第3课时 第三章位置与坐标.docx

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第3课时第三章位置与坐标

第3课时第三章位置与坐标

1、学习目标

1、通过具体实例认识平移和旋转，理解平移、旋转的基本性质，并能作出简单平面图形平移、旋转后的图形。

2、探索图形之间的变换关系，认识和欣赏平移、旋转在现实生活的应用。

2、知识回顾

运用不同的方法确定位置：

行列定位法、极坐标定位法、经纬定位法、区域定位法、直角坐标定位法

确定位置

位置与坐标

轴对称与坐标变化

对称点：

点的坐标与图形的变换

求点的坐标

点的坐标的特点：

点的坐标表示

平面直角坐标系

3、名题诠释

1．行列定位法

行列定位法是确定平面内某物体位置的重要方法之一，这种方法是把平面分

成若干行、列，然后利用行号和列号表示平面上点的位置；要准确表明某点的位置需要两个互相独立的数据，此方法也是平面直角坐标系内容的一个铺垫．

辨误区行列定位法

用行列定位法表示平面内某点的位置必须有两个数据，缺一不可．

【例1－1】小明站在一个由8行10列组成的队伍中，要想确定小明的位置，需

要知道哪些数据？

分析：

要想确定队伍中某个人的位置，只知道行数不能确定，因为同一行有很多人；只知道列数也不能确定，因为同一列也有很多人，所以，要想确定一个人的位置，必须知道行数和列数．

解：

需要知道小明所在的行数和列数．

【例1－2】你到阳光电影院去看电影，你的票上注明的是9排13号，你准备怎样找到自己的座位？

解：

路线不唯一，但是总要找到9排，并且找到13号座位．通常先找到排再找到号，也可能先找到号再找到排．

2．极坐标定位法

这是一种采用方位角和距离的方式来表示物体具体位置的定位方法，运用此方法来确定物体的位置需要两个数据：

（1）方位角；

（2）距离，两者缺一不可．使用此法首先要找出一个参照点，而其他点的方位角和距离则相对于该参照点而确定下来．

【例2】下面为新时代学校的平面示意图，A处是教学楼，B处是实验楼，C处是艺体楼，D处是车棚，E处是办公楼，请你借助刻度尺、量角器，解决下列问题：

（1）对教学楼来说，要想确定实验楼的位置，还需要什么数据？

（2）对

教学楼来说，车棚在什么位置？

艺体楼在什么位置？

分析：

本题可采用极坐标定位法．

解：

（1）想确定实验楼的位置，还需要知道实验楼在教学楼的哪个方位角上，以及它和教学楼的距离．

（2）对教学楼来说，车棚在南偏东35°，图上距离约为0.8cm；艺体楼在正东方向，图上距离约为1.5cm.

3.经纬定位法

经纬定位法就是用经度和纬度来确定物体位置的方法，此法在地理学中有着广泛的应用，使用此法来确定物体的位置必须指明经度和纬度，两者缺一不可．

释疑点经纬定位法

经纬定位法既适合于在球面上

定位，也适合于在平面上定位．

【例3－1】“神

舟九号¡±飞船已胜利升空，中国人正在逐渐地向宇宙进军，那么你能猜测出地面上的工作人员是如何来确定飞船的位置的吗？

分析：

本题为实际应用题目，只要联想到地理上学的经度、纬度，该问题就可以顺利解决．又因为飞船在太空中飞行，所以还需要其与地面的距离才能确定其位置．

解：

地面上的工作人员一般靠经纬线和飞船所处高度来确定位置．

点拨：

利用地理学上的经纬度来确定物体的位置的定位方法，应用

非常广泛．

【例3－2】A地在地球上的位置如图所示，则A地的位置是（　　）．

A．东经130°，北纬

50°

B．东经130°，北纬60°

C．东经140°，北纬

50°

D．东经140°，北纬60°

解析：

指明一点的经度和纬度就可以确定物体在地球上的位置．

答案：

C

4．区域定位法

它是生活中常用的表示物体位置的方法之一，需要有两个数据才能确定物体的位置，用这种方法确定物体的位置具有简单明了的特点，但有时往往不精确，所以要视情况而定．

【例4】如图是某学校平面简图的一部分，其中M1代表仓库，其所在的区域为A2区．M2代表办公楼，M3代表实验楼，试说出办公楼、实验楼所在的区域．

分析：

要求办公楼、实验楼所在的区域，先竖着找出其所在的字母区域，再横着找出所处的数字区域，两者合在一起便使问题得解．

解：

办公楼在C3区，实验楼在B4区．

析规律区域定位法

弄清区域定位法中的字母及数字分别表示的含义，依照已知建筑物的表示方法表示建筑物的位置．

5．直角坐标定位法

直角坐标定位法是生活中常采用的方法之一，在数学中，它是必须掌握的一种确定位置的方法，是后面学习平面直角坐标系的基础，运用此法确定一个物体的位置也需要有两个数据，一个是横坐标，另一个是纵坐标，两者缺一不可．我们习惯用（a，b）来表示某一个物体的位置，其中a代表横坐标，b代表

