复变函数期末考试复习题及答案详解.docx
《复变函数期末考试复习题及答案详解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数期末考试复习题及答案详解.docx（101页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
复变函数期末考试复习题及答案详解
《复变函数》考试试题
（一）
三.计算题（40分）：
dz
1、
|zz0
|1
（zz）n
__________.（n为自然数）
f（z）
1
0
2.
sin2z
cos2z_________.
3.
函数sinz的周期为___________.
f（z）
1
4.
z2
1，则f（z）的孤立奇点有__________.
设
5.幂级数nzn的收敛半径为__________.
n0
6.若函数f（z）在整个平面上处处解析，则称它是__________.
limzn
limz1
z2...
zn
7.若n
，则n
n
______________.
Res（e
z
8.
n,0）
z
________，其中n为自然数.
9.
sinz
的孤立奇点为________.
z
10.若z0
lim
f（z）___
是f（z）的极点，则zz0
.
1.设（z1）（z2），求f（z）在D{z:
0|z|1}
内的罗朗展式.
1dz.
2.|z|1cosz
f（z）
32
7
1
，其中C{z:
|z|
3}，试求f'（1i）.
3.
d
设
C
z
w
z
1
4.
求复数
z
1的实部与虚部.
四.证明题.（20分）
1.函数f（z）在区域D内解析.证明：
如果|f（z）|在D内为常数，
那么它在D内为常数.
2.试证:
f（z）z（1z）在割去线段0Rez1的z平面内能分出两
个单值解析分支,并求出支割线0Rez1上岸取正值的那支在z1的值.
《复变函数》考试试题
（二）
二.填空题.（20分）
1
1.
设z
i，则|z|
__,argz
__,z
__
2.
设
f（z）
（x2
2xy）i（1sin（x2
y2）,zx
iyC，
则
lim
f（z）
________.
z
1
i
dz
_________.（n为自然数）
3.
|zz0|
1（z
z）n
0
4.
幂级数
nzn
的收敛半径为__________.
n0
5.若z0是f（z）的m阶零点且m>0，则z0是f'（z）的_____零点.
6.函数ez的周期为__________.
7.
方程2z5
z3
3z80在单位圆内的零点个数为________.
1
8.
设f（z）
1
z2，则f（z）的孤立奇点有_________.
9.
函数f（z）
|z|的不解析点之集为________.
10.Res（z41,1）____.
z
三.计算题.（40分）
1.求函数sin（2z3）的幂级数展开式.
2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点
zzi处的值.
计算积分：
I
i
1）单位圆（|z|
1）
3.
|z|dz，积分路径为（
i
的右半圆.
sinz
dz
z
2
2
（z）
4.
求
2.
四.证明题.（20分）
1.
设函数f（z）在区域D内解析，试证：
f（z）在D内为常数的充要条件是f（z）
在D内解析.
2.
试用儒歇定理证明代数基本定理.
《复变函数》考试试题（三）
二.填空题.（20分）
1
1.设f（z），则f（z）的定义域为___________.
z21
2.函数ez的周期为_________.
2
3.
若zn
n
2
i（1
1
）n，则
limzn__________.
1
n
n
n
4.
sin2z
cos2z
___________.
dz
5.
|zz0|
1（z
z）n
_________.（n为自然数）
0
6.
幂级数
nxn
的收敛半径为__________.
n0
7.
设f（z）
1
，则f（z）的孤立奇点有__________.
z2
1
8.
设ez
1，则z
___.
9.
若z0是f（z）的极点，则lim
f（z）___.
z
z0
10.
Res（ez
0）
____.
zn
三.
计算题.（40
分）
1
1.
将函数f（z）
z2ez在圆环域0
z
内展为Laurent
级数.
n!
n
2.试求幂级数
n
nz
的收敛半径.
n
3.
算下列积分：
ezdz
，其中C是
|z|1
.
Cz2（z2
9）
4.
求z9
2z6
z2
8z
20在|z|<1
内根的个数.
四.证明题.（20分）
1.函数f（z）在区域D内解析.证明：
如果|f（z）|在D内为常
数，那么它在D内为常数.
2.设f（z）是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数
R及M，使得当|z|R时
|f（z）|M|z|n，
证明f（z）是一个至多n次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题（四）
3
二.填空题.（20分）
1.
设z
1
，则Rez
__,Imz
___.
2.
设f（z）
ez
，求Res（f（z）,）.
z
2
1
1
i
z1z2
...zn
z
2.
若limzn
，则lim
______________.
3.
|z|2（9
i）dz..
3.
函数ez的周期为__________.
n
z2）（z
n
n
4.
函数f（z）
1
的幂级数展开式为__________
1
1
1z2
4.
函数f（z）
ez
1
z有哪些奇点？
各属何类型（若是极点，指明它
5.
若函数f（z）在复平面上处处解析，则称它是
___________.
6.
若函数f（z）在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是
D内
的阶数）.
的_____________.
四.证明题.（20分）
7.
设C:
|z|
1，则
（z
1）dz
___.
1.
证明：
若函数
f（z）在上半平面解析，则函数
f（z）在下半平面解
C
析.
8.
sinz
2.
证明z4
6z
3
0方程在1|z|2内仅有
3个根.
z
的孤立奇点为________.
9.
若z0是f（z）的极点，则limf（z）
___.
z
z0
z
《复变函数》考试试题（五）
10.
Res（en,0）
_____________.
二.填空题.（20分）
z
三.计算题.（40分）
3
1.设z1
3i，则|z|__,argz__,z__.
1.解方程z
10.
4
2.
当z
___时，ez
为实数.
3.
设ez
1，则z
___.
4.
ez的周期为___.
