近五年上海高考分类汇编立体几何.docx
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近五年上海高考分类汇编立体几何
近五年上海高考汇编立体几何
、填空题
1.（2009年高考5）如图，若正四棱柱ABCD-ABQD!
的底面边长为2，高为4,则异面直线BDi与AD所成角
的大小是—.（结果用反三角函数值表示）
答案：
arctan5
2.（2009年高考理科8）已知三个球的半径Ri，R2，R3满足Ri2R23R3，则它们的表面积S，S2，S3满
足的等量关系是.
答案：
Si2S；3S3
3.（2009年高考文科6）若球Oi,O2的面积之比§4，则它们的半径之比旦.
S2R2
答案：
2
4.（2009年高考文科8）若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何
体体积是.
5.
（2010年高考理科12）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于点0，剪去VAOB，将剩余部分沿OC,OD折叠，使OA,OB重合，则以A（B）,C,D,O为顶点的四面体的体积是.
答案：
畔
6.（2010年高考文科6）已知四棱锥PABCD的底面是边长为6的正方体，侧棱PA底面ABCD，且PA8，
则该四棱锥的体积是.
答案：
96
7.（2011年高考理科7）若圆锥的侧面积为2，底面面积为，则该圆锥的体积为.
答案：
3
8.（2011年高考文科7）若一个圆锥的主视图是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的侧面积为
答案：
3
1
9.（2012年高考理科6）有一列正方体，棱长组成以1为首项、—为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,...,Vn,...,
2
则lim（V1V2...Vn）
n
答案：
8
7
10.（2012年高考理科8）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为
11.（2012年高考理科14）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC2，若AD2c,且
ABBDACCD2a，其中a,c为常数，则四面体
答案：
2ca2c21
3
答案：
6
两条直线y1和y1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分•记D绕y轴旋转一周而成的几何体为
答案：
2216
1.（2009年高考文科
为4,且垂直于底面,
三、解答题
两个不同的点，BC是母线，如图•若直线OA与BC所成角的大小为一，则-
r
答案：
.3
、选择题
过直角顶点的侧棱长
16）如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为该三棱锥的主视图是
uuurr
即BM=1,1,0是平面ACiC的一个法向量。
设平面AiBiC的一个法向量是n=x,y,z,
解得x0,y1on=0,1,1,
面角B1AC1G的大小为§.
2.（2010年高考理科21）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米
铁丝•骨架将圆柱底面8等分•再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）
（1）当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？
并求出该最大值（精确到0.01平方米）；
（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯•当灯笼底面半径为0.3米时，求图中两根直线型
霓虹灯A^B3,A3B5所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数值表示）
答案：
（1）设圆柱形灯笼的母线长为I，则I1.22r（0所以当r0.4时，S取得最大值约为1.51平方米;
ujuun
（0.3,0.3,0.6），A3B5（0.3,0.3,0.6），
uiuiruuuu
设向量AB3与A3B5的夹角为，则cos
所以A1B3、A3b5所在异面直线所成角的大小为眦迹|•
3.（2010年高考文科20）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米
铁丝•再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）
（1）当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？
并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；
（2）若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）•
答案：
（1）设圆柱形灯笼的母线长为I，则I1.22r（0所以当r0.4时，S取得最大值约为1.51平方米；
。
1为A1C1与B1D1的交点.
（2）当r0.3时，I0.6，作三视图略.
4.（2011年高考理科21）已知ABCDABGD1是底面边长为1的正四棱柱,
（1）设AB1与底面AB1C1D1所成角的大小为，二面角AB1D1A1的大小为
求证：
tan,2tan；
4
（2）若点C到平面AB1D1的距离为―，求正四棱柱ABCDA,B1C1D1的高
3
答案：
解：
设正四棱柱的高为h
⑴连AO1,AA1底面A1B1GD1于A,.•.AB1与底面A1B1GD1所成的角为AB1A，即AB1A1
AB1AD1,。
1为BiD1中点，二AO1B1D1，又AO1B1D1,
AO-iA）是二面角AB1D1A的平面角，即AO1A1
tan-AAlh,tan-AAL-2h2tan
ABAO1
uuur
（0,1,h）,AC（1,1,0），设平面ABiDi的一个法向量为n（x,y,z）,
r
uuir
ruur
n
AB1
n
AB1
0
r
r
ujuu
r
uuuu
，取z
1得n（h,h,1）
n
AD1
n
AD1
0
5.（2011年高考文科20）已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高A^2
（1）求异面直线BD与AB1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）求四面体AB1D1C的体积
答案：
⑴连BD,AB1,B,D1,AD1,•••BD〃BD1,AB1AD1,
异面直线BD与AB1所成角为AB1D1，记AB1D1
COS
222
ABBD1AD1
2AB]B,D1
10
10
异面直线BD与AB1所成角为arccos
-10
10
⑵连AC,CB1,CD1，则所求四面体的体积
VVabCDA1B1C1D14VcB1C1D1
（1）三角形pcd的面积
（2）异面直线BC与AE所成的角的大小•
答案：
（1）因为PA丄底面ABCD，所以PA丄CD，又AD丄CD，所以CD丄平面PAD,
2、3，CD=2，
从而cd丄pd.因为pd=22（22）2
所以三角形PCD的面积为2223
（2）［解法一］如图所示，建立空间直角坐标系,
由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是7
［解法二］取PB中点F，连接EF、AF,
则EF//BC,从而/AEF（或其补角）是异面直线BC与AE所成的角
在AEF中，由EF=.2、AF=2、AE=2，知AEF是等腰直角三角形,
所以/AEF=4•因此异面直线BC与AE所成的角的大小是4
7.（2012年高考文科19）如图，在三棱锥PABC中，PA丄底面ABC,D是PC的中点，已知/BAC=
2
AB2,AC2、.3,PA2，求：
（1）三棱锥PABC的体积
（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）
（2）取PB的中点E,连接DE、AE,
则ED//BC,所以/ADE（或其补角）是异面直线BC与AD所成的角.
因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是arccos弓.
8.（2013年高考理科19）如图，在长方体ABCDA'B'C'D'中，AB2,AD1,AA'1.证明直线BC'
平行于平面D'AC，并求直线BC'到平面D'AC的距离
rruuuirruuuir
设平面D'AC的法向量为n（u,v,w），则nD'A,nD'C.
uuuurUJULTrujuuruumr
因为D'A（1,0,1）,D'C（0,2,1）,nD'A0,nD'C0,
uw0
所以，解得u2v,w2v.取v1,
2vw0
uuuu
BC'
ruuuuruuuur
得平面DAC的一个法向量n（2,1,2）.因为BC'（1,0,1），所以nBC'0,所以n
uuu
又BC'不在平面D'AC内，所以直线BC'与平面D'AC平行.由CB（1,0,0）,
2110（20）2
.2212
（2）23
ruuunCB得点B到平面D'AC的距离dun
n
2
所以直线BC'到平面D'AC的距离为-
3
又因为OO'1，所以正三棱锥的斜高OD厶
故侧面积为16—I2、3•所以该三棱锥的表面积为
23
因此，所求三棱锥的体积为'3，表面积为3•
3
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