行列式的计算方法课堂讲解版可编辑修改word版.docx

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行列式的计算方法课堂讲解版可编辑修改word版

计算n阶行列式的若干方法举例

n阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开

②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。

下面介绍几种常用的方法，并举例说明。

1.利用行列式定义直接计算

例

计算行列式Dn=

n-1

解Dn中不为零的项用一般形式表示为

a1n-1a2n-2an-11ann

（n-1）（n-2）

=n!

该项列标排列的逆序数t（n－1n－2…1n）等于2，

（n-1）（n-2）

故Dn

=（-1）2

2.利用行列式的性质计算

例：

一个n阶行列式Dn=

aij

的元素满足aij

=-aji,i,j=1,2,,n,

则称Dn为反对称

行列式，证明：

奇数阶反对称行列式为零.

证明：

由aij=-aji知aii=-aii，即aii=0,i=1,2,,n

故行列式Dn可表示为

-a12

Dn=-a13

a12

-a23

a13a230

a1n

a2n

a3n

，由行列式的性质

A=A'，

0-a12

-a13

-a1n

-a2n

-a3n

a12

a13

a1n

n13233n

13233n

当n为奇数时，得Dn=－Dn，因而得Dn=0.

3.化为三角形行列式

若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。

因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。

这是计算行列式的基本方法重要方法之一。

因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。

原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。

但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。

因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。

-1

-3

-7

-5

-2

-5

-14

-4

-10

例1计算行列式D=．

解这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算．

（2）+3

（1）

（3）-2

（1）1-12

-31

1-12-31

（4）-3

（1）00

（5）-4

（1）

-10-2

0204-1

D0204-1

-00

-10-2

-00-10-2

0-21

-53

0-21

-53

001-12

0022-2

（4）+（3）

（5）+2（3）

1-12-31

0304-1

1-12-31

0204-1

-00-10-2

-00-10-2=-1⋅2（-1）（-1）（-6）=12.

000

-10

000

-10

0002-60000-6

1+a1

1+a2

例2计算n阶行列式D=a1

1+a3

an．

1+an

解这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此n列之和全同．将第2，3，…，n列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1．

1+（a1+a2++an）a2

a3an

1a2

a3an

1+（a1+a2++an）1+a2

a3an

11+a2

a3an

[1]+[i]

1+（a+a++a）a

1+aa=⎛1+∑

a⎫1a

1+aa

i=2,,n

1+（a1+

n23

nçi⎪23n

（i）-

（1）⎛n⎫

⎛n⎫n

ç1+∑ai⎪

=ç1+∑ai⎪1=1+∑ai.

i=2,,n⎝

i=1⎭

⎝i=1⎭

i=1

例3计算n阶行列式D=

解：

这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n

列都加到第1列上，行列式不变，得

a+（n-1）bbb

a+（n-1）bab

D=a+（n-1）bba

b=[a+（n-1）b]1

bbb

abb

bab

a+（n-1）bbba1bba

a-b

=[a+（n-1）b]

a-b

=[a+（n-1）b]（a-b）n-1

例4：

浙江大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第2小题（重庆大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第1小题）的解答中需要计算如下行列式的值：

n-1

Dn=

n-2

n-1

[分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。

注意到

从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以－1加到第n列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘以－1加到第2列。

然后把第1行乘以－1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。

解：

11111

1000-n

200-n0

1-n

n-1

-n

1++n000

（i=2,,n）1

100

20-n

-n

0=1⋅n（n+1）

r+rn

1ni

n-2000

n-1

-n00

1n（n+1）

（n-1）（n-2）

=⋅⋅（-n）n-1⋅（-1）2

=（n+1）⋅nn-1⋅（-1）n（n-1）

4.降阶法（按行（列）展开法）

降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是根据行列式的特点，先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。

例1、计算20阶行列式D20=

[分析]这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化许许多多个2阶行列式计算，需进行20！

*20－1次加减法和乘法运算，这人根本是无法完成的，更何况是n阶。

但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。

注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差1，因此，可按下述方法计算：

解：

=21⨯（-1）20+1⨯218=-21⨯218

例2计算n阶行列式Dn=

a0000a00

0a0000a0

解将Dn按第1行展开Dn

=a00a0+（-1）n+1

000a

000a1000

=an+（-1）n+1（-1）nan-2

=an-an-2.

例3计算n（n≥2）阶行列式．

解按第一行展开，得

D=a

+（-1）1+n

再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到

D=an+（-1）1+n（-1）（n-1）+1an-2

=an-an-2

=an-2（a2-1）．

5.递（逆）推公式法

递推法是根据行列式的构造特点，建立起与的递推关系式，逐步推下去，从而求出的值。

有时也可以找到与，的递推关系，最后利用，得到的值。

［注意］用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。

例1计算行列式Dn=.

解：

将行列式按第n列展开,有Dn=（+）Dn-1-Dn-2,

Dn-Dn-1=（Dn-1-Dn-2）,Dn-Dn-1=（Dn-1-Dn-2）,

得Dn

-D

n-1

=2（D

n-2

-D

n-3

）==n-2（D

-D）=n。

⎧（n+1）n,=;

nD=⎪

n+1

同理得

Dn-Dn-1=,

n⎨

⎪

⎩

≠.

