最新高三数学一轮复习第2讲常用逻辑知识教案1.docx
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最新高三数学一轮复习第2讲常用逻辑知识教案1
——教学资料参考参考范本——
2019-2020最新高三数学一轮复习第2讲常用逻辑知识教案
（1）
______年______月______日
____________________部门
课标要求
1．命题及其关系
①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；
②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系；
2．简单的逻辑联结词
通过数学实例，了解"或"、"且"、"非"逻辑联结词的含义。
3．全称量词与存在量词
①通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义；
②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
命题走向
本部分内容主要是常用的逻辑用语，包括命题与量词，基本逻辑联结词以及充分条件、必要条件与命题的四种形式。
预测20xx年高考对本部分内容的考查形式如下：
考查的形式以选择、填空题为主，考察的重点是条件和复合命题真值的判断。
教学准备
多媒体
教学过程
要点精讲:
1．命题
命题：
可以判断真假的语句叫命题；
逻辑联结词：
“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：
不含逻辑联结词的命题。
复合命题：
由简单命题与逻辑联结词构成的命题。
常用小写的拉丁字母p，q，r，s，……表示命题，故复合命题有三种形式：
p或q；p且q；非p。
2．复合命题的真值
“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：
p
非p
真
假
假
真
“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：
p
q
p且q
真
真
真
真
假
假
假
真
假
假
假
假
“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：
p
q
P或q
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
注：
1°像上面表示命题真假的表叫真值表；2°由真值表得：
“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真；3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。
3．四种命题
如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；
如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；
如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。
两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假。
4．条件
一般地，如果已知p⇒q，那么就说：
p是q的充分条件；q是p的必要条件。
可分为四类：
（1）充分不必要条件，即p⇒q,而q
p；
（2）必要不充分条件，即p
q,而q⇒p；（3）既充分又必要条件，即p⇒q，又有q⇒p；（4）既不充分也不必要条件，即pq，又有qp。
一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作：
pq.“”叫做等价符号。
pq表示p⇒q且q⇒p。
这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称充要条件。
5．全称命题与特称命题
这里，短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示。
含有全体量词的命题，叫做全称命题。
短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。
典例解析：
1．（教材习题改编）下列命题是真命题的为（ ）
A．若
＝
，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则
＝
D．若x解析：
选A 由
＝
得x＝y，A正确，易知B、C、D错误．
2．（20xx·湖南高考）命题“若α＝
，则tanα＝1”的逆否命题是（ ）
A．若α≠
，则tanα≠1B．若α＝
，则tanα≠1
C．若tanα≠1，则α≠
D．若tanα≠1，则α＝
解析：
选C 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝
，则tanα＝1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠
”．
3．（20xx·温州适应性测试）设集合A，B，则A⊆B是A∩B＝A成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
选C 由A⊆B，得A∩B＝A；反过来，由A∩B＝A，且（A∩B）⊆B，得A⊆B.因此，A⊆B是A∩B＝A成立的充要条件．
4．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为：
____________________.
解析：
原命题的条件：
在△ABC中，∠C＝90°，
结论：
∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．
即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”．
答案：
“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”
5．下列命题中所有真命题的序号是________．
①“a>b”是“a2>b2”的充分条件；
②“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件；
③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件．
解析：
①由2>－3⇒/22>（－3）2知，该命题为假；②由a2>b2⇒|a|2>|b|2⇒|a|>|b|知，该命题为真；③a>b⇒a＋c>b＋c，又a＋c>b＋c⇒a>b，∴“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件为真命题．
答案：
②③
1.充分条件与必要条件的两个特征
（1）对称性：
若p是q的充分条件，则q是p的必要条
件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”；
（2）传递性：
若p是q的充分（必要）条件，q是r的充分
（必要）条件，则p是r的充分（必要）条件．
注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分
不必要条件是q”两者的不同，前者是“p⇒q”而后者是
“q⇒p”．
2．从逆否命题，谈等价转换
由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，
当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命
题的真假，这就是常说的“正难则反”．
四种命题的关系及真假判断
典题导入
下列命题中正确的是（ ）
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；
②“正多边形都相似”的逆命题；
③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；
④“若x－3
是有理数，则x是无理数”的逆否命题．
A．①②③④ B．①③④
C．②③④D．①④
①中否命题为“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，正确；③中，Δ＝1＋4m，当m>0时，Δ>0，原命题正确，故其逆否命题正确；②中逆命题不正确；④中原命题正确故逆否命题正确．
B
由题悟法
在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．
以题试法
1．以下关于命题的说法正确的有________（填写所有正确命题的序号）．
①“若log2a>0，则函数f（x）＝logax（a>0，a≠1）在其定义域内是减函数”是真命题；
②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；
③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；
④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．
解析：
对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f（x）＝logax在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.
