菜篮子工程数学建模整理.docx
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菜篮子工程数学建模整理
周口师范学院
第三届数学建模竞赛
参赛题号（从A/B中选择一项填写）：
A
所属学院（请填写完整的全名）：
数学与统计学院
参赛队员（打印并签名）：
1.张一
2.张二
3.张三
日期：
2015年5月30日
周口师范学院第三届数学建模竞赛
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菜篮子工程中的蔬菜种植问题
摘要：
为缓解我国副食品供不应求的矛盾，农业部于1988年提出建设“菜篮子工程”。
一期工程建立了中央和地方的肉、蛋、奶、水产和蔬菜生产基地及良种繁育、饲料加工等服务体系，以保证居民一年四季都有新鲜的副食品供应。
蔬菜作为“菜篮子工程”中的主要产品，备受各级政府的重视。
到1995年，我国蔬菜种植的人均占有量已达到世界人均水平。
对于一些中小城市，蔬菜种植采取以郊区和农区种植为主，结合政府补贴的方式来保障城区蔬菜的供应。
这样不仅提高了城区蔬菜供应的数量和质量，还带动了郊区和农区菜农种植蔬菜的积极性。
由于郊区和农区种植点的分散，以及市场需求中心的不集中，高成本的运费和市场迫切的需求成为了“菜篮子工程”中的两大头疼难题。
要解决的问题的突破口是如何获得最优经济方案并且满足市场对蔬菜的基本需求，要获得最优的经济方案可以从运输路费的政府补贴和蔬菜分配两方面进行合理的分配，通过一定的假设，采用线性回归的方法，对现有数据进行处理，从而获得最优的运输和蔬菜分配方案。
另外，通过考虑市场供需关系的平衡，对模型进行优缺点的分析，使所得到的模型方案更具有使用价值。
关键词：
菜篮子工程线性规划模型最优分配
一、问题的重述
JG市的人口近90万，该市在郊区和农区建立了8个蔬菜种植基地，承担全市居民的蔬菜供应任务，每天将蔬菜运送到市区的35个蔬菜销售点。
市区有15个主要交通路口，在蔬菜运送的过程中从蔬菜种植基地可以途径这些交通路口再到达蔬菜销售点。
如果蔬菜销售点的需求量不能满足，则市政府要给予一定的短缺补偿。
同时市政府还按照蔬菜种植基地供应蔬菜的数量以及路程，发放相应的运费补贴，以此提高蔬菜种植的积极性，运费补贴标准为0.04元/（1吨.1公里）。
附件1蔬菜种植基地日供应量（吨/天）
种植基地
1
2
3
4
5
6
7
8
供应量
40
45
30
38
29
35
25
28
附件2蔬菜销售点日需求量（吨/天）及短缺补偿（元/吨.天）
销售点
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
需求量
6.5
10.2
12
14.3
13
11
14
9.5
10
8.4
10.5
7
短缺补偿
710
700
580
600
570
480
500
610
440
705
610
630
销售点
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
需求量
8.5
12
11.6
12.5
13.6
9
7.3
10
12.7
7.4
6.7
12.5
短缺补偿
590
490
570
460
530
640
665
650
580
680
685
560
销售点
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
需求量
9.6
15
7.2
8.9
10.3
9
7.7
8
11.4
12.1
10.7
短缺补偿
660
430
540
620
630
680
695
690
560
520
500
存在直达道路的位置
距离（km）
（基地1，销售点4）
14
（基地1，销售点14）
16
（基地1，路口3）
10
（基地2，销售点14）
15
（基地2，销售点15）
5
（基地2，路口11）
9
（基地2，路口13）
7
（基地3，销售点27）
11
（基地3，销售点28）
12
（基地3，路口11）
19
（基地4，销售点29）
25
（基地4，销售点35）
10
（基地4，路口12）
15
（基地5，销售点33）
3
（基地5，销售点34）
14
（基地5，路口6）
26
（基地6，销售点9）
6
（基地6，销售点10）
25
（基地6，销售点19）
16
（基地6，销售点20）
8
（基地7，销售点1）
7
（基地7，路口8）
15
（基地7，路口9）
8
（基地8，销售点3）
15
（基地8，销售点4）
30
（基地8，路口9）
17
（基地8，路口10）
20
（销售点1，销售点2）
15
（销售点1，销售点7）
11
（销售点2，销售点6）
13
（销售点2，路口9）
6
（销售点2，路口14）
5
（销售点3，路口9）
6
（销售点3，路口10）
4
（销售点3，路口14）
4
（销售点4，路口3）
3
（销售点4，路口10）
9
（销售点5，销售点12）
13
（销售点5，销售点13）
8
（销售点5，路口2）
4
（销售点5，路口3）
7
（销售点5，路口10）
10
（销售点5，路口13）
15
（销售点6，销售点7）
