高考数学函数模型及其应用分类汇编试题解析.docx

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高考数学函数模型及其应用分类汇编试题解析

2013年高考数学函数模型及其应用分类汇编试题解析

课时作业（十二）[第12讲函数模型及其应用]

[时间：

45分钟分值：

100分]

基础热身

1．用18m的材料围成一块矩形场地，中间有两道隔墙．若使矩形面积最大，则能围成的最大面积是________________________________________________________________________．

2．某商品的单价为5000元，若一次性购买超过5件，但不超过10件，则每件优惠500元；若一次性购买超过10件，则每件优惠1000元．某单位购买x件（x∈N*，x≤15），设最低的购买费用是f（x）元，则f（x）的解析式是____________．

3．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价没变，于是这种货物的销售利润由原来的r%增加到（r＋10）%，那么r＝________.

图K12－1

4．有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图K12－1所示），则围成的矩形最大面积为________m2（围墙厚度不计）．

能力提升

5．某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1g,3年后剩下________．

6．已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200kg，配料的价格为1.8元/kg，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：

7天以内（含7天），无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/kg支付．当9天购买一次配料时该厂用于配料的保管费用P＝________.

7．下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为________．

图K12－2

（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；

（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；

（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．

8．某市出租车收费标准如下：

起步价为8元，起步里程为3km（不超过3km按起步价付费）；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.

9．直角梯形ABCD，如图K12－3

（1），动点P从B点出发，沿B→C→D→A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f（x）．如果函数y＝f（x）的图象如图K12－3

（2）所示，则△ABC的面积为________．

图K12－3

10．已知每生产100g饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示：

型号小包装大包装

重量100g300g

包装费0.5元0.7元

销售价格3.00元8.4元

则下列说法中正确的是________．

①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．

11．司机酒后驾驶危害他人的安全，一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/ml，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：

驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/ml，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时，才能开车．（精确到1小时）

12．[2012滨州模拟]鲁能泰山足球俱乐部为救助失学儿童准备在山东省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价有3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张．设x是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，该俱乐部的纯收入为函数y＝lg2x，则这三种门票的张数分别为________万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大．

13．（8分）[2012南京一调]某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P（亿元）和Q（亿元），它们与投资额t（亿元）的关系有经验公式P＝163t，Q＝18t.今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资x（亿元），投资这两个项目所获得的总利润为y（亿元）．求：

（1）y关于x的函数表达式；

（2）总利润的最大值．

14．（8分）[2012烟台调研]某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张，每批都购入x张（x是正整数），且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比，若每批购入4张，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．

（1）求该月需用去的运费和保管费的总费用f（x）；

（2）能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？

写出你的结论，并说明理由．

15．（12分）[2012泰州二模]某地区的农产品A第x天（1≤x≤20）的销售价格p＝50－|x－6|（元∕百斤），一农户在第x天（1≤x≤20）农产品A的销售量q＝40＋|x－8|（百斤）．

（1）求该农户在第7天销售农产品A的收入；

（2）问这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？

16．（12分）[2012南京三模]2014年青奥会水上运动项目将在J地举行，截至2010年底，投资集团B在J地共投资100百万元用于地产和水上运动项目的开发．经调研，从2011年初到2014年底的四年间，B集团预期可从三个方面获得利润：

一是房地产项目，四年获得的利润的值为该项目投资额（单位：

百万元）的20%；二是水上运动项目，四年获得的利润的值为该项目投资额（单位：

百万元）的算术平方根；三是旅游业，四年可获得利润10百万元．

（1）B集团的投资应如何分配，才能使这四年总的预期利润最大？

（2）假设2012年起，J地政府每年都要向B集团征收资源占用费，2012年征收2百万元后，以后每年征收的金额比上一年增加10%，若B集团投资成功的标准是：

从2011年初到2014年底，这四年总的预期利润中值（预期最大利润与最小利润的平均数）不低于投资额的18%，问B集团投资是否成功？

课时作业（十二）

【基础热身】

1.818m2[解析]设隔墙长为xm，则面积S＝x18－4x2＝－2x2＋9x＝－2x－942＋818.∴当x＝94时，能围成的面积最大，为818m2.

2．f（x）＝5000x，x∈{1，2，3，4，5}，4500x，x∈{6，7，8，9，10}，4000x，x∈{11，12，13，14，15}

[解析]这是一个典型的分段函数问题，由题意很容易得到结论．

3．15[解析]销售利润＝销售价－进价进价×100%.设销售价为y，进价为x，

则y－xx×100%＝r%，y－x1－8%x1－8%×100%＝r＋10%.解之得r＝15.

4．2500[解析]设矩形宽为xm，则矩形长为（200－4x）m，则矩形面积为S＝x（200－4x）＝－4（x－25）2＋2500（0＜x＜50），当x＝25时，S有最大值2500m2.

