中学数学竞赛讲座及练习第18讲+生活中的数学 学生版.docx

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中学数学竞赛讲座及练习第18讲+生活中的数学学生版

第十八讲生活中的数学

 储蓄、保险、纳税是最常见的有关理财方面的数学问题，几乎人人都会遇到，因此，我们在这一讲举例介绍有关这方面的知识，以增强理财的自我保护意识和处理简单财务问题的数学能力．

　　一．储蓄

　　银行对存款人付给利息，这叫储蓄．存入的钱叫本金．一定存期（年、月或日）内的利息对本金的比叫利率．本金加上利息叫本利和．

利息=本金×利率×存期，

本利和=本金×（1+利率经×存期）．

　　如果用p，r，n，i，s分别表示本金、利率、存期、利息与本利和，那么有

i=prn，s=p（1+rn）．

　　例1设年利率为0.0171，某人存入银行2000元，3年后得到利息多少元？

本利和为多少元？

　　解i=2000×0.0171×3=102.6（元）．

　　s=2000×（1+0.0171×3）=2102.6（元）．

　　答某人得到利息102.6元，本利和为2102.6元．

　　以上计算利息的方法叫单利法，单利法的特点是无论存款多少年，利息都不加入本金．相对地，如果存款年限较长，约定在每年的某月把利息加入本金，这就是复利法，即利息再生利息．目前我国银行存款多数实行的是单利法．不过规定存款的年限越长利率也越高．例如，1998年3月我国银行公布的定期储蓄人民币的年利率如表22．1所示．

　　用复利法计算本利和，如果设本金是p元，年利率是r,存期是n年，那么若第1年到第n年的本利和分别是s1，s2,…，sn，则

　　s1=p（1+r），

　　s2=s1（1+r）=p（1+r）（1+r）=p（1+r）2，

　　s3＝s2（1+r）=p（1+r）2（1+r）=p（1+r）3，

　　……，

　　sn=p（1+r）n．

　　例2小李有20000元，想存入银行储蓄5年，可有几种储蓄方案，哪种方案获利最多？

　　解按表22．1的利率计算．

（1）连续存五个1年期，则5年期满的本利和为

20000（1+0.0522）5≈25794（元）．

（2）先存一个2年期，再连续存三个1年期，则5年后本利和为

20000（1+0.0558×2）·（1+0.0522）3≈25898（元）．

　　（3）先连续存二个2年期，再存一个1年期，则5年后本利和为

20000（1+0.0558×2）2·（1+0.0552）≈26003（元）．

　　（4）先存一个3年期，再转存一个2年期，则5年后的本利和为

20000（1＋0.0621×3）·（1+0.0558×2）≈26374（元）．

　　（5）先存一个3年期，然后再连续存二个1年期，则5年后本利和为

20000（1+0.0621×3）·（1+0.0522）2≈26268（元）．

　　（6）存一个5年期，则到期后本利和为

20000（1+0.0666×5）≈26660（元）．

　　显然，第六种方案，获利最多，可见国家所规定的年利率已经充分考虑了你可能选择的存款方案，利率是合理的．

　　例3小华是独生子女，他的父母为了给他支付将来上大学的学费，从小华5岁上小学前一年，就开始到银行存了一笔钱，设上大学学费每年为4000元，四年大学共需16000元，设银行在此期间存款利率不变，为了使小华到18岁时上大学本利和能有16000元，他们开始到银行存入了多少钱？

（设1年、3年、5年整存整取，定期储蓄的年利率分别为5.22％，6.21％和6.66％）

　　解从5岁到18岁共存13年，储蓄13年得到利息最多的方案是：

连续存两个5年期后，再存一个3年期．

　　设开始时，存入银行x元，那么第一个5年到期时的本利和为

x+x·0.0666×5＝x（1+0.0666×5）．

　　利用上述本利和为本金，再存一个5年期，等到第二个5年期满时，则本利和为

x（1+0.0666×5）+x（1+0.0666×5）·0.0666×5

=x（1+0.0666×5）2．

　　利用这个本利和，存一个3年定期，到期时本利和为x（1+0.0666×5）2（1+0.0621×3）．这个数应等于16000元，即

x（1+0.0666×5）2·（1+0.0621×3）=16000，

　　所以1.777×1.186x=16000，

　　所以x≈7594（元）．

　　答开始时存入7594元.

