人教版九年级上册数学二次函数专题讲义.docx

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人教版九年级上册数学二次函数专题讲义

第二十二章二次函数

1．二次函数

预习归纳

1．形如y＝ax2＋bx＋c（a、b、c均为常数，a≠o）的函数，叫做____函数，其中a是，b是_______，c是_________．

例题讲解

【例】下列函数是二次函数的是（）

A．y＝2x＋1B．y＝－2x＋1C．y＝x2＋2D．y＝

x－2

基础训练

1．二次函数y＝－x2－2x＋1的二次项系数是____，一次项系数是_______，常数项是_____．

2．二次函数y＝2（x＋2）2－3的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_______．

3．二次函数y＝－x2＋x＋1当x＝－1时，y＝_______，当y＝1时，x＝_________．

4．已知函数y＝（m－3）x2－x＋5是二次函数，则常数m的取值范围是______．

5．下列各式：

①y＝x＋2；②y＝2x2；③y＝

；④y＝

；⑤y＝（x－1）（x＋2）；⑥y＝2（x－1）2＋2；

⑦y＝（2x＋1）（x－2）－2x2；其中y是x的二次函数的有_________（只填序号）

6．若

是关于x二次函数，则常数m的值为（）

A．1B．2C．－2D．1或－2

7．等边三角形的边长为x，面积为y，用x表示y的关系式为y＝_______.

8．已知函数

是关于x的二次函数，求m的值．

9．已知长方形的窗户的周长为6米，写出窗户面积y（m2）与窗户宽x（m）之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围．

中档题训练

10．（2014·安徽）某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y＝_______.　　　

11．如图，一块草地是长80m，宽60m的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x（m）的小路，这时草坪面积为y（m2），求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

12．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，其他三边用总长为60m栅栏围住（如图），若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为y平方米．

（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

⑵是否存在绿化带BC的长的某个值，使得绿化带的面积为450平方米？

若存在，请求出这个值；若不存在，请说明理由．

综合题训练

13．如图．点P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上的一个动点（P不与A，C重合）且PE＝PB．

⑴求证PE⊥PD．

⑵设AP＝x，四边形PECD的面积为y，求出y与x的关系式，并写出自变量的取值范围．

2．二次函数y＝ax2的图象和性质

预习归纳

y＝ax2

开口

对称轴

顶点坐标

a＞0

a﹤0

例题讲解

【例】已知抛物线y＝ax2经过点A（－2，－8）.

⑴判断点B（－1，－4）是否在此抛物线上？

⑵求点P（m，－6）在此抛物线上，求点P的坐标．

基础题训练

1．二次函数y＝x2的图象的开口方向是（）．

A．向上B．向下C．向左D．向右

2．二次函数y＝

x2的图象的顶点坐标是（）．

A．（1，0）B．（0，0）C．（－1，0）D．（0，

）

3．抛物线y＝－x2不具有的性质是（）．

A．开口向下B．对称轴是y轴C．与y轴正半轴不相交D．最高点是原点

4．二次函数y＝2x2的图象一定过点（）．

A．（1，－2）B．（－1，－2）C．（－1，2）D．（1．0）

5．若二次函数y＝ax2的图象过点（－2，4），则该图像必经过点（）．

A．（2，4）B．（－2，－4）C．（－4，2）D．（4，－2）

6．抛物线y＝－

x2的开口向_____，顶点坐标是_____，对称轴是_____．顶点是该抛物的最_____点，当x＝_____时，函数有最_____值，这个值为_____．

7．若抛物线y＝（m－2）x

的开口向下，则m＝______，对称轴是____．

8．函数

是关于x的二次函数，当a＝____时，其图象开口向上；当a＝____时，其图象开口向下．

9．在同一坐标系中，画出函数y＝－

x2和y＝2x2的图象．

10．如图，点P是抛物线y＝x2上位于第一象限内一点，点A（3，0）．设点P的坐标为（x，y）．

⑴求△AOP的面积S与y的关系式；并说明S是y的什么函数?

