西安电子科技大学高等代数机算与应用作业题参考答案877.docx
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西安电子科技大学高等代数机算与应用作业题参考答案877
高等代数机算与应用作业题
学号：
姓名：
成绩：
一、机算题
1．利用函数rand和函数round构造一个5×5的随机正整数矩阵A和B。
>>a=round（rand（5））
a=
00111
11010
10101
01100
00101
>>b=round（rand（5））
b=
00000
01101
01110
11010
01110
（1）计算A＋B，A－B和6A
>>a+b
ans=
00111
12111
11211
12110
01211
>>a-b
ans=
00111
10-11-1
1-10-11
-101-10
0-10-11
>>6*a
ans=
00666
66060
60606
06600
00606
（2）计算
，
和
>>（a*b）'
ans=
11000
32222
21222
31212
01010
>>b'*a'
ans=
11000
32222
21222
31212
01010
>>（a*b）^100
ans=
1.0e+078*
1.47327.64956.17645.52252.1271
1.01175.25354.24183.79271.4608
0.92294.79213.86923.45961.3325
0.92294.79213.86923.45961.3325
0.92294.79213.86923.45961.3325
（3）计算行列式
，
和
>>det（a）
ans=
1
>>det（b）
ans=
0
>>det（a*b）
ans=
0
（4）若矩阵A和B可逆，计算
和
>>inv（a）
ans=
001.00000-1.0000
-1.00001.0000-1.00000.00002.0000
1.0000-1.00001.00001.0000-2.0000
1.00000.0000-0.0000-0.0000-1.0000
-1.00001.0000-1.0000-1.00003.0000
b不存在逆矩阵
（5）计算矩阵A和矩阵B的秩。
>>rank（a）
ans=
5
>>rank（b）
ans=
3
（6）生成一个6行5列秩为3的矩阵，并求其最简阶梯形。
>>a=[1,1,1,1,1;0,1,1,1,1;0,0,1,1,1;0,0,0,0,0;0,0,0,0,0;0,0,0,0,0]
a=
11111
01111
00111
00000
00000
00000
>>rref（a）
ans=
10000
01000
00111
00000
00000
00000
2．求解下列方程组
（1）求非齐次线性方程组
的唯一解。
>>a=[2,1,2,4;-14,17,-12,7;7,7,6,6;-2,-9,21,-7]
a=
2124
-1417-127
7766
-2-921-7
>>b=[5;8;5;10]
b=
5
8
5
10
>>inv（a）*b
ans=
-0.8341
-0.2525
0.7417
1.3593
（2）求非齐次线性方程组
的通解。
>>a=[5,9,7,2,8;4,22,8,25,23;1,8,1,8,8;2,6,6,9,7]
a=
59728
42282523
18188
26697
>>b=[4;9;1;7]
b=
4
9
1
7
>>c=[a,b]
c=
597284
422825239
181881
266977
>>d=rref（c）
d=
1.000000-4.1827-0.8558-1.6635
01.000001.32691.05770.1346
001.00001.56730.39421.5865
000000
对应齐次方程组的基础解系为
a1=4.1827a2=0.8558
-1.3269-1.0577
-1.5673-0.3942
1.00000
01.0000
非齐次线性方程组的特解为
b=-1.6635
0.1346
1.5865
0
0
∴原方程组的通解为x=k1a1+k2a2+b
3．已知向量组
，
，
，
，
，求出它的最大无关组，并用该最大无关组来线性表示其它向量。
>>a=[3,1,2,9,0;4,1,3,3,8;0,0,0,2,-2;8,2,6,1,21;3,2,1,2,10]
a=
31290
41338
0002-2
826121
321210
>>rref（a）
ans=
10102
01-103
0001-1
00000
00000
∴最大无关组为（a1,a2,a4）.
a3=a1-a2;a5=2a1+3a2-a3.
4．求向量空间
中向量
在基
下的坐标
>>a=[1,2,3;0,1,2;0,0,1]
a=
123
012
001
>>b=[3;2;5]
b=
3
2
5
>>inv（a）*b
ans=
4
-8
5
∴a的坐标为（4,-8,5）.