　　二．保险

　　保险是现代社会必不可少的一种生活、生命和财产保护的金融事业．例如，火灾保险就是由于火灾所引起损失的保险，人寿保险是由于人身意外伤害或养老的保险，等等．下面举两个简单的实例．

　　例4假设一个小城镇过去10年中，发生火灾情况如表22．2所示．

　　试问：

（1）设想平均每年在1000家中烧掉几家？

（2）如果保户投保30万元的火灾保险，最低限度要交多少保险费保险公司才不亏本？

　　解

（1）因为

　　1+0+1+2+0+2+1+2+0+2=11（家），

　　365+371+385+395+412+418+430+435+440＋445=4096（家）．

　　11÷4096≈0.0026．

（2）300000×0.0026=780（元）．

　　答

（1）每年在1000家中，大约烧掉2.6家．

（2）投保30万元的保险费，至少需交780元的保险费．

　　例5财产保险是常见的保险．假定A种财产保险是每投保1000元财产，要交3元保险费，保险期为1年，期满后不退保险费，续保需重新交费．B种财产保险是按储蓄方式，每1000元财产保险交储蓄金25元，保险一年．期满后不论是否得到赔款均全额退还储蓄金，以利息作为保险费．今有兄弟二人，哥哥投保8万元A种保险一年，弟弟投保8万元B种保险一年．试问兄弟二人谁投的保险更合算些？

（假定定期存款1年期利率为5.22％）

　　解哥哥投保8万元A种财产保险，需交保险费

80000÷1000×3=80×3=240（元）．

　　弟弟投保8万元B种财产保险，按每1000元交25元保险储蓄金算，共交

80000÷1000×25=2000（元），

　　而2000元一年的利息为

2000×0.0522=104.4（元）．

　　兄弟二人相比较，弟弟少花了保险费约

240-104.4=135.60（元）．

　　因此，弟弟投的保险更合算些．

　　三．纳税

　　纳税是每个公民的义务，对于每个工作人员来说，除了工资部分按国家规定纳税外，个人劳务增收也应纳税．现行劳务报酬纳税办法有三种：

（1）每次取得劳务报酬不超过1000元的（包括1000元），预扣率为3％，全额计税．

（2）每次取得劳务报酬1000元以上、4000元以下，减除费用800元后的余额，依照20％的比例税率，计算应纳税额．

　　（3）每次取得劳务报酬4000元以上的，减除20％的费用后，依照20％的比例税率，计算应纳税额．

　　每次取得劳务报酬超过20000元的（暂略）．

　　由

（1），

（2），（3）的规定，我们如果设个人每次劳务报酬为x元，y为相应的纳税金额（元），那么，我们可以写出关于劳务报酬纳税的分段函数：

　　例6小王和小张两人一次共取得劳务报酬10000元，已知小王的报酬是小张的2倍多，两人共缴纳个人所得税1560元，问小王和小张各得劳务报酬多少元？

　　解根据劳务报酬所得税计算方法（见函数①），从已知条件分析可知小王的收入超过4000元，而小张的收入在1000～4000之间，如果设小王的收入为x元，小张的收入为y元，则有方程组：