⑵写出S与x的关系式；并说明S是x的什么函数？

中档题训练

11．给出下列四个函数①y＝－x；②y＝x；③y＝

；④y＝x2，当x＜0时，y随x增大而减小的函数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

12．（2014．毕节）在抛物线y＝

x2，y＝2x2，y＝－2x2共有的性质是（）

A．开口向下B．对称轴是y轴C．都有最低点D．y随x的增大而减小

13．画出函数y＝－x2（－3≤x﹤2）的图象，并写出函数的最大值和最小值．

综合题训练

14．（2014贺州）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，

）；点F（0，1）在y轴上．直线y＝﹣1与y轴交于点H．

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P是

（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y＝﹣1交于点M，求证：

FM平分∠OFP；（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标

3．二次函数y＝ax2＋k

预习归纳

抛物线y＝－

x2＋3的开口向_______，对称轴是_______，顶点坐标是_________．

例题讲解

【例】对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法错误的是（　　　）．

A．最小值为2　　　　　　　　　　B．图象与y轴没有公共点

C．当x＜0时，y随x的增大而减小D．其图象的对称轴是y轴

基础题训练

1．将抛物线y＝－2x2向上平移1个单位得到的抛物线为_______．

2．将抛物线y＝x2＋1向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为________．

3．抛物线y＝x2－1的顶点坐标是（）．

A．（0，1）B．（0，－1）C．（1，0）D．（－1，0）

4．下列各点，在抛物线y＝x2－4上的是（）．

A．（4，4）B．（1，－4）C．（2，0）D．（0，4）

5．二次函数y＝－2x2＋3的图象大致是（）

6．对于二次函数y＝x2＋2，当x＝___时，二次函数的最小值为____．

7．抛物线y＝ax2＋c与x轴交于A（－2，0）、B两点，与y轴于点C（0，－4），求S△ABC的值．

8．在同一坐标系中，画出函数y＝－x2和y＝－x2＋1的图象，根据图像回答：

⑴抛物线y＝－x2＋1经过怎样的平移得到抛物线y＝－x2

⑵对于函数y＝－x2＋1：

①当x为何值时，y随x的增大而减小？

②当x为何值时，y随x的增大而增大？

③当x为何值时，函数y有最大值？

最大值是多少？

④求图象与x轴、y轴的交点坐标，

中档训练题

9．当a﹤0时，函数

的图象经过第象限．

10．若函数

的函数值为5，则自变量x的值为（）

A．1B．－1C．±1D．

11．已知抛物线

，当1≤x≤5时，y的最大值是（）

A．2B．

C．

D．

12．（2014．宜昌）二次函数

（b﹥0）与反比例函数

在同一坐标系中的图象可能是（）

13．如图，抛物线

与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，若∠ACB＝90°，求抛物线的解析式．

综合训练题

14．如图，抛物线

与x轴交于A，B两点（A左B右），与y轴交于点C，AB＝4．

（1）求抛物线的解析式．

（2）CD⊥AC，CD＝AC，AD交抛物线于点P， 求点P坐标

4．二次函数y＝a（x－h）2的图象

复习归纳

抛物线y＝－3（x＋1）2的开口方向_____，对称轴是_______，顶点坐标是_______．

例题讲解

【例】确定列函数图象的开口方向及对称轴、顶点坐标．

⑴y＝2（x＋1）2⑵y＝－4（x－5）2

基础题训练

1．对称轴是直线x＝－3的抛物线是（）．

A．y＝－x2－3B．y＝x2－3C．y＝－3（x－3）2　　D．y＝－3（x＋3）2