答案：
②④
充分必要条件的判定
典题导入
（1）（20xx·福州质检）“x<2”是“x2－2x<0”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
（2）（20xx·北京高考）设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
（1）取x＝0，则x2－2x＝0，故由x<2不能推出x2－2x<0；由x2－2x<0得0（2）当a＝0，且b＝0时，a＋bi不是纯虚数；若a＋bi是纯虚数，则a＝0.故“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．
（1）B
（2）B
由题悟法
充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件．有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．
以题试法
2．下列各题中，p是q的什么条件？
（1）在△ABC中，p：
A＝B，q：
sinA＝sinB；
（2）p：
|x|＝x，q：
x2＋x≥0.
解：
（1）若A＝B，则sinA＝sinB，即p⇒q.又若sinA＝sinB，则2RsinA＝2RsinB，即a＝b.
故A＝B，即q⇒p.所以p是q的充要条件．
（2）p：
{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A，q：
{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0，或x≤－1}＝B，
∵AB，∴p是q的充分不必要条件．
充分必要条件的应用
典题导入
方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是（ ）
A．0C．a≤1D．0 法一：
当a＝0时，原方程变形为一元一次方程2x＋1＝0，有一个负实根；
当a≠0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是Δ＝4－4a≥0，即a≤1.设两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－
，x1x2＝
，
当有一负实根时，
⇒a<0；
有两个负实根时，
⇒0法二：
（排除法）当a＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A、D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，所以选C.
C
由题悟法
利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围，其依据是充分、必要条件的定义，其思维方式是：
（1）若p是q的充分不必要条件，则p⇒q且q⇒/p；
（2）若p是q的必要不充分条件，则p⇒/q，且q⇒p；
（3）若p是q的充要条件，则p⇔q.
以题试法
3．（20xx·兰州调研）“x∈{3，a}”是不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．（3，＋∞） B.
∪
C.
D.
∪
解析：
选D 由2x2－5x－3≥0得x≤－
或x≥3.
∵x∈{3，a}是不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件，又根据集合元素的互异性a≠3，
∴a≤－
或a>3.
1．（20xx·北京高考）若p是真命题，q是假命题，则（ ）
A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题
C．綈p是真命题D．綈q是真命题
答案：
D
2．（教材习题改编）下列命题中的假命题是（ ）
A．∃x0∈R，x0＋
＝2B．∃x0∈R，sinx0＝－1
C．∀x∈R，x2>0D．∀x∈R,2x>0
答案：
C
3．（20xx·湖南高考）命题“∃x0∈∁RQ，x
∈Q”的否定是（ ）
A．∃x0∉∁RQ，x
∈QB．∃x0∈∁RQ，x
∉Q
C．∀x∉∁RQ，x3∈QD．∀x∈∁RQ，x3∉Q
解析：
选D 其否定为∀x∈∁RQ，x3∉Q.
4．（教材习题改编）命题p：
有的三角形是等边三角形．命题綈p：
__________________.
答案：
所有的三角形都不是等边三角形
5．命题“∃x0∈R,2x
－3ax0＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为________．
解析：
∃x0∈R,2x
－3ax0＋9<0为假命题，则∀x∈R，2x2－3ax＋9≥0恒成立，有Δ＝9a2－72≤0，解得－2
≤a≤2
.
