11菱形的性质和判定培优一.docx
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11菱形的性质和判定培优一
菱形培优训练
参考答案与试题解析
一.选择题（共8小题）
1.（2011•聊城）已知一个菱形的周长是20cm,两条对角线的比是4：
3,则这个菱形的而积是（）
A.12cm2B.24cm2C.48cm2D.96cnr
考点：
菱形的性质.
分析：
设菱形的对角线分别为8x和6x,首先求出菱形的边长，然后根据勾股定理求出x的值，最后根据菱形的面积公式求出而积的值.
解答：
解：
设菱形的对角线分别为8x和6x,
己知菱形的周长为20cm,故菱形的边长为5cm,
根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，
即可知（4x）2+（3x）2=25,
解得x=l,
故菱形的对角线分别为8cm和6cm,
所以菱形的面枳，ix8x6=24cn]2,
2
故选B.
点评：
本题主要考查菱形的性质的知识点，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题比较简单.
2.（2012•孝感）如图，在菱形ABCD中，ZA=60°,E、F分别是AB.AD的中点，DE、BF相交于点G,连接BD,
CG.有下列结论：
①/BGD=120°：
②BG+DG=CG：
（§）△BDF^«CGB：
④abd#AB?
其中正确的结论有（
C.3个
D.4个
考点：
菱形的性质：
全等三角形的判定与性质：
等边三角形的判定与性质.
专题：
综合题.
分析：
先判断出^ABD、BDC是等边三角形，然后根据等边三角形的三心（重心、内心、垂心）合一的性质，结合菱形对角线平分一组对角，三角形的判定定理可分别进行各项的判断.
解答：
解：
①由菱形的性质可得△ABD、BDC是等边三角形，ZDGB=ZGBE+ZGEB=30°+9（T=120。
，故①正确:
②,・・NDCG=NBCG=30。
，DEJLAB,・・・可得DG」CG（30。
角所对直角边等于斜边一半）、BG」CG,故
22
可得出BG+DG=CG,即②也正确；
③首先可得对应边BGhFD,因为BG=DG,DGAFD,故可得△BDF不全等△CGB,即③错误：
④Saabd」AB・DE」AB・（V3BE）=JlAB^AB=^AB2,即④正确.
综上可得①②④正确，共3个.
故选C.
3.（2010•陕西）若一个菱形的边长为2,则这个菱形两条对角线的平方和为（）
A.16B.8C.4D.1
考点：
菱形的性质.
分析：
根据菱形的对角线互相垂直平分，即菱形被对角线平分成四个全等的直角三角形，根据勾股定理，即可求解.
解答：
解：
设两对角线长分别是：
a,b.
则（工）2+（1b）2=22.则a?
+b2=16.
22
故选A.
点评：
本题主要考查了菱形的性质：
菱形被两个对角线平分成四个全等的直角三角形.
4.（2001•嘉兴）菱形的边长为4cm,一个内角为30。
，这个菱形的面积为（）
A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm2
考点：
菱形的性质；含30度角的直角三角形.
分析：
根据直角三角形的性质：
30度所对的直角边等于斜边的一半，可得出菱形的高为2cm.然后可求出菱形面积.
解答：
解：
由30。
锐角所对的直角边等于斜边的一半，可得30。
所对菱形的高为2cm,则这个菱形的面积为4x2=8cnR故选D.
点评：
此题主要考查菱形的面积求法，综合运用了直角三角形的性质.
5.（2011•衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3,4）,则顶点M、N的坐标分
A.M（5,0）,N（8,4）B.M（4,0）,N（8,4）C.M（5,0）,N（7,4）D.M（4,0）,N（7,4）
考点：
菱形的性质：
坐标与图形性质.
专题：
数形结合.
分析：
此题可过P作PE_LOM,根据勾股定理求出OP的长度，则M、N两点坐标便不难求出.解答：
解：
过P作PE_LOM,
二•顶点P的坐标是（3,4）,
OE=3,PE=4,
OPWs2+d
.,.点M的坐标为（5,0）,,-5+3=8,
.,.点N的坐标为（8,4）.
故选A.
点评：
此题考查了菱形的性质，根据菱形的性质和点P的坐标，作出辅助线是解决本题的突破口.
6.（2008•丽水）如图，在三角形ABC中，AB>AC,D、E分别是AB、AC上的点，aADE沿线段DE翻折，使点A落在边BC上，记为A-若四边形ADA，E是菱形，则下列说法正确的是（）
A.DE是aABC的中位线B.AA'是BC边上的中线
C.AA'是BC边上的高D.AA'是△ABC的角平分线
考点：
菱形的判定：
翻折变换（折叠问题）.
分析：
根据菱形的性质：
对角线互相垂直的平分进行判断即可.
解答：
解：
•.•四边形ADAE是菱形，则根据菱形的对角线平分一组对角,\\笈匕ABC的角平分线，
故D正确：
而B、C不正确：
DE不一定是△ABC的中位线，A也不正确.
故选D.
点评：
本题考查了菱形的性质：
对角线平分一组对角.
若AB=3,则BC的长为（）
D.a/3
考点：
菱形的性质：
勾股定理.