2．下列抛物线中，顶点坐标是（－3，0）的抛物线是（）．

A．y＝－3x2－3B．y＝－3x2＋3C．y＝－3（x－3）2D．y＝－3（x＋3）2

3．抛物线y＝－

（x－5）2不经过的象限是（）．

　A．一、二B．一、四C．二、三D．三、四

4．关于抛物线①y＝

x2；②y＝－

x2＋1；③y＝

（x－2）2，下列结论正确的是（）．

　A．顶点相同B．对称轴相同C．形状相同D．都有最高点

5．将抛物线y＝x2向左平移2个单位得到新的抛物线的解析式是（）．

A．y＝x2＋2B．y＝x2－2C．y＝（x＋2）2D．y＝（x－2）2

6．（2014．海南）将抛物线y＝x2可平移得到y＝（x＋2）2，则这个平移过程正确的是（）

A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位

C．向上平移2个单位D．向下平移2个单位

7．已知二次函数的图象开口向下，对称轴是x＝1，请写出一个符合条件的二次函数的解析式：

_______________．

8．已知抛物线y＝a（x－1）2经过点（3，8），求抛物线的函数关系式．

9．已知抛物线y＝a（x－1）2的对称轴是直线x＝－1，与y轴交于点（0，2），求a和h的值．

10．抛物线

向右平移3个单位后经过点（－1，4），求平移后的抛物线的解析式．

中档题训练

11．抛物线y＝（x－1）2与y轴的交点坐标为（）．

A．（1，0）B．（－1，0）C．（0，－1）D．（0，1）

12．二次函数y＝2（x－3）2，当x时，y随x的增大而减小；，当x时，y随x的增大而增大．

13．（2014．苏州）二次函数y＝ax2＋bx－1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1－a－b的值为____________．

14．若抛物线

的顶点在x轴上，则b的值为．

15．如图，抛物线y＝a（x＋1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝OA．

⑴求抛物线的解析式；

⑵若点C（－3，b）在该抛物线上，求S△ABC的值．

综合题训练

16．若抛物线y＝x2＋bxn＋c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m＋6，n），求n的值

5．二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质

复习归纳

1．抛物线y＝a（x－h）2＋k有如下特点：

当a＞0时，开口，当a＜0时，开口向对称轴是，顶点是

例题讲解

【例】抛物线y＝－

（x＋2）2－6的开口方向______，顶点坐标______，时称轴是______，当x＜－2时，y随x的增大而增大；当x＝______时，y有最_____值，这个值是_______．

基础题训练

1．二次函数y＝（x－2）2＋1的顶点坐标是（）．

A．（－1，－2）B．（－1，2）C．（1，－2）D．（1，2）

2．（2014．兰州）二次函数y＝（x－1）2－3的对称轴是（）．

A．y轴B．直线x＝－1C．直线x＝1D．直线x＝－3

3．二次函数y＝

（x－3）2＋4的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）．

A．向上，直线x＝3，（3，4）B．向上，直线x＝－3，（－3，4）

C．向上，直线x＝3，（3，－4）D．向下，直线x＝3，（3，4）

4．（2014．新疆）对于二次函数y＝（x－1）2＋2的图象，下列说法正确的是（）．

A．开口向下；B．对称轴为x＝－1；C．顶点的坐标为（1，2）D．与x轴有两个交点．

5．将二次函数y＝－2（x－1）2－2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点坐标为（　　）．

A．（0，0）B．（1，－2）C．（0，－1）D．（－2，1）

6．（2014兰州）将抛物线y＝－2x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则平移后的的解析式为（）