5．求下列矩阵的特征值和特征向量，并判断其正定性。
（1）
；
（2）
>>a=[1,2,3;2,5,6;3,6,25]
a=
123
256
3625
>>[v,d]=eig（a）
v=
0.93570.32790.1303
-0.35180.89610.2706
-0.0280-0.29900.9538
d=
0.158200
03.72970
0027.1121
∴a为正定矩阵.
>>b=[-20,3,1;3,-10,-6;1,-6,-22]
b=
-2031
3-10-6
1-6-22
>>[v,d]=eig（b）
v=
-0.38100.90590.1850
0.4005-0.01860.9161
0.83340.4231-0.3557
d=
-25.340400
0-19.59470
00-7.0649
∴b为负定矩阵.
6．用正交变换法将下列二次型化为标准形。
其中“
”为自己学号的后三位。
k1=0;k2=0;k3=1;
二次型的矩阵形式为
100
020.5
00.53
>>a=[1,0,0;0,2,0.5;0,0.5,3]
a=
1.000000
02.00000.5000
00.50003.0000
>>[v,d]=eig（a）
v=
1.000000
0-0.92390.3827
00.38270.9239
d=
1.000000
01.79290
003.2071
>>c=orth（v）
c=
1.000000
0-0.92390.3827
00.38270.9239
作正交变换x=cy,则得f的标准型:
f=y12+1.7929y22+3.2071y32
二、应用题
1．在钢板热传导的研究中，常常用节点温度来描述钢板温度的分布。
假设下图中钢板已经达到稳态温度分布，上下、左右四个边界的温度值如图所示，而
表示钢板内部四个节点的温度。
若忽略垂直于该截面方向的热交换，那么内部某节点的温度值可以近似地等于与它相邻四个节点温度的算术平均值，如
。
请计算该钢板的温度分布。
4T1-T2-T3=70
-T1+4T2-T4=50
-T1+4T3-T4=50
-T2-T3+4T4=30
>>A=[4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4]
A=
4-1-10
-140-1
-104-1
0-1-14
>>B=[70;50;50;30]
B=
70
50
50
30
>>inv（A）*B
ans=
30.0000
25.0000
25.0000
20.0000
∴1处温度为30℃,2处温度为25℃,3处温度为25℃，4处温度为20℃.
2下表给出了平面坐标系中六个点的坐标。
x
0
1
2
3
4
5
y
2
6
0
26
294
1302
请过这六个点作一个五次多项式函数
，并求当
时的函数值
。
>>a=polyfit（[0,1,2,3,4,5],[2,6,0,26,294,1302],5）
a=
1.0000-3.0000-0.00001.00005.00002.0000
>>y=polyval（a,6）
y=
3.9560e+003
3.李博士培养了一罐细菌，在这个罐子里存放着A、B、C三类不同种类的细菌，最开始A、B、C三种细菌分别有
、2×
、3×
个。
但这些细菌每天都要发生类型转化，转化情况如下：
A类细菌一天后有5％的变为B类细菌、15％的变为C细菌；B类细菌一天后有30％的变为A类细菌、10％的变为C类细菌；C类细菌一天后有30％的变为A类细菌、20％的变为B类细菌。
请利用MATLAB软件分析：
（1）一周后李博士的A、B、C类细菌各有多少个？
（2）两周后和三周后李博士的A、B、C类细菌各有多少个？
（3）分析在若干周后，李博士的各种细菌的个数几乎不发生变化的原因。
第0天
s0=abc
第一天
s1=0.85a+0.30b+0.30c0.60b+0.05a+0.20c0.50c+0.15a+0.10b
则其变换矩阵为c=
0.850.050.15
0.300.600.10
0.300.200.50
>>c=[0.85,0.05,0.15;0.30,0.60,0.10;0.30,0.20,0.50]
c=
0.85000.05000.1500
0.30000.60000.1000
0.30000.20000.5000
>>s0=[1,2,3]
s0=
123
>>s0*c^7
ans=
4.40481.23201.4726
>>s0*c^14
ans=
5.49281.48671.8309
>>s0*c^21
ans=
6.80981.84262.2699
单位:
108个
4.一个混凝土生产企业可以生产出三种不同型号的混凝土，它们的具体配方比例如表所示。
表11.3混凝土的配方
型号1混凝土
型号2混凝土
型号3混凝土
水
10
10
10
水泥
22
26
18
砂
32
31
29
石子
53
64
50
灰
0
5
8
（1）分析这三种混凝土是否可以用其中的两种来配出第三种？
（2）现在有甲、乙两个用户要求混凝土中含水、水泥、砂、石子及灰的比例分别为：
24，52，73，133，12和36，75，100，185，20。
那么，能否用这三种型号混凝土配出满足甲和乙要求的混凝土？
如果需要这两种混凝土各500吨，问三种混凝土各需要多少？
.