【能力提升】

5.1000.125g[解析]设放射性元素后一年比前一年减少了x，则100年后只剩原来质量的a（1－x）100，依题意得，

a（1－x）100＝12a,1－x＝1000.5，

∴（1－x）3＝1000.53＝1000.125.

6．88元[解析]当9天购买一次配料时，该厂用于配料的保管费用P＝70＋0.03×200×（1＋2）＝88（元）．

7．（4）

（1）

（2）[解析]离家不久发现自己作业本忘在家里，回到家里，这时离家的距离为0，故应先选图象（4）；回校途中有一段时间交通堵塞，则这段时间与家的距离必为一定值，故应选图象

（1）；最后加速，故应选图象

（2）．

8．9[解析]当恰好行驶8km时，需要付费1＋8＋2.15×5＝19.75，而现在付出费用为22.6元，所以用22.6－19.75＝2.85，故多行1km，实际行驶9km.

9．16[解析]由y＝f（x）的图象可知，当x由0→4时，f（x）由0变成最大，说明BC＝4.

由x从4→9时f（x）不变，说明此时P点在DC上，

即CD＝5.又AD＝14－9＝5，∴AG＝3，由此可求出AB＝3＋5＝8.

S△ABC＝12ABBC＝12×8×4＝16.

10．②④[解析]买小包装时每克费用为3100元，买大包装时每克费用为8.4300＝2.8100元，而31002.8100，所以买大包装实惠．卖3小包的利润为3×（3－1.8－0.5）＝2.1（元），卖1大包的利润是8.4－1.8×3－0.7＝2.3（元）．

而2.3＞2.1，故卖1大包盈利多．

11．5[解析]设x小时后，血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL，则有0.334x≤0.09，即34x≤0.3，估算或取对数计算得5小时后，可以开车．

12．0.6、1、0.8[解析]函数模型y＝lg2x已给定，因而只需要将条件信息提取出来，按实际情况代入，应用于函数即可解决问题．

设3元、5元、8元门票的张数分别为a、b、c，则

a＋b＋c＝2.4，①ab＝0.6，②x＝3a＋5b＋8c，③

①代入③有x＝19.2－（5a＋3b）≤19.2－215ab＝13.2（万元），当且仅当5a＝3b，ab＝0.6时等号成立，

解得a＝0.6，b＝1，所以c＝0.8.

由于y＝lg2x为增函数，即此时y也恰有最大值．

13．[解答]

（1）根据题意，得y＝163x＋18（5－x）,x∈[0,5]．

（2）令t＝3x，t∈[0，15]，则x＝t23，

y＝－t224＋16t＋58＝－124（t－2）2＋1924.

因为2∈[0，15]，

所以当3x＝2时，即x＝43时，y最大值＝1924.

故总利润的最大值是1924亿元．

14．[解答]

（1）设题中比例系数为k，若每批购入x张，

则共需分36x批，每批价值为20x元，

由题意y＝f（x）＝36x4＋k20x，

当x＝4时，y＝52得k＝1680＝15，

∴f（x）＝144x＋4x（0x36，x∈N*）．

（2）由

（1）知f（x）＝144x＋4x（0x36，x∈N*），

∴f（x）≥2144x4x＝48（元），

当且仅当144x＝4x，即x＝6时，上式等号成立．

故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用．

15．[解答]

（1）由已知第7天的销售价格p＝49，销售量q＝41.∴第7天的销售收入W7＝49×41＝2009（元）．

（2）设第x天的销售收入为Wx，

则Wx＝44＋x48－x，1≤x≤6，2009，x＝7，56－x32＋x，8≤x≤20.

当1≤x≤6时，Wx＝（44＋x）（48－x）≤44＋x＋48－x22＝2116，

当且仅当x＝2时取等号．

∴当x＝2时取最大值W2＝2116.

当8≤x≤20时，Wx＝（56－x）（32＋x）≤56－x＋32＋x22＝1936.（当且仅当x＝12时取等号）∴当x＝12时取最大值W12＝1936.

由于W2W7W12，∴第2天该农户的销售收入最大．

答：

（1）第7天的销售收入为2009元；

（2）第2天该农户的销售收入最大．

16．[解答]

（1）设B集团用于水上运动项目的投资为x百万元，四年的总利润为y百万元．

由题意，y＝0.2（100－x）＋x＋10

＝－0.2x＋x＋30，x∈[0,100]．

即y＝－0.2（x－2.5）2＋31.25，x∈[0,10]，

所以当x＝2.5，即x＝6.25时，ymax＝31.25.

答：

B集团在水上运动项目投资6.25百万元，所获得的利润最大，为31.25百万元．

（2）由

（1）知，在上交资源占用费前，ymax＝31.25，ymin＝20.

由题意，从2012年到2014年，B集团需上交J地政府资源占用费共为

2（1＋1.11＋1.12）＝6.62（百万元）．

所以，B集团这四年的预期利润为31.25＋202－6.62＝19.005.

由于19.005100＝19.005%18%，所以B集团投资能成功．

答：

B集团在J地投资能成功．