A．y＝－2（x＋1）2＋2B．y＝－2（x＋1）2－2C．y＝－2（x－1）2＋2　D．y＝－2（x－1）2－2

7．确定下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．

①y＝

（x－2）2－1②y＝－3（x＋3）2＋2

8．将抛物线y＝2x2经过适当的平移，得到抛物线y＝2（x－5）2＋3，那么该怎样平移？

9．把抛物线y＝－2（x－1）2向上平移k个单位后得到的抛物线经过点（－2，－10），求平移后的抛物线的解析式．

中档题训练

10．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到二次函数y＝（x－1）2＋2，求b、c的值．

11．已知点A（

，yl）、B（2，y2）、C（

，y3）是抛物线y＝2（x－1）2＋k上的三个点．则y1、y2、y3的大小关系是

12．已知二次函数y＝（x＋m）2＋k的顶点为（1，－4）

⑴求二次函数的解析式及图像与x轴交于A、B两点的坐标．

⑵将二次函数的图像沿x轴翻折，得到一个新的抛物线，求新抛物线的解析式．

综合训练题

13．如图，二次函数图象顶点是P（1，－1），与x轴交于点A、和点B（3，0）．

⑴求这个二次函数的解析式；

⑵点Q为第一象限的抛物线上一点，且AQ⊥PA，

2S△PAQ的值．

②PQ交x轴于M，求

的值．

6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质

【预习归纳】

1．抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是________，顶点坐标是（－

）

【例题讲解】

【例】求下列函数图像的开口方向及对称轴、顶点坐标

（1）y＝x2－4x－3

（2）y＝－3x2－4x＋2

【基础题训练】

1．若将二次函数y＝x2－2x－3配方为y＝a（x－h）2＋k的形式，则_________．

2．抛物线y＝x2＋2x－1的对称轴是_________．

3．抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标是_________．

4．若抛物线y＝2x2＋bx＋c的对称轴是x＝－1，则b＝________．

5．二次函数y＝x2－4x＋6的最小值为_________．

6．已知二次函数y＝x2－4x＋m的最小值是－2，那么m的值是_________．

7．不在抛物线y＝x2－2x－3上的一个点是（）．

A．（－1，0）B．（3，0）C．（0，－3）D．（1，4）

8．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的大致图像如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）

A．函数有最小值B．对称轴是直线x＝

C．当x＜

y随x的增大而减小D．当－1＜x＜2时，y＞0

9．二次函数y＝x2－2x－2，当x______时，y有_____值，这个值为______；当x_____时y随x的增大而增大；当x_____时，y随x的增大而减小．

10．（2013．牡丹江）已知二次函数y＝x2＋bx＋c经过点A（1，0），C（0，－3），求抛物线的解析式．

11．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过（0，－2），（1，－2），（2，0），求此二次函数的解析式．

【中档题训练】

12．（2014．南京）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：

x

…

－1

0

1

2

3

…

y

…

10

5

2

1

2

…

则当y＜5时，x的取值范围是__________

13．二次函数y＝x2－3x＋m的顶点在x轴上，则m的值是______．

14．抛物线y＝－x2＋（m－1）x＋m与y轴交于（0，3）点．

⑴求出m的值并画出这条抛物线；

⑵求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；

⑶x取什么值时，y＞0？

⑷x取什么值时，y的值随x的增大而减小？

15．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，抛物线的对称轴是直线x＝－1，AB＝4，S△ABC＝6，

（1）求A、B的坐标；

（2）求该抛物线的解析式．

综合题训练

16．如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A（－1，0）、B两点，与y轴交于点C，S△ABC＝6．

⑴求抛物线的解析式；

⑵以点B为直角顶点，BC为直角边作直角△BCD，CD交抛物线于第四象限的点P，若PC＝PD，求P点坐标．

7．用待定系数法求二次函数解析式

【预习归纳】

1．由已知条件列出a、b、c的_______，求出______的值，就可以写出二次函数的解析式．

【例题讲解】

【例】已知二次函数的图像经过（1，1），（－1，4），（0，3）三点，求这个二次函数的解析式．

【基础题训练】

1．已知二次函数y＝x2＋x＋m的图象过点（1，－2），则m的值为_____．

2．已知点A（2，5），B（4，5）是抛物线y＝x2＋bx＋c上的两点，则b＝____，c＝____．

3．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是（－1，－3），则b、c的值分别是（）

A．2，4B．2，－4C．－2，4D．－2，－4

4．（2014·丽水）在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2＋4x－3的图像向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图像的顶点坐标是（）