>>a=[10,22,32,53,0;10,26,31,64,5;10,18,29,50,8]
a=
102232530
102631645
101829508
>>rank（a）
ans=
3
∴不能用其中两种配出第三种.
>>a=a'
a=
101010
222618
323129
536450
058
>>b=[24;52;73;133;12]
b=
24
52
73
133
12
>>c=[a,b]
c=
10101024
22261852
32312973
536450133
05812
>>rank（a）
ans=
3
>>rank（c）
ans=
3
∴能满足甲的要求.
>>rref（c）
ans=
1.0000000.6000
01.000000.8000
001.00001.0000
0000
0000
∴0.6吨1号混凝土,0.8吨2号混凝土,1吨3号混凝土可配成2.4吨甲型混凝土.
∴需1号混凝土500/2.4*0.6=125吨,2号混凝土500/2.4*0.8=167吨,3号混凝土500/2.4*1=208吨.
>>b=[36;75;100;185;20]
b=
36
75
100
185
20
>>c=[a,b]
c=
10101036
22261875
323129100
536450185
05820
>>rank（a）
ans=
3
>>rank（c）
ans=
4
∴不能配成乙型混凝土.
5.在某网格图中，每个中间节点的值与其相邻的上、下、左、右四个节点的值有如下关系：
。
其中系数
，
，
，
，网格图的上下、左右四个节点的值如图所示。
如
，请计算该网格节点1，2，3，4的值。
令A=a;B=b;C=c;D=d;a=α;b=β;c=λ;d=μ
T1=α*A+β*T3+λ*B+μ*T2
T2=α*A+β*T4+λ*T1+μ*D
T3=α*T1+β*C+λ*B+μ*T4
T4=α*T2+β*C+λ*T3+μ*D
即
T1-β*T3-μ*T2=α*A+λ*B
T2-β*T4-λ*T1=α*A+μ*D
T3-α*T1-μ*T4=β*C+λ*B
T4-α*T2-λ*T3=β*C+μ*D
>>x=sym（'[1,-d,-b,0;-c,1,0,-b;-a,0,1,-d;0,-a,-c,1]'）
x=
[1,-d,-b,0]
[-c,1,0,-b]
[-a,0,1,-d]
[0,-a,-c,1]
>>y=sym（'[a*A+c*B;a*A+d*D;b*C+c*B;b*C+d*D]'）
y=
a*A+c*B
a*A+d*D
b*C+c*B
b*C+d*D
>>inv（x）*y
ans=
-（-1+d*c+a*b）/（1-2*d*c-2*a*b+d^2*c^2-2*c*a*b*d+a^2*b^2）*（a*A+c*B）+d*（1-d*c+a*b）/（1-2*d*c-2*a*b+d^2*c^2-2*c*a*b*d+a^2*b^2）*（a*A+d*D）-b*（-d*c-1+a*b）/（1-2*d*c-2*a*b+d^2*c^2-2*c*a*b*d+a^2*b^2）*（b*C+c*B）+2*b*d/（1-2*d*c-2*a*b+d^2*c^2-2*c*a*b*d+a^2*b^2）*（b*C+d*D）
c*（1-d*c+a*b）/（1-2*d*c-2*a*b+d^2*c^2-2*c*a*b*d+a^2*b^2）*（a*A+c*B）-（-1+d*c+a*b）/（1-2*d*c-2*a*b+d^2*c^2-2*c*a*b*d+a^2*b^2）*（a*A+d*D）+2*b*c/（1-2*d*c-2*a*b+d^2*c^2-2*c*a*b*d+a^2*b^2）*（b*C+c*B）-b*（-d*c-1+a*b）/（1-2*d*c-2*a*b+d^2*c^2-2*c*a*b*d+a^2*b^2）*（b*C+d*D）
-a*（-d*c-1+a*b）/（1-2*d*c-2*a*b+d^2*c^2-2*c*a*b*d+a^2*b^2）*（a*A+c*B）+2*d*a/（1-2*d*c-2*a*b+d^2*c^2-2*c*a*b*d+a^2*b^2）*（a*A+d*D）-（-1+d*c+a*b）/（1-2*d*c-2*a*b+d^2*c^2-2*c*a*b*d+a^2*b^2）*（b*C+c*B）+d*（1-d*c+a*b）/（1-2*d*c-2*a*b+d^2*c^2-2*c*a*b*d+a^2*b^2）*（b*C+d*D）