5.
设C:
|z|
1，则
（z1）dz___.
C
6.
Res（ez
1,0）
____.
z
7.若函数f（z）在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是的_____________。
1
8.函数f（z）2的幂级数展开式为_________.
1z
sinz
9.
的孤立奇点为________.
z
10.
设C是以为a心，r为半径的圆周，则
1
ndz
a）
C（z
（n为自然数）
三.计算题.（40分）
z
1
1.
求复数
的实部与虚部.
2.
z
1
计算积分：
I
L
Rezdz，
在这里L表示连接原点到
1
i的直线段.
求积分：
I
2
d
，其中03.
1
2acos
D内
0
a2
z
（z），在|z|<1
4.
应用儒歇定理求方程
内根的个数，在这里
（z）在|z|
1上解析，并且|
（z）|
1.
四.证明题.（20分）
1.
证明函数f（z）
|z|2
除去在z
0
外，处处不可微.
2.
设f（z）是一整函数，并且假定存在着一个正整数
n，以及两个数R
___.
及M，使得当|z|
R时
|f（z）|M|z|n，
5
证明:
f（z）是一个至多n次的多项式或一常数.
《复变函数》考试试题（六）
1.
一、填空题（20分）
1.
若zn
n
2
i（1
1）n，则limzn
___________.
1
n
n
2.
设f（z）
1
，
则
f（z）的
定
义
域
为
z2
1
____________________________.
3.函数sinz的周期为_______________________.
4.sin2zcos2z_______________________.
5.
幂级数
nzn的收敛半径为________________.
n0
6.
若z0是f（z）的m阶零点且m
1，则z0是f
（z）的____________零
点.
7.若函数f（z）在整个复平面处处解析，则称它是______________.
8.函数f（z）z的不解析点之集为__________.
9.方程2z5z33z80在单位圆内的零点个数为___________.
10.公式eix
cosxisinx称为_____________________.
二、计算题（
30分）
1、lim2i
n
.
n
6
2
2、设f（z）371d，其中Cz:
z3，试求f（1i）.
Cz
f（z）
ez
Res（f（z）,i）
.
、设
，求
3
z2
1
4、求函数sinz3
在0
z内的罗朗展式.
z6
5、求复数w
z
1的实部与虚部.
z
1
i
6、求e3的值.
三、证明题（20分）
1、方程z79z66z310在单位圆内的根的个数为6.
2、若函数f（z）u（x,y）iv（x,y）在区域D内解析，v（x,y）等于常数，
则f（z）在D恒等于常数.
6
3、若z0是f（z）的m阶零点，则z0是
1
的m阶极点.
f（z）
６．计算下列积分．（８分）
（1）
sinz
dz；
（2）
z2
2
dz．
z2
z4
2
2
z（z
3）
?
）
?
（z
2
７．计算积分
2
d
．（６分）
0
5
3cos
８．求下列幂级数的收敛半径．
（６分）
（1）（1
n
z
n
（2）
（n!
）2
n
i）
；
n
n
z．
n1
n1
９．设f（z）
my3
nx2y
i（x3
lxy2）为复平面上的解析函数，
试确定l，
m，n的值．（６分）
三、证明题．
１．设函数f（z）在区域D内解析，f（z）在区域D内也解析，证明f（z）必
为常数．（５分）
２．试证明azazb0的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常
数．（５分）
试卷一至十四参考答案
《复变函数》考试试题
（一）参考答案
二．填空题
1.
2i
n
1
2.
1；
3.
2k
，（k
z）；
4.zi；
5.
0
n
；
1
1
6.
整函数；
7.
；
8.
1
；
9.
0；
（n
1）!
10..
三．计算题.
1.
解因为0
z
1,
所以0
z
1
f（z）
1
1
1
z
zn
1
（z）n.
（z1）（z2）1z
2（1
）
n0
2n02
2
2.
解因为
z
2
1
Resf（z）
lim
lim
1,
z
2
z
cosz
z
sinz
2
2
7
z
2
1
Resf（z）
lim
lim
1.
z
z
2
cosz
z
sinz
2
2
所以
1
dz
2
i（Resf（z）
Resf（z）0.
z2cosz
z
z
2
2
3.解令
（）
3
2
7
1,
则它在z平面解析,由柯西公式有在z3
内,
（
）
f（z）dz2i（z）.
cz
所以f（1i）2i（z）z1i2i（136i）2（613i）.
4.解令zabi,则
w
z1
2
2（a1
bi）
1
2（a
1）
2b
2.
z1
1
1
2
2
2
2
2
z1
（a1）
b
（a1）b
（a1）b
z
1
2（a
1）
Im（
z1
2b
2.
故Re（
）1
2
b
2
）
（a1）
2
b
z1
（a1）
z1
四.
证明题.
1.证明设在D内f（z）C.
令f（z）
u
iv,
2
u2
v2
c2.
则f（z）
两边分别对x,y求偏导数,得
uux
vvx
0
（1）
uuy
vvy
0
（2）
因为函数在
D内解析,所以ux
vy,uy
vx.代入
（2）则上述方程组变
为
uux
vvx
0.消去ux得,（u2
v2）vx
0.
vux
uvx
0
1）
若u2
v2
0,则
f（z）
0
为常数.
2）
若vx
0,
由方程
（1）
（2）
及
C.
R.方程有ux
0,uy
0,
vy0
.
所以u
c1,v
c2.
（c1,c2为常数）.
所以f（z）
c1
ic2为常数.
2.证明f（z）
z（1z）的支点为z0,1.
于是割去线段0
Rez
1的
z平面内变点就不可能单绕
0或1转一周,故能分出两个单值解析
升级会员 