整理微分方程数值解法课程设计报告.docx

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整理微分方程数值解法课程设计报告

《微分方程数值解》课程设计

T5-分别利用欧拉公式、改进的欧拉公式和经典的四级四阶龙格-库塔公式求解常微分方程组的初值问题

课设题目：

团队成员：

081110209丘凯倩

081110202江雨芮

081110232黄东方

081110310曲健

081110311代永轩

指导教师：

王春武

二〇一四年六月十六日

一、第十组团队成员及分工

【丘凯倩】

081110209组长

统一规划团队课程设计分工，并及时分配任务。

同时，负责给出格式、求解格式的截断误差，对小组成员的成果进行最终汇总。

【江雨芮】

081110202组员

分析课设题目，运用MATLAB进行总体编程，负责代码改进与调试工作，并给出各个格式的程序流程图。

【黄东方】

081110232组员

分析课设题目，给出“欧拉公式”的求解方法及编程思路，代表小组进行汇报展示。

【曲健】

081110310组员

按组长分配的任务，给出“改进欧拉公式”的求解方法及编程思路，并负责PPT及课程设计报告的撰写工作。

【代永轩】

081110311组员

配合团队其他成员，给出“四级四阶R-K法”的求解方法及编程思路，并负责PPT及课程设计报告的撰写工作。

二、研究问题

分别利用欧拉公式、改进的欧拉公式和经典的四级四阶龙格-库塔公式求解常微分方程组的初值问题：

。

三、理论分析

1.欧拉公式

为简化分析，人们常在

的前提下估计误差

。

这种误差称为局部截断误差。

对于欧拉格式，

而按泰勒公式展开有

因此有

所以欧拉公式的截断误差为

。

2.改进的欧拉公式

截断误差：

3.四级四阶龙格-库塔公式

截断误差：

将

展开二元泰勒级数到

项。

再由

比较同幂次级数可得

四、数值方法

1.欧拉格式流程图

2.改进的欧拉格式流程图

3.四级四阶的龙格库塔公式流程图

意愿调查评估法（简称CV法）是指通过调查等方法，让消费者直接表述出他们对环境物品或服务的支付意愿（或接受赔偿意愿），或者对其价值进行判断。

在很多情形下，它是唯一可用的方法。

如用于评价环境资源的选择价值和存在价值。

五、计算结果

大纲要求精确解（下面实线）

（4）环境保护验收。

欧拉格式的解（上面实线）

（4）预防或者减轻不良环境影响的对策和措施的合理性和有效性；改进的欧拉格式的解（红线）

四级四阶的龙格库塔的解（黑点）

2.间接市场评估法

（y1图）

（y2图）

（二）环境影响经济损益分析的步骤5-1：

欧拉格式误差表格

四、环境影响的经济损益分析

无穷范数误差

精度

1-范数误差

精度

[答疑编号502334050101]2-范数误差

精度

1.筛选环境影响：

环境影响被筛选为三大类，一类是被剔除、不再作任何评价分析的影响，如内部的、小的以及能被控抑的影响；另一类是需要作定性说明的影响，如那些大的但可能很不确定的影响；最后一类才是那些需要并且能够量化和货币化的影响。

50

（1）环境的使用价值。

环境的使用价值（UV）又称有用性价值，是指环境资源被生产者或消费者使用时，满足人们某种需要或偏好所表现出的价值，又分为直接使用价值、间接使用价值和选择价值。

6.7276

0.9687

83.4513

0.9783

17.3732

0.9735

100

3.5780

0.9830

86.5196

0.9880

12.7754

0.9856

200

1.8469

0.9911

88.1628

0.9937

9.2193

0.9925

400

0.9386

89.0137

6.5870

5-2：

改进的欧拉格式误差表格

无穷范数误差

精度

1-范数误差

精度

2-范数误差

精度

50

2.8122

1.0483

40.2143

1.0434

7.7855

1.0457

100

1.4075

1.0252

39.7193

1.0224

5.4288

1.0237

200

0.7036

1.0129

39.4520

1.0114

3.8094

1.0121

400

0.3517

39.3133

2.6829

5-3：

四级四阶龙格库塔格式误差表格

无穷范数误差

精度

1-范数误差

精度

2-范数误差

精度

50

2.7177

1.0250

39.1713

1.0254

7.5557

1.0252

100

1.3822

1.0124

39.1711

1.0126

5.3435

1.0125

200

0.6970

1.0062

39.1711

1.0063

3.7785

1.0063

400

0.3500

39.1711

2.6719

六、总结及体会

由以上可知，在计算精度上，四阶经典龙格-库塔方法的误差最小，改进欧拉方法其次，欧拉方法误差则比较大，所以四阶经典龙格-库塔方法得到最佳的精度。

而在计算量上面，相应地，很明显的四阶经典龙格-库塔方法也是最大，改进欧拉方法其次，欧拉方法计算量最小。

这样的结果，说明了运用以上三种方法时，其计算量的多少与精度的大小成正比。

我们在实际运用与操作中，可以根据实际情况，选择这3种方法中的其中一种最适合的。

纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。

我们平时总感觉学的很好，但当我们真正做事时才发现它的困难，这份报告不仅仅是我们团队精诚合作，互帮互助的结晶，更是我们勇于探索，坚持不懈的付出。

经过两天小组间的讨论与摸索，我们对于这三种方法有了系统而全面的认识和理解。

在完成设计中，我们分工明确，迅速执行。

同时，我们还不忘小组成员间相互帮助，一同探索。

如果小组成员遇到困难，我们小组就会商量着一起解决。

所以说这不仅仅是一份报告，更是我们的汗水与付出。

我们的课设可能不是最好的，但是我们坚信我们一定是最努力的。