2*c*a/（1-2*d*c-2*a*b+d^2*c^2-2*c*a*b*d+a^2*b^2）*（a*A+c*B）-a*（-d*c-1+a*b）/（1-2*d*c-2*a*b+d^2*c^2-2*c*a*b*d+a^2*b^2）*（a*A+d*D）+c*（1-d*c+a*b）/（1-2*d*c-2*a*b+d^2*c^2-2*c*a*b*d+a^2*b^2）*（b*C+c*B）-（-1+d*c+a*b）/（1-2*d*c-2*a*b+d^2*c^2-2*c*a*b*d+a^2*b^2）*（b*C+d*D）
6.假如一个数据库包含以下10种图书：
B1：
高等代数，B2:
线性代数，B3：
工程线性代数，B4：
初等线性代数，B5：
线性代数及其应用，B6：
MATLAB在数值线性代数中应用，B7：
矩阵代数及其应用，B8：
矩阵理论，B9：
线性代数及MATLAB入门，B10：
基于MATLAB的线性代数及其应用。
而检索的6个关键词按拼音字母次序排列为：
“代数，工程，矩阵，MATLAB，数值，应用”。
读者1的检索策略为：
“代数，MATLAB”；读者2的检索策略是：
“代数，应用”。
请用矩阵运算来为这两位读者检索图书。
以关键词为行,图书类别为列,建立数据库矩阵:
1111111011
0010000000
0000001100
0000010011
0000010000
0000111001
读者1的检索矩阵:
100100
>>a=[1,1,1,1,1,1,1,0,1,1;0,0,1,0,0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0,1,1,0,0;0,0,0,0,0,1,0,0,1,1;0,0,0,0,0,1,0,0,0,0;0,0,0,0,1,1,1,0,0,1]
a=
1111111011
0010000000
0000001100
0000010011
0000010000
0000111001
>>b=[1,0,0,1,0,0]
b=
100100
>>b*a
ans=
1111121022
∴找到图书B6,B9,B10.
读者2的检索矩阵:
100001
b=
100001
>>b*a
ans=
1111222012
∴找到图书B5,B6,B7,B10.
7．某城市有如图所示的9节点交通图，每一条道路都是单行道，图中数字表示某一个时段该路段的车流量。
若针对每一个十字路口，进入和离开的车辆数相等。
请计算每两个相邻十字路口间路段上的交通流量
。
若已知AB段和FO段在修路，即：
，
，又已知
，
。
求此时各个路段的交流流量。
单行道9节点交通流图
x1+x8=200
x1-x2+x10=300
x2-x3=166
-x7+x8+x9=350
-x9-x10+x11+x12=0
x3-x4-x12=-500
x6+x7=150
x5-x6-x11=-400
x4-x5=134
x8=0
x12=0
x10=300
x11=660
>>a1=[100000010000200]
a1=
100000010000200
>>a2=[1-10000000100300]
a2=
1-10000000100300
>>a3=[01-1000000000166]
a3=
01-1000000000166
>>a4=[000000-111000350]
a4=
000000-111000350
>>a5=[00000000-1-1110]
a5=
00000000-1-1110
>>a6=[001-10000000-1-500]
a6=
001-10000000-1-500
>>a7=[000001100000150]
a7=
000001100000150
>>a8=[00001-10000-10-400]
a8=
00001-10000-10-400
>>a9=[0001-10000000134]
a9=
0001-10000000134
>>a10=[0000000100000]
a10=
0000000100000
>>a11=[0000000000010]
a11=
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