初二期末复习综合题讲解.docx

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初二期末复习综合题讲解

初二数学期末复习综合题讲解

1、已知：

如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别为边AB、DC的中点，CG//DE，交EF的延长线于点G．

（1）求证：

四边形DECG是平行四边形；

（2）当ED平分∠ADC时，求证：

四边形DECG是矩形．

2．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A=60°，AB=2CD，E、F分别为AB、AD的中点，联结EF、EC、BF、CF．

（1）四边形AECD的形状是；

（2）若CD=2，求CF的长．

3．如图，在

ABCD中，过点B作BE∥AC，在BG上取点E，

联结DE交AC的延长线于点F．

（1）求证：

DF=EF；

（2）如果AD=2，∠ADC=60°，AC⊥DC于点C，AC=2CF，求BE

的长．

4、如图，四边形ABCD是平行四边形，DE//AC，DE与BC的延长线交于点E，AE交CD于F，BF交AC于G．

（1）求证：

BC=CE；

（2）已知∠DAF=∠CBF且AD=2DF，

求证：

四边形ABCD是正方形．

5．在□ABCD中，∠A=∠DBC,过点D作DE=DF,且∠EDF=∠ABD,连接EF、EC,

N、P分别为EC、BC的中点，连接NP．

（1）如图1，若点E在DP上,EF与DC交于点M,试探究线段NP与线段NM的数量

关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关系，请直接写出你的结论；

（2）如图2，若点M在线段EF上,当点M在何位置时，你在

（1）中得到的结论仍然

成立，写出你确定的点M的位置，并证明

（1）中的结论.

图1图2

6．已知：

△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM．

（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是；

（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断

（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

7．

（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，M是AB的中点．直接写出∠BMD与∠ADM的倍数关系；

（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，AB=2BC，M是AB的中点，过C作CE⊥AD与AD所在直线交于点E．

①若∠A为锐角，则∠BME与∠AEM有怎样的倍数关系，并证明你的结论；

②当

时，上述结论成立；

当

时，上述结论不成立．

8．已知：

在如图1所示的锐角三角形ABC中，CH⊥AB于点H，点B关于直线CH的对称点为D，AC边上一点E满足∠EDA=∠A，直线DE交直线CH于点F．

（1）求证：

BF∥AC；

（2）若AC边的中点为M，求证：

；

（3）当AB=BC时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE相等的线段，并证明你的结论．

图1图2

初二数学期末复习综合题讲解解答

1、已知：

如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别为边AB、DC的中点，CG//DE，交EF的延长线于点G．

（1）求证：

四边形DECG是平行四边形；

（2）当ED平分∠ADC时，求证：

四边形DECG是矩形．

23．证明：

（1）∵F是边CD的中点，∴DF=CF．…………………………（1分）

∵CG//DE，

∴∠DEF=∠CGF．………………………………………………（1分）

又∠DFE=∠CFG，

∴△DEF≌△CGF（A．A．S）．………………………………（2分）

∴DE=CG．………………………………………………………（1分）

又CG//DE，

∴四边形DECG是平行四边形．…………………………………（1分）

（2）∵ED平分∠ADC，∴∠ADE=∠FDE．………………………（1分）

∵E、F分别为边AB、DC的中点，

∴EF//AD．

∴∠ADE=∠DEF．………………………………………………（1分）

∴∠DEF=∠EDF．即得EF=DF=CF．

∴∠FEC=∠ECF．………………………………………………（1分）

即得∠EDC+∠DCE=∠DEC．

∵∠EDC+∠DCE+∠DEC=180°，

∴2∠DEC=180°．

即得∠DEC=90°．………………………………………………（2分）

又∵四边形DECG是平行四边形，

∴四边形DECG是矩形．…………………………………………（1分）

19．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A=60°，AB=2CD，E、F分别为AB、AD的中点，联结EF、EC、BF、CF．

（1）四边形AECD的形状是；

（2）若CD=2，求CF的长．

19.解：

（1）四边形AECD的形状是平行四边形…………1分

（2）∵四边形AECD是平行四边形，∴AE=CD=2，

∵E是AB的中点，∴AE=EB=2，AB=4.…………2分

∵四边形AECD是平行四边形，∴EC∥AD，

∴∠BEC=∠A=60°.

