比

=0.7

和响应单位斜坡函数的稳

态误差为

ess=0.25,

试确定系统参数

K、

。

R（s）

K

C（s）

-

-

s（s

2）

s

图3.44题3-11图

3-12

系统结构图如图3.45所示。

已知系统单位阶跃响应的超调量

%16.3%，峰值时间

tp1

s。

（1）

求系统的开环传递函数

G（s）；

（2）

求系统的闭环传递函数

（s）；

（3）

根据已知的性能指标

%、tp确定系统参数K及

；

（4）

计算等速输入r（t）

1.5t（）s时系统的稳态误差。

图3.45题3-12图

10

解

（1）

G（s）K

s（s

1）

10K

10

s

s（s

10

1）

1

1）

s（s

G（s）

10K

2

（2）

（s）

n

1

G（s）

s2

（10

1）s

10K

s2

2ns

oo

e

1

2

16.3oo

0.5

（3）由

tp

1

联立解出

n

3.63

0.263

1

2

n

由

（2）10K

2

2

K

1.318。

n

3.6313.18，得出

（4）

Kv

10K

13.18

3.63

limsG（s）

s0

10

1

10

0.263

1

ess

A

1.5

Kv

0.413

3.63

3-13

已知系统框图如图

3.46和图3.47）所示

试求

（1）

图3.46

所示系统的阻尼系数并简评其动态指标，

（2）若加入速度反馈成图3.47，对系统的动态性能有何影响？

（3）欲使系统（b）的阻尼系数ξ=0.7时，应使k为何值？

2

n

图3.46

图3.47

解：

图（a）的闭环传递函数：

（2）图（b）的闭环传递函数：

所以阻尼比ξ随k’的增加而增加。

∴加入速度反馈可使阻尼比ξ增加，使系统的超调量减少，过度过程时间减少。

（3）当ξ=0.7时，则

3.14单位负反馈控制系统的开环传递函数如下，

K（s

2）

G（s）

s

1）

s（s2

（1）试确定使系统稳定的K的取值范围

（2）求输入函数分别是单位阶跃和单位斜波时系统的稳态误差。

解：

（1）系统的闭环特征方程：

s（s2

s

1）

K（s

2）

0

s3

s2

（K

1）s

2K

0

S3

1

K+1

S2

1

2K

S1

1-K

0

2K

S

使系统稳定的K的取值范围K<1

（2）

K（s

2）

2K（s/2

1）

G（s）

2

s

1）

s（s2

s1）

s（s

系统含有一个积分环节，为Ⅰ型，对单位阶跃输入的稳态误差为0，对斜坡输入的稳态误差

为1/2K（K<1）

3-15对如图3.4所示的系统，当r（t）=4+6t,f（t）=-1（t）时，试求

（1）系统的静态误差，

（2）要想减少关于扰动f（t）的静差，应提高系统中哪一部分的比例系数，为什么？

图3.4

解：

（a）r（t）=4+6t

系统的开环传递函数：

对给定r（t）的静态误差

设扰动之前的传递函数为k1，扰动之后的传递函数为

对扰动f（t）=-1（t）的静态误差ess2

这里k1=4所以ess2=0.25

∴系统的静态误差

ess=ess1+ess2=0.6+0.25=0.85

（b）从（a）可看出对扰动的静态误差ess2=1/k1

所以要想减少关于扰动f（t）的静差，应提高系统中第一部分的比例系数

k1

3-16对如图3.49所示的系统，，试求

（1）当r（t）=0,f（t）=1（t）时系统的静态误差ess，

（2）当r（t）=1,f（t）=1（t）时系统的静态误差ess，

（3）说明要减少ess，应如何调整k1和k2，

（4）在扰动f作用点之前加入积分单元，对静差ess

积分单元，结果又如何？

有什么影响，若在

f

作用点之后加入

图3.49

解：

（1）

（2）r（s）=1/s引起的静态误差为ess2

系统的静态误差

（3）由（b）知

∴增大k1可使静态误差减少

分析k2对ess2的影响，ess对k2求偏导得：

当k1<1时，

∴ess随k2的增大而增大

当k1>1时

∴ess随k2的增大而减小

（4）在扰动作用点之前加入积分单元，扰动F（s）=1/s引起的静态误差

在扰动作用点之后加入积分单元，扰动F（s）=1/s引起的静态误差。

3-17已知单位反馈系统的闭环传递函数为

试求单位斜坡函数输入和单位加速度函数输入时系统的稳态误差。

解：

系统开环传递函数：

单位斜坡函数输入时R（s）=1/s2

单位加速度函数输入时

R（s）=1/s3

3-18设一随动系统如图

3.50所示，要求系统的超调量为

0.2，峰值时间tp

1s，

（1）求增益K和速度反馈系数。

（2）根据所求的K和τ值，计算该系统的上升时间和调节时间。

（3）用MATLAB进行验证（或用配套软件验证）。

R（s）C（s）

K

—s（s1）

1s

图3.50题3-18

解由图示得闭环特征方程为

s2（1K1）sK10

即

1

2

K1

n2，t

n

2

n

由已知条件

%et/1

2

t

tp

2

n1t

0.2

1

解得

1

ln

t

（ln1）2

0.45

2

n

1

3.14

3.14

3.52s1

1

2

0.452

0.89

于是

K1

2

tn1

2.17

12.4

K1

0.175

12.4

1

0.6t

0.2t2

3.52

10.27

0.04

td

3.52

0.37

n

tr

arccost

3.14

1.1

t2

t2

0.65s

n1

n

1

3.5210.452

ts

3.5

3.5

0.45

2.2s

t

n

3.52

解毕。

3-19（北京理工大学2004本题20分）

某系统由典型环节组成，是单位负反馈的二阶系统。

它对单位阶跃输入的响应