A．（－3，－6）B．（1，－4）C．（1，－6）D．（－3，－4）

5．抛物线的形状、开口方向都与抛物线y＝－

x2相同，顶点为（1，－2），则抛物线的解析式为（）

A．y＝

（x＋1）2－2B．y＝－

（x－1）2－2C．y＝

（x－1）2－2D．y＝－

（x＋1）2－2

6．抛物线与x轴交于点（－3，0）和（1，0），且与y轴交于点（0，3），则该抛物线的解析式为（）

A．y＝x2－2x＋3B．y＝x2＋2x＋3

C．y＝－x2＋2x＋3D．y＝－x2－2x＋3

7．抛物线的顶点为（3，3），且点（2，－2）在抛物线上，求抛物线的解析式．

8．抛物线经过（1，0），（－1，0），（2，6），求抛物线的解析式．

【中档题训练】

9．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表：

x

－7

－6

－5

－4

－3

－2

…

y

27

－13

－3

3

5

3

…

则当x＝1时，y的值为（）

A．5B．－3C．－13D．－27

10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，求这个二次函数的解析式．

11．（2013·宁夏）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3），它的对称轴是直线x＝

求抛物线的解析式．

【综合题训练】

12．（2014·陕西）已知抛物线C：

y＝﹣x2＋bx＋c经过A（﹣3，0）和B（0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．

（1）求抛物线C的表达式；

（2）求点M的坐标；

（3）将抛物线C平移到C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？

为什么

专题用待定系数法求二次函数的解析式

【方法归纳】将已知点坐标代入抛物线解析式，列方程组．

一、已知一个待定系数

1．在平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2＋（m－3）x－3（m＞0）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，∠ABC＝45°，求抛物线的解析式

二、已知两个待定系数

2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A（－3，0），B（－1，0），求抛物线的解析式．

3．已知二次函数y＝ax2－2ax＋b与x轴交于A（3，0），与y轴交于C（0，－

），求二次函数的解析式．

4．已知二次函数y＝x2＋bx＋c过点A（1，0），C（0，－3），求此二次函数的解析式．

5．如图，抛物线y＝－

x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点，且OA＝2，OC＝3，求抛物线的解析式

三、已知三个待定系数

6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像过（1，－1），（2，1），（－1，1）三点，求二次函数的解析式．

专题运用顶点坐标与对称轴求二次函数解析式

【方法归纳】运用对称轴，结合顶点式求解析式

一、已知对称轴或顶点坐标

1．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3），它的对称轴是直线x＝

求抛物线的解析式．

2．已知抛物线y＝a（x＋2）2－1交x轴于A、B两点（A点在B点的左边）且AB＝2，求抛物线的解析式．

3．在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，－5），求此抛物线的解析式．

4．经过原点的抛物线的解析式可以是y＝ax2＋bx（a≠0）．

（1）对于这样的抛物线，当顶点坐标为（1，1）时，a＝________;

（2）当顶点坐标为（m,n）,m≠0时，a与m之间的关系式是________．

二、隐藏对称轴或顶点坐标

5．已知二次函数的图像与x轴交于A（－2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值为2，求二次函数的解析式

6．二次函数y＝ax2＋4ax＋c的最大值为4，且图像过点（－3，0），求二次函数的解析式．

专题运用几何知识求二次函数的解析式

【方法归纳】综合等腰、全等、勾股定理求坐标，进一步求解析式

一、运用面积条件

1．已知二次函数y＝ax2－4ax＋b的图象经过点A（1，0），B（x2，2），与y轴正半轴交于C点，且S△ABC＝2，求二次函数的解析式．

2．已知抛物线y＝nx2＋4nx＋m与x轴交于A（－1，0），B（x2，2）两点，与y轴正半轴交于C，抛物线的顶点为D，S△ABD＝1，求抛物线的解析式．

二、运用平行条件

3．如图，直线y＝―x―1与抛物线y＝ax2＋4ax＋b交于x轴上A点和另一点D，抛物线交y轴于C点，且CD∥x轴，求抛物线的解析式．

解:

A（－1,0）,C（0,b）,对称轴为直线x＝－2,D（－4,b）,b＝3,a＝1,

三、运用等腰三角形条件

4．如图，抛物线y＝ax2－5ax＋4经过△ABC的三个顶点，点A、C分别在x轴、y轴上，且BC∥x轴，AC＝BC，求抛物线的解析式

解:

A（－3,0）,C（0,4）,B（5,4）a＝－1/6

5．抛物线y＝－x2＋bx（b＞0）与x轴两个交点及顶点围成的三角形是等腰直角三角形，求b的值．

专题运用平移、