∴EC=4，BC=

.

∴AD=EC=4，…………3分

∵F是AD的中点，∴AF=2，

∴△AEF是等边三角形，∴EF=2

∴∠FEC=60°

可证△ECF≌△ECB…………4分

∴FC=BC=

.…………5分

19．如图，在

ABCD中，过点B作BE∥AC，在BG上取点E，联结DE交AC的延长线于点F．

（1）求证：

DF=EF；

（2）如果AD=2，∠ADC=60°，AC⊥DC于点C，AC=2CF，求BE

的长．

19．解：

联结BD交AC于点O．

（1）∵□ABCD，

∴OB=OD，…1分

∵BG∥AF，

∴DF=EF.……2分

（2）∵AC⊥DC，∠ADC=60°，AD=2，

∴AC=

．……3分

∵OF是△DBE的中位线，

∴BE=2OF．.……4分

∵OF=OC+CF,

∴BE=2OC+2CF．

∵□ABCD，∴AC=2OC．

∵AC=2CF，

∴BE=2AC=

．……5分

23．（本题满分12分，其中第

（1）小题6分，第

（2）小题6分）

如图，四边形ABCD是平行四边形，DE//AC，DE与BC的延长线交于点E，AE交CD于F，BF交AC于G．

（1）求证：

BC=CE；

（2）已知∠DAF=∠CBF且AD=2DF，

求证：

四边形ABCD是正方形．

23.（本题满分12分，第

（1）小题满分6分，第

（2）小题满分6分）

证明：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD//BCBC=AD…………………

…………………………………………………（2分）

又∵DE//AC，∴四边形ACED是平行四边形………

…………………………………（2分）

∴AD=CE……………………………………

…………………………………………（1分）

∴BC=CE………………………………

…………………………………………………（1分）

（2）∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD//BC

∴∠DAF=∠FEC………………………………………

………………………………（2分）

又∵∠DAF=∠CBF∴∠CBF=∠FEC

∴FB=FE

又∵BC=CE∴FC⊥BG即∠BCD=90°

∵四边形ABCD是平行四边形

∴四边形ABCD是矩形…………………………………

………………………………（2分）

∵四边形ACED是平行四边形

∴CD=2DF………………………………………………

………………………………（1分）

∵AD=2DF

∴AD=CD………………………………………………………………………………（1分）

∴四边形ABCD是正方形

24．在□ABCD中，∠A=∠DBC,过点D作DE=DF,且∠EDF=∠ABD,连接EF、EC,

N、P分别为EC、BC的中点，连接NP．

（1）如图1，若点E在DP上,EF与DC交于点M,试探究线段NP与线段NM的数量

关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关系，请直接写出你的结论；

（2）如图2，若点M在线段EF上,当点M在何位置时，你在

（1）中得到的结论仍然

成立，写出你确定的点M的位置，并证明

（1）中的结论.

图1图2

24.解:

（1）NP=MN,∠ABD+∠MNP=180（或其它变式及文字叙述,各1分）.………2分

（2）点M是线段EF的中点（或其它等价写法）.

证明：

如图,分别连接BE、CF.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥DC，∠A=∠DCB，

∴∠ABD=∠BDC.

∵∠A=∠DBC，

∴∠DBC=∠DCB.

∴DB=DC.①………………………3分

∵∠EDF=∠ABD,

∴∠EDF=∠BDC.

∴∠BDC-∠EDC=∠EDF-∠EDC.

即∠BDE=∠CDF.②

又DE=DF，③

由①②③得△BDE≌△CDF.………………………………4分

∴EB=FC,∠1=∠2.

∵N、P分别为EC、BC的中点，

∴NP∥EB,NP=

.

同理可得MN∥FC，MN=

.

∴NP=NM.…………………………………5分

∵NP∥EB,

∴∠NPC=∠4.

∴∠ENP=∠NCP+∠NPC=∠NCP+∠4.

∵MN∥FC，

∴∠MNE=∠FCE=∠3+∠2=∠3+∠1.

∴∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠3+∠1+∠NCP+∠4

=∠DBC+∠DCB=180-∠BDC=180-∠ABD.