专题：
计算题.
分析：
根据题意可知，AC=2BC,ZB=90°,所以根据勾股定理可知AC2=AB?
+BC2,即（2BC）2=32+BC2,从而可求得BC的长.
解答：
解：
・・・AC=2BC,NB=90。
，
AC2=AB2+BC2>
（2BC）2=32+BC2,
BC=V3.
故选D.
点评：
此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用.
二.填空题（共9小题）
8.（2012•鄂尔多斯）如图，将两张长为4,宽为1的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形.旋转过程中,当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4,那么菱形周长的最大值是卫.
一2一
考点：
菱形的性质.
分析：
作出图形，确定当两矩形纸条有一条对角线互相重合时，菱形的周长最大，设菱形的边长为X,表示出AB,然后利用勾股定理列式进行计算求出X,再根据菱形的四条边都相等解答.
解答：
解：
如图，菱形的周长最大，
设菱形的边长AC=x,贝ijAB=4-x,
在RSABC中，AC2=AB2+BC2,
BPx2=（4-x）2+12,
解得
8
所以，菱形的最大周长」
82
故答案为：
11.
点评：
本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，确定出菱形的周长最大时的位置是解题的关键，作出图形更形象直观.
9.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，zAOC=45%OC=2”云贝U点B的坐标为（26+2,2）
考点：
菱形的性质：
坐标与图形性质：
特殊角的三角函数值.
分析：
过C作CE_LOA,根据“NAOC=45。
，OC=2d，，可以求出CE、OE的长，点B的坐标便不难求出.解答：
解：
过C作CE±OA于E,
•••ZAOC=45°,OC=25/2>OE=OCcos450=V2>
CE=OCsin450=2,
・・•点B的坐标为（2业2,2）.
10.（2003•温州）如图：
菱形ABCD中，AB=2,ZB=120。
E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值是
考点
专题
分析
解答:
菱形的性质：
线段垂直平分线的性质.
动点型.
过点E作PE_LAB,交AC于P,从而可得到PE+PB的最小值.
解：
当点P在AB的中垂线上时,过点E作PE_LAB,交AC于P,VZB=120°
ZCAB=30°
PA=2EP
1/AB=2,E是AB的中点
AE=1
在RSAPE中，PA2-PE2=1PE=^,
33
・•.PE+PB=PE+PA=V3.
故答案
则PA=PB,根据已知得到PA=2EP,根据勾股定理可求得PE,PA的值,
PE+PB有最小值.
则PA=PB.
D
点评：
本题考查的是中垂线，菱形的邻角互补.勾股定理和最值.本题容易出现错误的地方是对点P的运动状态不清楚，无法判断什么时候会使PE+PB成为最小值.
11.（2005•黑龙江）已知菱形ABCD的边长为6,zA=60°,如果点P是菱形内一点，且PB=PD=2，5,那么AP的长为_2正或乱e_.
考点：
菱形的性质.
专题：
分类讨论.
分析：
根据题意得，应分P与A在BD的同侧与异侧两种情况进行讨论.
解答：
解：
当P与A在BD的异侧时：
连接AP交BD于M,
•・・AD=AB,DP=BP,
AP±BD（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上），
在直角AABM中,NBAM=30。
AM=AB・cos30°=36，BM=AB・sin3O0=3,
■1-PM刃PB2-EM匚弧，
：
.AP=AM+PM=4V3：
当P与A在BD的同侧时：
连接AP并延长AP交BD于点M
AP=AM-PM=2V3：
当P与M重合时，PD=PB=3,与PB=PD=2E矛盾，舍去.
AP的长为Wj或2a.
故答案为伞店或26.
A
点评：
本题注意到应分两种情况讨论，并且注意两种情况都存在关系APLBD,这是解决本题的关键.
12.（2011•内江）如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足AB=CD条件时,四边形EFGH是菱形.
考点：
菱形的判定：
三角形中位线定理.
分析.：
首先利用三角形的中位线定理证出EFIIAB,EF」AB,HGIIAB,HG」AB,可得四边形EFGH是平行四22
边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，添加条件AB=CD后，证明EF=EH即可.
解答：
解：
需添加条件AB=CD.
•・・E,F是AD,DB中点，
EFIIAB,EF」AB,2
.H,G是AC,BC中点，
HGIIAB,HG,AB,2
AEFIIHG,EF=HG,
/.四边形EFGH是平行四边形，
•・・E,H是AD,AC中点，
EH=icD,2
AB=CD,
EF=EH,
/.四边形EFGH是菱形.
故答案为：
AB=CD.
点评：
此题主要考查了三角形中位线定理与菱性的判定方法，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
①定义；②四边相等：
③对角线互相垂直平分.
13.（2009•绥化）如图,边长为1的菱形ABCD中，NDAB=60度.连接对角线AC,以AC为边作第二个菱形ACCiDh使nDiAC=60。
：
连接ACi,再以ACi,为边作第三个菱形AC1C2D2,使ND2ACi=60。
；…，按此规律所作的第n个菱形的边长为（晶）n।.
考点：
菱形的性质.
