北师大版初三下数学第92讲正多边形与圆学生版著名机构讲义.docx

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北师大版初三下数学第92讲正多边形与圆学生版著名机构讲义

正多边形与圆

1.掌握圆内接多边形的性质；

2.掌握内接圆的性质；

3.掌握圆内接多边形和内接圆的应用.

1.三角形的内心、外心、重心、垂心

（1）三角形的内心：

是三角形__________的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．

（2）三角形的外心：

是三角形__________的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．

（3）三角形重心：

是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．

（4）垂心：

是三角形三边高线的交点．

2.三角形的内切圆、外接圆

三角形的内切圆：

对比三角形的外接圆来学习三角形的内切圆

三角形的外接圆：

经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆

三角形外接圆的圆心叫三角形的外心

三角形的外心到三角形______________相等

三角形的外心是三角形三边中垂线的交点

三角形的内切圆：

与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆

三角形内切圆的圆心叫三角形的内心

三角形的内心到_________的距离相等

三角形的内心是三角形三角平分线的交点

3.圆内接四边形和外切四边形

（1）四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角________，外角等于内对角．

（2）各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形______________．

4.正多边形与圆

在正多边形的有关计算中，如果分别以αn、an、rn、Rn、Pn和Sn表示正n（n≥3,n为整数）边形的中心角、边长、边心距、半径、周长和面积，则有：

　　①αn=；②an=2Rn·sin；③rn=Rn·cos；④+；　　　　　　　

　　⑤Pn=nan；⑥Sn=Pnrn；⑦Sn=nsin.（因为一个三角形的面积为：

h·OB）

　　注意两点：

1.构造直角三角形（弦心距、边长的一半、半径组成的）求线段之间的关系等；

　　　　　　　2.准确记忆相关公式。

1.利用三角形的内心求角度

【例1】（湖北宜昌一模）如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（）

A．130°B．100°C．50°D．65°

练习1.如图，I是△ABC内心，则∠BIC与∠A的关系是（D）

A.∠BIC=2∠AB.∠BIC=180°－∠AC.∠BIC=D.∠BIC=

练习2.（湖北恩施一模）如图，圆O是△ABC的内切圆，与三角形三边分别切于D、E、F，知∠B=50°，∠C=60°，则∠EDF=。

2.三角形外接圆问题

【例2】正三角形的外接圆半径是R，则它的边长是（）

A.0.5RB.RC.RD.R

练习3.若三角形的三边长分别为1，1和，则外接圆的半径为____________。

练习4.等边三角形的边长为4cm，它的外接圆的面积为____________。

3.内切、外接、外切问题的综合

【例3】正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，点P在劣弧上不同于点C得到任意一点，则∠BPC的度数是（）

A.B.C.D.。

练习5．同一个圆的外切正方形和内接正方形的相似比是（）

A.2：

1B.1：

2C.D.

练习6.△ABC中设I是△ABC的内心，O是△ABC的外心，⑴若∠A=80°，则∠BIC=________，∠BOC=________．⑵若∠A=a，则∠BIC=________，∠BOC=________．

4.内切圆综合题

【例4】已知：

如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．

练习7．已知：

如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的长．

练习8．已知：

如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．

（1）若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；

（2）若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．

5.正多边形和圆

【例5】正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（）

A.

B.

C.

D.

练习9.求证圆的外切正多边形的面积等于其周长与圆的半径的积的一半.

练习10．如图,若正六边形的面积为6,求正六边形内切圆的内接正三角形的面积.

练习11.正三角形的边心距、半径和高的比是（）

A.1∶2∶3B.

C.

D.

【例6】周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积

之间的大小关系是（）

A.

B.

C.

D.

练习12.如图所示，正五边形的对角线AC和BE相交于点M，求证：

（1）

；

（2）

练习13.已知正六边形ABCDEF的半径为2cm，求这个正六边形的边长、周长和面积。

练习14.已知正方形的边长为2cm，求它的外接圆的外切正三角形的边长和面积。

1．三角形的外心是（）

A.三条中线的交点B.三条中垂线的交点

C.三条高的交点D.三条角平分线的交点

2.正多边形一定是（）

A.轴对称图形B.中心对称图形

C.既是中心对称图形又是轴对称图形D.都不对

3．如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若∠ADB=100°，则∠ACB的度数为（）

A.35°B.40°C.50°D.80°

4.从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，从这点到圆的最短距离为（）．

A．9B．9（-1）C．9（-1）D．9

5.在△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，AC=3，则内切圆半径为____________。

6.若正多边形的内角和是720°，则这个多边形是正____________边形。

7.已知正多边形的中心角为120°，边长为3，则其半径长为____________。

8.若正三角形和正六边形的面积相等，则它们的边长之比为___________。

9.如图，PA、PB分别切圆O于A、B，⑴C为优弧AB上的一点，若∠P=50°，则∠ACB=。

⑵D为劣弧AB上的一点，若∠P=50°，则∠ADB=。

变式：

上题中，PA、PB分别切⊙O于A、B，C为优弧AB上一点，若∠ACB=a，则∠APB=（）

A．180°-aB．90°-aC．90°+aD．180°-2a

10.△ABC的内切圆半径为R，△ABC的周长为L，则△ABC的面积为。

变式：

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB、BC、CA的长分别为c、a、b，则△ABC的内切圆半径为。

11.边长为a的正三角形的内切圆的半径为。

12.EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A.D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，求∠A的度数．

13.已知：

如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于L、M、N、P．

求证：

AB+CD=AD+BC．

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1.在圆内接四边形ABCD中，则∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠D＝度

2.一个直角三角形的两直角边长分别为6cm和8cm，则其外接圆的半径为cm，内切圆的半径为cm。

3.圆O内切Rt△ABC，切点分别是D、E、F，则四边形OECF是_______．

4.（甘肃定西一模）如图，在△ABC中，，cosB．如果⊙O的半径为cm，且经过点B、C，那么线段AO=cm．

5.（湖南怀化期末）如图，、分别切⊙于点、，点是⊙上一点，且，则_____度．

6.（安徽一模）△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（）

A．120°B．125°C．135°D．150°

7.（四川绵阳一中期末）一个钢管放在V形架内，右图是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25cm，∠MPN=60，则OP=（）

A．50cmB．25cmC．cmD．50cm

8.同圆的内接正方形和外切正方形的周长之比为（）

A.∶1B.2∶1C.1∶2D.1∶

9.下列说法中，不正确的是（）

A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点

B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部

C．垂直于半径的直线是圆的切线

D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等

10．给出下列说法：

①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；

②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；

③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；

④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．

其中正确的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

11.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于（）

A．21B．20C．19D．18

12．如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，若∠DEF=52o，则∠A的度为________．

13．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________．

14．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC为____________度．

15.如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=20，求△ABC的周长．