∴∠ABD+∠MNP=180.…………………………7分

24．已知：

△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM．

（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是；

（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断

（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

24.解：

（1）BM=DM且BM⊥DM．………2分

（2）成立．……………3分

理由如下：

延长DM至点F，使MF=MD，联结CF、BF、BD．

易证△EMD≌△CMF．………4分

∴ED=CF，∠DEM=∠1．

∵AB=BC，AD=DE，且∠ADE=∠ABC=90°，

∴∠2=∠3=45°,∠4=∠5=45°．

∴∠BAD=∠2+∠4+∠6=90°+∠6．

∵∠8=360°-∠5-∠7-∠1，∠7=180°-∠6-∠9，

∴∠8=360°-45°-（180°-∠6-∠9）-（∠3+∠9）

=360°-45°-180°+∠6+∠9-45°-∠9=90°+∠6．

∴∠8=∠BAD．………5分

又AD=CF．∴△ABD≌△CBF．

∴BD=BF，∠ABD=∠CBF．………6分

∴∠DBF=∠ABC=90°．

∵MF=MD，

∴BM=DM且BM⊥DM．.…………7分

24．

（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，M是AB的中点．直接写出∠BMD与∠ADM的倍数关系；

（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，AB=2BC，M是AB的中点，过C作CE⊥AD与AD所在直线交于点E．

①若∠A为锐角，则∠BME与∠AEM有怎样的倍数关系，并证明你的结论；

②当

时，上述结论成立；

当

时，上述结论不成立．

24.

（1）∠BMD=3∠ADM…………2分

（2）联结CM，取CE的中点F，联结MF，交DC于N

∵M是AB的中点，∴MF∥AE∥BC，

∴∠AEM=∠1，∠2=∠4，………3分

∵AB=2BC，∴BM=BC，∴∠3=∠4.

∵CE⊥AE，∴MF⊥EC，又∵F是EC的中点，

∴ME=MC，∴∠1=∠2.……….4分

∴∠1=∠2=∠3.

∴∠BME=3∠AEM.……….5分

（3）当0°<∠A<120°时，结论成立；

当

时，结论不成立.…………7分

24．已知：

在如图1所示的锐角三角形ABC中，CH⊥AB于点H，点B关于直线CH的对称点为D，AC边上一点E满足∠EDA=∠A，直线DE交直线CH于点F．

（1）求证：

BF∥AC；

（2）若AC边的中点为M，求证：

；

（3）当AB=BC时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE相等的线段，并证明你的结论．

图1图2

（2）取FD的中点N，连结HM、HN.

∵H是BD的中点，N是FD的中点，

∴HN∥BF．

由

（1）得BF∥AC，

∴HN∥AC，即HN∥EM．

∵在Rt△ACH中，∠AHC=90°，

AC边的中点为M，

∴

．

∴∠A＝∠3．

∴∠EDA=∠3．

∴NE∥HM．

∴四边形ENHM是平行四边形．………………………………………3分

∴HN=EM．

∵在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF的中点为N，

∴

，即

．

∴

．…………………………………………………………4分

（3）当AB=BC时，在未添加辅助线和其它字母的条件下，原题图2中所有与BE相等的线段是EF和CE．（只猜想结论不给分）

证明：

连结CD．（如图8）

∵点B关于直线CH的对称点为D，CH⊥AB于点H，

∴BC=CD，∠ABC＝∠5．

∵AB＝BC，

∴

，

AB＝CD．①

∵∠EDA=∠A，

∴

，AE=DE．②

∴∠ABC＝∠6=∠5．

∵∠BDE是△ADE的外角，

∴

．

∵

，

∴∠A＝∠4．③

由①，②，③得△ABE≌△DCE．………………………………………5分

∴BE=CE．………………………………………………………………6分

由

（1）中BF=DF得∠CFE=∠BFC．

由

（1）中所得BF∥AC可得∠BFC=∠ECF．

∴∠CFE=∠ECF．

∴EF=CE．

∴BE=EF．………………………………………………………………7分

∴BE=EF=CE．

（阅卷说明：

在第3问中，若仅证出BE=EF或BE=CE只得2分）