专题：
规律型.
分析：
根据已知和菱形的性质可分别求得AC,ACi，AC2的长，从而可发现规律根据规律不难求得第n个菱形的边长.
解答：
解：
连接DB,
二•四边形ABCD是菱形，
AD=AB.AC±DB,
•/ZDAB=60°,
/.△ADB是等边三角形，
DB=AD=L
BM」,2
AC=V^,
同理可得ACi=3=（AC2=次乃=（/5）I按此规律所作的第n个菱形的边长为（正）n1
故答案为（V3）n
点评：
此题主要考查菱形的性质以及学生探索规律的能力.
14.（2012•西宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AC=12,BD=16,E为AD中点，点P在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（-5,0）和（5,0）.请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标（8,0）或（丝，0）.
8
考点：
菱形的性质：
坐标与图形性质：
等腰三角形的判定.
分析：
由在菱形ABCD中，AC=12,BD=16,E为AD中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE
的长，然后分别从①当OP=OE时，②当OE=PE时，③当OP=EP时去分析求解即可求得答案.
解答：
解：
:
四边形ABCD是菱形，
AAC±BD,OA=1aC=1x12=6,OD」BD」x16=8,2222
，在Rt/kAOD中，AD=^qA24.qD2=1O,
••・E为AD中点，
OE=lAD=lxlO=5,22
①当OP=OE时，P点坐标（-5,0）和（5,0）：
②当OE=PE时，此时点P与D点重合，即P点坐标为（8,0）：
③如图，当OP=EP时，过点E作EKJ_BD于K,作0E的垂直平分线PF,交0E于点F,交x轴于点P,
EKII0A,
EK：
OA=ED：
AD=1：
2,
ek=Aoa=3,
2
OK=7oE2-EK
•/ZPFO=ZEKO=90%ZPOF=ZEOK,
•POF~△EOK,
OP：
OE=OF：
OK,
即OP：
5=反4,
2
解得：
OP金，
8
「.P点坐标为（空0）.
8
「.其余所有符合这个条件的P点坐标为：
（8,0）或（2，0）.
8
故答案为：
（8,0）或（25,0）.
点评：
此题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形的性质以及等腰三角形的性质.此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用.
15.（2012•佳木斯）在菱形ABCD中，ZABC=60°,E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE,连接BE、EF.
（1）若E是线段AC的中点，如图1,易证：
BE=EF（不需证明）：
（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3,线段BE、EF有怎样的数量关系,直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明.
考点：
菱形的性质：
全等三角形的判定与性质：
等边三角形的判定与性质.
专题：
综合题.
分析：
（1）根据菱形的性质结合NABC=60。
可得△ABC是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得
zCBE=izABC=30°,AE=CE,所以CE=CF,然后等边对等角的性质可得NF=NCEF,根据三角形的一个2
外角等于与它不相邻的两个内角的和求出NF=30。
，从而得到NCBE=ZF,根据等角对等边的性质即可证明;
（2）图2,过点E作EGIIBC,交AB于点G,根据菱形的性质结合NABC=60。
可得△ABC是等边三角形,然后根据等边三角形的性质得到AB=AC,ZACB=60%再求出△AGE是等边三角形，根据等边三角形的性质得到AG=AE,从而可以求出BG=CE,再根据等角的补角相等求出NBGE=NECF=120。
，然后利用“边角边”证明aBGE和aECF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证：
图3,证明思路与方法与图2完全相同.
解答：
证明：
（1）四边形ABCD为菱形，
AB=BC,
又INABC=60。
gABC是等边三角形，
•「E是线段AC的中点，
ZCBE=lzABC=30%AE=CE,2
AE=CF,
CE=CF,
ZF=ZCEF,
•・,ZF+ZCEF=ZACB=60°,
ZF=30。
，
ZCBE=ZFt
BE=EF：
（2）图2：
BE=EF....（1分）
图3：
BE=EF....（1分）
图2证明如下：
过点E作EGIIBC,交AB于点G,
•四边形ABCD为菱形，
AB=BC>
又；ZABC=60%
•ABC是等边三角形，
「.AB=AC,NACB=60。
，…（1分）
文:
EGIIBC,
ZAGE=ZABC=60°,
又rZBAC=60%
…AGE是等边三角形，…（1分）
AG=AE,
「・BG=CE,...（1分）
文:
CF=AE,
/.GE=CF,
又丁zBGE=ZECF=120°,
△BGE^'ECF（SAS）,…（2分）
BE=EF：
...（1分）
图3证明如下：
过点E作EGIIBC交AB延长线于点G,
•.•四边形ABCD为菱形，
AB=BC>
又丁ZABC=60%
△ABC是等边三角形，
，AB=AC,NACB=60。
，…（1分）
又〈EGIIBC,
ZAGE=ZABC=60°,
又「ZBAC=60%
△AGE是等边三角形，...（1分）
AG=AE,
BG=CE,...（1分）
又「CF=AE,
GE=CF,
又「zBGE=ZECF=60%
「・△BGE合,ECF（SAS）,…（2分）
点评：
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线，利用等边三角形的性质找出全等的条件是解题的关键.
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