0910高等数学期末试题参考答案B.docx
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0910高等数学期末试题参考答案B
东海科技学院2009-2010学年第二学期
《高等数学》课程期末考试卷B参考答案
一、选择题（每小题3分,共计15分
1.二阶齐次线性微分方程044=+'-''yyy的通解为（AA.xexCCy221（+=B.xexCCy221（-+=C.xxxeCeCy2221-+=D.xxeCeCy3221+=
2.过点（10,1-,且与平面06432=-+-zyx平行的平面方程是（BA.01432=++-zyxB.02432=++-zyxC.03432=++-zyxD.04432=++-zyx
3.关于二元函数,（yxf,下列说法正确的是（B
A.,（yxf在,（00yx处连续则,（yxf在,（00yx处两偏导数连续;
B.,（yxf在,（00yx处可微则,（yxf在,（00yx处两偏导数存在;
C.,（yxf在,（00yx处两偏导数存在则,（yxf在,（00yx处连续;
D.,（yxf在,（00yx处连续则,（yxf在,（00yx处两偏导数存在.4.平面复连通区域D的边界曲线L中,为正向边界的是（C
ABCD
5.下列级数中,收敛的是（D
A.∑∞
=123（inB.∑∞=-11（in
C.∑∞=11in
D.∑∞
=121in
二、填空题:
（每小题3分,共计15分
学院专业班级姓名学
1.一阶微分方程xy=''的通解为=y.（答案:
213
6
1CxCxy++=2.
=-→yxy
xyx22,1（,（2lim
.（答案:
0
3.2222yxz+=表示空间曲面.（答案:
圆锥面
4.⎰⎰=10102ydyxdx.（答案:
6
1
5.若L表示抛物线2xy=上从点0,0（到点1,1（的一段弧,则第二类曲线积分
dyxxydxL
22+⎰=.（答案:
1
三、计算题:
（每小题6分,共计48分
1.设1ln（2
1
2yxz++=,求全微分dz.
解:
xxz2=∂∂,
1（21yyz+=∂∂……………………………….………….….4分dyyxdxdz
1（21
2++
=……………………………………………..…2分
2.设}0,1,1{=a,}1,0,2{-=b,求ba⋅和ba⨯.
解:
ba⋅210012（1-=⨯+⨯+-⨯=……………………………….….3分
ba⨯}2,1,1{21
2011
-=+-=-=kjik
ji
…………………………3分3.设平面π过原点与点2,3,6（-M,并且与平面824:
1=+-zyxπ垂直,求平面π的方程.
解:
不妨设平面的法向量为
322（2（2
14236kjik
j
i
-+-=--……………………....4分所求平面方程为
0322=-+zyx………………………….…….2分
4.设zyxxzyxf+-=
23
3
1,,（,求,,（zyxf在0,1,1（0P的梯度f∇及f∇.解:
kjikfjfiffzyx+-=++=∇…………………………………….4分
311（1222=+-+=∇f………………………………………….2分
5.计算二重积分σdy⎰⎰D
其中D是由直线1=+yx、1=-yx和0=x所围成.
解法一:
把D看成X型区域
{}xyxxyx-≤≤-≤≤11,10,（………..………………..….….2分
0]1（1[（211
0221
011D
=---==⎰⎰⎰⎰⎰--dxxxydydxdyx
xσ……….….4分解法二:
被积函数,（yxfx轴对称,如图:
..…………..4分则σdy⎰⎰D
0=..2分
6.计算三重积分dVyx3（tan32⎰⎰⎰Ω
+,其中Ω:
10,1022≤+≤≤≤yxz.
解:
注意到积分区域Ω关于XOZ面对称,32tanyx为y的奇函数…….2分
ππ311313tan3（tan23232
=⨯⨯⨯=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
Ω
dVdVyxdVyx
….4分
7.∑为单位球1222=++zyx的外侧,求⎰⎰∑
-+++dxdyxydzdxzxxdydz（（22.
解:
xP=,2zxQ+=,2xyR-=………………...…………………….2分
由高斯公式⎰⎰∑
-+++dxdyxydzdxzxxdydz（（22
dVz
RyQxP⎰⎰⎰Ω
∂∂+∂∂+∂∂=（
π⎰⎰⎰Ω
==34
1dV…..…………………………………………4分
8.判断级数∑
∞
=+-1
12（12（1
nnn的敛散性.
解:
注意到∑
∞
=+-1
12（12（1
nnn的通项1412-=nun……………………….2分
且0411lim
2
>=∞→nunn,而级数∑∞
=121
nn
收敛,利用比较审敛法,得级数∑
∞
=+-1
12（12（1
nnn收敛.…………………………………………..4分
四、解答题（每小题8分,共计16分
1.求二阶非齐次线性微分方程xeyyy-=-'+''6的通解.
解:
注意到右端项为xmexPxfλ（（=型（其中1,1（-==λxPm…….2分且原方程对应的齐次方程的特征方程为062=-+rr,
1-=λ不为特征根...............................................................................................2分
设原方程的一个特解为xaey-=*代入原方程解出61
-=a………………......2分
则原方程通解为（xxxeeCeCy---+=6
1
3221.......................................................2分
2.设（xf的周期为π2,且在],[ππ-上=（xf⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<≤--π
πππxx04
04,将（xf展开
成傅里叶级数
解:
（xf满足狄利克雷收敛定理条件,当πkx=（,2,1,0±±=k时,（xf的
傅里叶级数收敛于04
4（21=+-π
π,当πkx≠（,2,1,0±±=k时,级数
∑∞
=++1
0sincos（2nnnnxbnxaa收敛于（xf.其中,...............................................................................................2分
0=na,2,1,0=n...............................................................................2分
⎰-
=
π
π
π
nxdxxfbnsin（1
⎰
⎰--+=
π
ππ
π
π
]sin4
（sin4[1
nxdxnxdx
⎪⎩⎪⎨⎧===
6,4,20
5,3,11nnn............................................................................2分
则
（xf+--+
+++=xnnxxx12sin（1
21
5sin513sin31sinπkx≠（,2,1,0±±=k...........................................................................2分
五、应用题（本题6分
某工厂通过电视和报纸两种媒体做广告,已知销售收入R（万元与电视广告费
x（万元、报纸广告费y（万元的关系为
221028321415,（yxxyyxyxR---++=如果计划提供1.5万元广告费,求最佳的广告策略.
解:
广告费为1.5万元时的最佳的广告策略,就是在5.1=+yx的条件下求
（yxR的最大值问题.作拉格朗日函数
=,（yxL221028321415yxxyyx---++5.1（-++yxλ.............2分
解方程组
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-+=+--='=+--='05.10
2083204814yxyxLxyLyxλλ......................................................2分得唯一可能极值点5.1,0（...................................................................................2分
由问题本身可知最大值一定存在,所以当报纸广告费5.1=y万元时,销售收入达到最高为5.405.1,0（=R万元,即只做报纸广告为最佳的策略.
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