例2计算Dn

解

a-y

Dn=0

=（a-y）Dn-1+y1

n-1

=（a-y）D+y（a-x）n-1

a-xy-x

y-x

a-x

y-x

a-x

n-1

同理Dn=（a-x）D+x（a-y）

x（a-y）n-y（a-x）n

联立解得Dn=

当x=y时,

x-y

（x≠y）

D=（a-x）D+x（a-x）n-1=（a-x）2D

+2x（a-x）n-1

nn-1

==（a-x）n-2D

n-2

+（n-2）x（a-x）n-1=（a-x）n-1[a+（n-1）x]

例3计算n阶行列式．

解首先建立递推关系式．按第一列展开，得：

-100

x-1000

D=x

+（-1）n+1a0x-1

00=xD

+（-1）n+1⋅a

⋅（-1）n-1=xD

a，

n-1

nn-1n

aaa

aa+x

000x-1

这里Dn-1与Dn有相同的结构，但阶数是n-1的行列式．

现在，利用递推关系式计算结果．对此，只需反复进行代换，得：

nn-2

D=x（xD

a）+a

=x2D

ax+a

=x2（xD

a）+ax+a

==xn-1D+axn-2++ax2+ax+a，

因D=

x+a

=x+a，故D

=xn+axn-1++ax+a．

最后，用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的．

当n=1时，显然成立．设对n-1阶的情形结果正确，往证对n阶的情形也正确．由

D=xD

+a=x（xn-1+axn-2++ax+a

）+a

=xn+axn-1++ax+a，、

可知，对n阶的行列式结果也成立．根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立．

例4证明n阶行列式

210

121

000

．

Dn==n+1

000

121

证明按第一列展开，得Dn=2．

其中，等号右边的第一个行列式是与Dn有相同结构但阶数为n-1的行列式，记作Dn-1；第二个行列式，若将它按第一列展开就得到一个也与Dn有相同结构但阶数为n-2的行列式，记作Dn-2．

这样，就有递推关系式：

Dn=2Dn-1-Dn-2．

因为已将原行列式的结果给出，我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的．

当n=1时，D1=2，结论正确．当n=2时，D2=12=3，结论正确．

设对k≤n-1的情形结论正确，往证k=n时结论也正确．

由Dn=2Dn-1-Dn-2=2n-（n-1）=n+1

可知，对n阶行列式结果也成立．

根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立．

例5、2003年福州大学研究生入学考试试题第二大题第10小题要证如下行列式等式：

Dn=

证明：

Dn=

n+1-n+1

其中≠

（虽然这是一道证明题，但我们可以直接求出其值，从而证之。

）

［分析］此行列式的特点是：

除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式[1]。

从行列式的左上方往右下方看，即知Dn-1与Dn具有相同的结构。

因此可考虑利用递推关系式计算。

证明：

Dn按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有：

Dn=（＋）Dn－1－Dn－2

这是由Dn-1和Dn-2表示Dn的递推关系式。

若由上面的递推关系式从n阶逐阶往低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n-2阶行列式表示n阶行列式，因此，可考虑将其变形为：

Dn－Dn－1＝Dn－1－Dn－2＝（Dn－1－Dn－2）

或Dn－Dn－1＝Dn－1－Dn－2＝（Dn－1－Dn－2）

现可反复用低阶代替高阶，有：

D－D

＝（D

－D

）＝（2D

－D

）＝（3D

－D）

nn－1

n－1

n－2

n－3

n－4

同样有：

＝＝n-（2

D－D）=n－2[（+）2--（+）]=n

（1）

D－D

＝（D

－D

）＝（2D

－D

）＝（3D

－D）

nn－1

n－1

n－2

n－3

n－4

＝＝n-（2因此当≠时

D－D）=n－2[（+）2--（+）]=n

（2）

由

（1）

（2）式可解得：

Dn=

n+1-n+1

，证毕。

6.利用范德蒙行列式

根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质——如：

提取公因式；互换两行（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列）去；...）把所求行列式化成已知的或简单的形式。

其中范德蒙行列式就是一种。

这种变形法是计算行列式最常用的方法。

111

x1+1

x2+1

xn+1

例1计算行列式D=

x2+xx2+x

x2+x

xn-1+xn-2

解把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n行，便得范德蒙行列式

111

x1x2xn

D=x2x2x2=

∏（x-x）

12n

n≥i>j≥1

xn-1

anan-1ban-2b2

abn-1bn

anan-1ban-2b2abn-1bn

例2计算n+1阶行列式D=

22222222

．其中aaa

≠0．

12n+1

anan-1ban-2b2

abn-1bn

解这个行列式的每一行元素的形状都是an-kbk，k=0，1，2，…，n．即a按降幂排列，b

iiii

按升幂排列，且次数之和都是n，又因a≠0，若在第i行（i=1，2，…，n）提出公因子an，则D

可化为一个转置的范德蒙行列式，即

b⎛b⎫2⎛b⎫n

11ç1⎪ç1⎪

a1⎝a1⎭⎝a1⎭

b⎛b⎫2⎛b⎫n

=nnn12

ç2⎪

n+1

⎛bbj⎫

Daa

aaa

=∏a

∏çi-

⎪=∏

（ba

ab）.

12n1

2⎝2⎭⎝2⎭

içaa⎪

ijij

i=11≤j

1≤j

b⎛b⎫2⎛b⎫n

1n+1çn+1⎪çn+1⎪

an+1⎝an+1⎭⎝an+1⎭

例3计算行列式D=x2y2

yzxz

z2.

解：

xyz

（3）+（y+z）

（1）

（3）+x

（1）

xy+xz+yz

y2+yz+xz

yz+z2+xy

=x2

x2+xy+yz+xz

y2+xy+yz+xz

z2+xy+yz+xz

=（xy+yz+xz）（y-x）（z-x）（z-y）

例4计算行列式Dn

n-2

解作如下行列式,使之配成范德蒙行列式

P（y）=

x2xn

=∏（y-xi）

∏（xi-xj）

n-2

n-1

xn-2

n-1

n-2

n-1

yn-2

n-1

i=1

1≤j

x1x2xny

nnnn

12n

易知Dn等于

P（y）中

yn-1

的系数的相反数,而

P（y）中

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