8
（销售点6，销售点11）
13
（销售点6，路口14）
3
（销售点6，路口15）
14
（销售点7，路口7）
5
（销售点7，路口8）
12
（销售点8，销售点9）
20
（销售点8，路口7）
3
（销售点8，路口8）
10
（销售点9，路口7）
4
（销售点10，路口7）
7
（销售点10，路口15）
3
（销售点11，销售点12）
7
（销售点11，销售点18）
5
（销售点11，路口2）
17
（销售点12，销售点13）
11
（销售点12，销售点17）
16
（销售点12，路口1）
5
（销售点13，销售点15）
15
（销售点13，路口1）
8
（销售点13，路口4）
11
（销售点13，路口13）
6
（销售点14，路口3）
2
（销售点14，路口13）
2
（销售点15，路口4）
2
（销售点15，路口11）
4
（销售点15，路口13）
2
（销售点16，销售点17）
3
（销售点16，销售点25）
4
（销售点16，销售点26）
7
（销售点16，路口1）
9
（销售点16，路口4）
3
（销售点17，销售点18）
11
（销售点17，销售点23）
5
（销售点17，销售点24）
18
（销售点17，路口1）
10
（销售点18，销售点22）
10
（销售点18，销售点23）
9
（销售点18，路口15）
2
（销售点19，销售点20）
10
（销售点19，销售点21）
8
（销售点19，销售点22）
7
（销售点19，路口15）
5
（销售点20，销售点21）
6
（销售点20，路口6）
4
（销售点21，销售点22）
4
（销售点21，销售点32）
7
（销售点21，路口6）
6
（销售点22，销售点23）
4
（销售点22，销售点31）
6
（销售点23，销售点24）
13
（销售点23，销售点31）
8
（销售点24，销售点25）
6
（销售点24，销售点29）
7
（销售点24，销售点30）
9
（销售点24，路口12）
11
（销售点25，销售点26）
4
（销售点25，销售点28）
3
（销售点26，销售点27）
3
（销售点26，路口4）
4
（销售点26，路口11）
5
（销售点27，销售点28）
6
（销售点27，路口11）
6
（销售点28，销售点29）
5
（销售点29，路口12）
5
（销售点30，销售点31）
7
（销售点30，销售点35）
8
（销售点30，路口12）
6
（销售点31，销售点34）
5
（销售点32，销售点33）
6
（销售点32，路口6）
5
（销售点33，销售点34）
9
（销售点34，销售点35）
9
（销售点34，路口5）
2
（路口2，路口14）
10
二、问题的分析
会议筹备组要制定预订宾馆客房，租借会议室，租用客车的方案，需综合考虑经济、方便、代表满意等方面，即使租借客房的空房费用最少、租借会议室总费用最少和租用客车总费用最少，且各预定宾馆之间距离比较靠近；由附图知，③④⑩三个宾馆相对较分散，可不予考虑。
对客房预订方案问题，其优化目标为使空房费用最少，由于空房费与预定的客房数量有关，可将客房预订方案转化为以预订客房总数量最少为目标函数，以各宾馆的客房数量及价格与参加会议的代表数量为约束条件的线性规划模型，用LINGO软件计算出每个宾馆各种客房的预定间数及所需宾馆数量；其中参加会议的与会代表是一个未知的量，因为从以往几届会议情况看，有一些发来回执的代表不来开会，同时也有一些与会的代表事先不提交回执，所以可以根据前几届的会议代表回执和与会情况和本届回执中有关住房要求的数据进行预测，表1只给出了前四届相关数据，可用灰色理论的GM（1，1）模型进行预测，该方法在数据量较少的情况下预测结果较为准确。
通过估算预测值中合住与独住人数，从而确定出单人间客房和双人间客房的预定数量。
对会议室的租用问题，以租借总费用最少为目标函数，以总的可用会议室间数，可用会议室的租用价格，参加每个会议的人数为约束条件，建立线性规划模型。
对客车租用问题，可由宾馆的入住人数和会议室地点的数据，使用线性规划模型求出租用客车费用最少情况下的客车租用方案。
逐步优化模型，在参会代表满意的情况下，使筹备组所支付的总费用最小，最终制定出预订宾馆客房、租借会议室与租用客车的最优方案。
三、模型假设
1.与会代表都在同一天登记住房；
2.预测的与会代表中代表的住房比例与回执数据中人员的住房比例一致；
3.租借的会议室在与会代表下榻的某几个宾馆中选取；
4.与会代表距离其会议地点小于400M时不需要租用客车；
5.预订宾馆时间按整天计算，租借会议室与租用汽车时间按半天计算；
6.所有需要用客车接送的与会代表都在第⑧家宾馆门口下车，且中途不停车。
四、符号说明
1.：
各届会议发来回执的代表数量；
2.：
各届会议发来回执但未与会的代表数量；
3.：
各届会议未发回执而与会的代表数量；
4.：
七个宾馆中每种房间的预定间数；
5.：
每个宾馆中租用会议室的间数；
6.：
预订宾馆中的双人间中合住的房间数；
7.：
预订宾馆中的双人间中独住的房间数；
8.：
①，②，⑤，⑥四家宾馆中预定每一种车的辆数。
五、模型的建立与求解
5.1测本届与会代表数量
以往几届会议代表回执和与会情况见表1.