答案：
1.逻辑联结词与集合的关系
“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的
“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的
意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．
2．正确区别命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分
别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；
“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．
命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且
只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．
含有逻辑联结词命题的真假判定
典题导入
（20xx·齐齐哈尔质检）已知命题p：
∃x0∈R，使tanx0＝1，命题q：
x2－3x＋2<0的解集是{x|1①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧（綈q）”是假命题；③命题“（綈p）∨q”是真命题；④命题“（綈p）∨（綈q）”是假命题．其中正确的是（ ）
A．②③ B．①②④
C．①③④D．①②③④
命题p：
∃x0∈R，使tanx0＝1是真命题，命题q：
x2－3x＋2<0的解集是{x|1 D
由题悟法
1．“p∧q”“p∨q”“綈p”形式命题的真假判断步骤
（1）准确判断简单命题p、q的真假；
（2）判断“p∧q”“p∨q”“綈p”命题的真假．
2．含有逻辑联结词的命题的真假判断规律
（1）p∨q：
p、q中有一个为真，则p∨q为真，即一真全真；
（2）p∧q：
p、q中有一个为假，则p∧q为假，即一假即假；
（3）綈p：
与p的真假相反，即一真一假，真假相反．
以题试法
1．
（1）如果命题“非p或非q”是假命题，给出下列四个结论：
①命题“p且q”是真命题；②命题“p且q”是假命题；③命题“p或q”是真命题；④命题“p或q”是假命题．
其中正确的结论是（ ）
A．①③B．②④
C．②③D．①④
（2）（20xx·江西盟校联考）已知命题p：
“∀x∈，a≥ex”，命题q：
“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（4，＋∞）B．
C．D．（－∞，1]
解析：
（1）选A “非p或非q”是假命题⇒“非p”与“非q”均为假命题⇒p与q均为真命题．
（2）选C “p∧q”是真命题，则p与q都是真命题．p真则∀x∈，a≥ex，需a≥e；q真则x2＋4x＋a＝0有解，需Δ＝16－4a≥0，所以a≤4.p∧q为真，则e≤a≤4.
全称命题与特称命题的真假判断
典题导入
下列命题中的假命题是（ ）
A．∀a，b∈R，an＝an＋b，有{an}是等差数列B．∃x0∈（－∞，0），2x0<3x0
C．∀x∈R,3x≠0D．∃x0∈R，lgx0＝0
对于A，an＋1－an＝a（n＋1）＋b－（an＋b）＝a常数．A正确；对于B，∀x∈（－∞，0），2x>3x，B不正确；对于C，易知3x≠0，因此C正确；对于D，注意到lg1＝0，因此D正确．
B
由题悟法
1．全称命题真假的判断方法
（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；
（2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p（x0）不成立即可．
2．特称命题真假的判断方法
要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可，否则这一特称命题就是假命题．
以题试法
2．（20xx·湖南十二校联考）下列命题中的真命题是（ ）
A．∃x0∈R，使得sinx0cosx0＝
B．∃x0∈（－∞，0），2x0>1
C．∀x∈R，x2≥x－1D．∀x∈（0，π），sinx>cosx
解析：
选C 由sinxcosx＝
，得sin2x＝
>1，故A错误；结合指数函数和三角函数的图象，可知B，D错误；因为x2－x＋1＝
2＋
>0恒成立，所以C正确．
全称命题与特称命题的否定
典题导入
（20xx·武汉适应性训练）命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是（ ）
A．所有能被2整除的整数都是奇数
B．所有不能被2整除的整数都不是奇数
C．存在一个能被2整除的整数是奇数
D．存在一个不能被2整除的整数不是奇数
命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个不能被2整除的整数不是奇数”，选D.
若命题改为“存在一个能被2整除的整数是奇数”，其否定为________．
答案：
所有能被2整除的整数都不是奇数
由题悟法
1．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．
2．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．
3．要判断“綈p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p”的真假，p与綈p的真假相反．
4．常见词语的否定形式有：
原语句
是
都是
>
至少有一个
至多有一个
对任意x∈A使p（x）真
否定形式
不是
不都是
≤
一个也没有
至少有两个
存在x0∈A使p（x0）假
以题试法
3．（20xx·辽宁高考）已知命题p：
∀x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）≥0，则綈p是（ ）
A．∃x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）≤0
B．∀x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）≤0
C．∃x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）<0
D．∀x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）<0
解析：
选C 命题p的否定为“∃x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）<0”．
学生对四种命题，逻辑联接词和全称命题、特称命题总体掌握情况还好，但对充分条件、必要条件，特别是判断还存在一定困难。
后期需要加强。
一元二次方程根的分布问题，选择部分简单的类型带领学生利用图像分析，提高学生利用图像分析问题的能力。
需要用具体例子说明至少、至多的含义。
板书设计
常用逻辑知识
1．命题及其关系
两个互为逆否命题的真假是相同的，例1
即两个互为逆否命题是等价命题.例2
若判断一个命题的真假较困难时，例3
可转化为判断其逆否命题的真假。
例4
2．简单的逻辑联结词
"或"、"且"、"非"
3．全称量词与存在量词
全称命题的否定是特称命题，
特称命题的否定是全称命题。
教学反思
学生对逻辑知识本身掌握情况较好，但涉及与其他知识结合的题目时，学生往往出现困难，困难的原因是学生对其他相关知识遗忘的较多。
因此，复习本部分知识前，适当复习回顾有关知识是必要的。
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