　　由①得y=10000-x，将之代入②得

x（1-20％）20％+（10000-x-800）20％=1560，

　　化简、整理得

0.16x-0.2x+1840=1560，

　　所以

0.04x=280，x=7000（元）．

　　则y=10000-7000=3000（元）．

　　所以

　　答小王收入7000元，小张收入3000元．

　　例7如果对写文章、出版图书所获稿费的纳税计算方法是

　　其中y（x）表示稿费为x元应缴纳的税额．

　　那么若小红的爸爸取得一笔稿费，缴纳个人所得税后，得到6216元，问这笔稿费是多少元？

　　解设这笔稿费为x元，由于x＞4000，所以，根据相应的纳税规定，有方程

x（1-20％）·20％×（1-30％）=x-6216，

　　化简、整理得

0.112x=x-6216，

　　所以0.888x=6216，

　　所以x=7000（元）．

　　答这笔稿费是7000元．

练习二十二

　　1．按下列三种方法，将100元存入银行，10年后的本利和各是多少？

（设1年期、3年期、5年期的年利率分别为5.22％，6.21％，6.66％保持不变）

（1）定期1年，每存满1年，将本利和自动转存下一年，共续存10年；

（2）先连续存三个3年期，9年后将本利和转存1年期，合计共存10年；

（3）连续存二个5年期．

2．李光购买了25000元某公司5年期的债券，5年后得到本利和为40000元，问这种债券的年利率是多少？

3．王芳取得一笔稿费，缴纳个人所得税后，得到2580元，问这笔稿费是多少元？

4．把本金5000元存入银行，年利率为0.0522，几年后本利和为6566元（单利法）？

四、地板砖展铺的图形

地板砖展铺的图形，一般都是用几种全等的平面图形展铺开来的，有时用由直线构成的多边形组成的图案，有时用由曲线组成的图案，千变万化．但是作为基础还是用平面多边形展铺平面．有时虽然有曲线，却常常是由多边形和圆作适当变化而得到的．例如，一个由正方形展铺的平面图案（图1－77（a）），如果对正方形用圆弧做一些变化（图1－77（b）），那么把以上两个图形结合起来设计，就可由比较单调的正方形图案，变化曲线形成花纹图案了（图1－77（c））．

　　由于多边形是构成地板砖展铺复杂图形的基础，因此，下面我们对利用多边形展铺平面图形做些简要分析．

　　例1怎样以三角形为基础展铺平面图案．

　　分析与解三角形是多边形中最简单的图形，如果用三角形为基本图形来展铺平面图案，那么就要考虑三角形的特点．由于三角形的三个内角和为180°，所以要把三角形的三个角集中到一起，就组成了一个平角．如果要在平面上一个点的周围集中三角形的角，那么必须使这些角的和为两个平角．因此，若把图1－78中的三角形的三个内角集中在一起，并进行轴对称变换或中心对称变换，就可以得到集中于一点的六个角，它们的和为360°，刚好覆盖上这一点周围的平面．变换的方法见图1－79．

　　在中心对称的情况下，三角形不翻折，在轴对称的情况下，三角形要翻折．如果把三角形正、反两面涂上颜色，那么通过对称变换，正、反两面就会明显地反映出来了．

　　由上面的分析可知，用三角形为基本图形展铺平面图案，共有以下四种情况，如图1－80．

　　例2怎样以四边形为基础展铺平面图案？

　　分析与解由于四边形内角和为360°，所以，任何四边形都可以作为基本图形来展铺平面图案．图1－81中的（a），（b），（C），（d）分别是以矩形、菱形、梯形、一般四边形为基本图形的平面展铺图案．

　　例3怎样以正多边形为基本图形展铺平面图案？

　　分析与解用正多边形为基本图形展铺平面图案，集中于一点的周围的正多边形的各个角的和应是360°．例如，正五边形一个内角为

正十边形一个内角为

　　如果把两个正五边形的内角与一个正十边形的内角加起来，则其和为2×108°+144°=360°．但是它们并不能用来展铺平面．

　　如果用同种的正n边形来展铺平面图案，在一个顶点周围集中了m个正n边形的角．由于这些角的和应为360°，所以以下等式成立

　　因为m，n都是正整数，并且m＞2，n＞2．所以m-2，n-2也都必定是正整数．所以当n-2=1，m-2=4时，则n=3，m=6；当n-2=2，m-2=2时，则n=4，m=4；当n-2=4，m-2=1时，则n=6，m=3．这就证明了只用一种正多边形展铺平面图案，只存在三种情况：

（1）由6个正三角形拼展，我们用符号（3，3，3，3，3，3）来表示（见图1－82）．

（2）由4个正方形拼展，我们用符号（4，4，4，4）来表示

　　（见图1－83）．

　　（3）由3个正六边形来拼展，我们用符号（6，6，6）来表示（见图1－84）．

　　如果用两种正多边形来拼展平面图案，那么就有以下五种情况：

（3，3，3，4，4），（3，3，3，3，6），（3，3，6，6），（3，12，12）以及（4，8，8）．这五种情况中，（3，3，3，4，4）又可有两种不同的拼展方法，参看下面六种拼展图形（图1－85）．

　　用三种正多边形展拼平面图形就比较难设计了．下面举出两例供同学们思考（图1－86）．

　　有兴趣的同学请自己构想出一两个例子．

练习二十三

1．试用三角形和梯形这两种多边形拼展平面图案．

　　2．试用形如图1－87的图形拼展平面图案．

3．试用边长为1的正三角形、边长为1的正方形和两腰为1、夹角为120°的等腰三角形拼展平面图案．

4．试用圆弧和多边形（多边形可以用圆弧割补）设计一种平面图案．

　　5．试用一个正方形，仿照图1－76（a），（b），（c）的变化方式，设计一种平面图案．