表1：
以往几届会议代表回执和与会情况
第一届
第二届
第三届
第四届
发来回执的代表数量（m）
315
356
408
711
发来回执但未与会的代表数量（n）
89
115
121
213
未发回执而与会的代表数量（v）
57
69
75
104
由表1可以计算每届会议发来回执但未与会的代表数量与发来回执的代表数量的比值，未发回执而与会的代表数量与发来回执的代表数量的比值见表2。
表2：
各类代表数量在发回执代表数量中的比例
第一届
第二届
第三届
第四届
n/m
0.2825
0.3230
0.2966
0.2996
v/m
0.1810
0.1938
0.1838
0.1463
根据表2的相关数据，利用GM（1，1）预测模型预测第五届会议的数值并进行相关检验。
GM（1，1）预测模型的具体步骤如下：
设有原始时间数列，对其作一次累加生成运算，
即令
（1）
从而可得新的生成数列，新的生成数列一般近似地服从指数规律，因此它满足如下灰色预测的微分方程GM（1，1），其白化形式为
（2）
其中为辨识参数。
为了估计参数，可以将式
（2）进行离散化处理得
（3）
其中为生成数列在第时刻的累减生成，即
（4）
在灰色预测中，式（3）中的为在第时刻的背景值，一般取其均值生成，即
（5）
将式（4），（5）代入式（3）中，有
（6）
令，
则式（6）可简化为如下线性模型
（7）
由最小二乘估计方法得
（8）
式（8）估计出来的参数代入到式
（2）的白化形式.
令则有，由分离变量法得其中为常数，
考虑到初值所以从而有
（9）
式（9）就是GM（1，1）模型的时间响应函数形式，将它离散化得
（10）
对序列再作累减生成可进行预测。
即
（11）
式（11）便是GM（1，1）模型的预测的具体计算式。
根据以上GM（1，1）模型的基本步骤，建立GM（1，1）预测模型。
使用MATLAB软件进行计算。
结果见表3（MATLAB计算程序见附录4）：
表3：
由GM（1,1）模型预测的各类代表数量在发回执代表数量中的比例
第一届
第二届
第三届
第四届
第五届
n/m
0.2825
0.3183
0.3062
0.2945
0.2833
v/m
0.1810
0.1980
0.1735
0.1520
0.1331
并对GM（1，1）预测模型进行相关后验差检验。
GM（1，1）预测模型的检验步骤如下：
第一步计算原始时间数列的均值和方差
，
第二步计算残差数列的均值和方差
，
其中，为残差数列。
第三步计算后验差比值
第四步计算小误差频率
其中，为集合的个数。
第五步根据表4，按照后验差值比和小误差频率判别预测精度等级。
表4：
预测精度等级
等级
好
合格
勉强
不合格
如果后验差检查发现GM（1，1）模型预测精度等级为不合格，那么可以进行残差修正的GM（1，1）预测模型。
1）对发来回执但未与会的代表数量与发来回执的代表数量的预测比值n/m进行后验差检验，可得：
，
2）对未发回执而与会的代表数量与发来回执的代表数量的预测比值v/m进行后验差检验，可得：
，
对照表4，其预测精度等级均为好，所以由GM（1，1）预测模型得到的数据
较为准确。
经过统计本次会议共收到回执人数
，根据表3的数据可以预测本届会议的参会人数：
5.2预订宾馆客房数量
在以上预测的与会代表数量的基础上，利用附表2，可得回执人数=755，
预测本届参加会议的人数，根据假设2，可得合住1中的男士人数在预测与会代表总人数中的数量为：
同理可得预测的代表人数的住房信息（单位：
人），如下表5所示：
表5：
由预测的代表人数估算的代表住房信息
合住1
合住2
合住3
独住1
独住2
独住3
男
131
88
27
91
58
35
女
67
41
14
50
24
16
由于预定房间的最终目的是既要使与会代表满意，又要使筹备组支付
升级会员 