纵坐标．

【例5】如图是中国象棋的一盘残局，如果用（4,0）表示

的位置，用（3,9）表示

的位置，那么

的位置应表示为（　　）．

A．（8,7）B．（7,8）

C．（8,9）D．（8,8）

答案：

A

6．平面直角坐标系的有关概念

在平面内，两条

互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系．水平的数轴叫做x轴或横轴，横轴向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，纵轴向上为正方向；两坐标轴的交点常用字母O表示，称为直角坐标系的原点，也叫坐标原点．建立了直角坐标系的平面叫做坐标平面．横轴与纵轴的单位长度通常取成一致（有时也可以不一致）．

两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限．

辨误区象限与坐标轴

（1）理解¡°象限¡±的概念时，要注意它们是按¡°逆时针¡±方向，不要弄错方向．

（2）“坐标轴¡±上的点不属于任何一个象限．

【例1】下面是平面直角坐标系的为（　　）．

解析：

A选项中x轴与y轴不互相垂直，故排除；B选项中两数轴的交点不对，故B项也不正确；D选项中没有标明坐标原点及x轴与y轴等，故也排除．

答案：

C

释疑点坐标系中的单位长度

平面直角坐标系两坐标轴上的单位通常取一致的，但是根据所要表达的实际意义，也可以取不一致的单位，但是同一坐标轴上的单位必须是一致的．

7.点的坐标

（1）在平面直角坐标系中，已知点M，过点M分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别在x轴、y轴上的点表示的数是a，b，那么有序实数对（a，b）就叫做点M的坐标，其中a叫做横坐标，b叫做纵坐标（如图1所示）．

图1

图2

（2）有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示了．如图2，由点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足P在x轴上的坐标为3，垂足Q在y轴上的坐标为4，所以点A的横坐标是3，纵坐标是4，有序数对（3,4）就是点A的坐标，同理点B的坐标是（－2，－4）．

谈重点有序数对与平面内的点

已知点P（x，y），它的横坐标x和纵坐标y的顺序是不能任意交换的，A（3,2）和B（2,3）表示两个不同的点．对于坐标平面内的任意一点P，存在唯一的一对有序实数（x，y）和它对应；反过来，对于任意一对有序实数（x，y），在坐标平面内有唯一的P点和它对应．这里，（x，y）称为点P的坐标，x是横坐标，y是纵坐标，x写在前，y写在后．

【例2】写出图中A，B，C，D，E，F，O各点的坐标．

分析：

首先确定横坐标，方法是从该点向x轴作垂线，垂足对应的点即为该点的横坐标，如点A的横坐标为2.再从该点向y轴作垂线，垂足对应的点为该点的纵坐标，如点A的纵坐标为3.其他点依此类推．

解：

观察图形，由网格可得A（2,3），B（3,2），C（－2,1），D（－1，－2），E（2.5,0），F（0，－2），O（0,0）．

点评：

（1）坐标平面内的点的坐标是一对有序实数；

（2）不同的点对应着不同的坐标．

8．点的坐标特征

（1）象限内的点：

若用¡°＋¡±表示正数，¡°－¡±表示负数，则第一象限内的点的坐标为（＋，＋），第二象限内的点的坐标为（－，＋），第三象限内的点的坐标为（－，－），第四象限内的点的坐标为（＋，－）．

（2）坐标轴上点的坐标的特点：

x轴上点的纵坐标为0，x轴上的点一般记为（x,0）；y轴上的点的横坐标为0，y轴上的点的坐标一般记为（0，y）；原点坐标为（0,0）．

（3）和坐标轴平行的直线上的点的坐标的特点：

和x轴平行的直线上各点的纵坐标相同，和y轴平行的直线上各点的横坐标相同．

（4）两坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特点：

第一、三象限平分线上的点的横、纵坐标相等，该角平分线上的点的坐标一般记为（a，a）；第二、四象限平分线上的点的横、纵坐标互为相反数，该角平分线上的点的坐标一般记为（b，－b）．

（5）关于坐标轴、原点对称的点的坐标特点：

设点P1（a，b）是坐标平面上任意一点，则它关于x轴的对称点P2的坐标为（a，－b），关于y轴的对称点P3的坐标为（－

a，b），关于原点对称的点P4的坐标是（－a，－b）．

（6）点P（a，b）到x轴的距离为|b|，点P（a，b）到y轴的距离为|a|，点P（a，b）到原点的距离为

.

【例3－1】若点M（1,2a－1）在第四象限内，则a的取值范围是__________．

解析：

因为第四象限内点的坐标特征

是x＞0，y＜0，所以2a－1＜0，因此，a＜

.

答案：

a＜

【例3－2】若点P（m＋3，m＋1）在x轴上，则P点的坐标为（　　）．

A．（0，－4）B．（2,0）

C．（4,0）D．（0，－4）

解析：

由于点P（m＋3，m＋1）在x轴上，所以m＋1＝0，即m＝－1，因而m＋3＝2，故点P的坐标为（2,0），应选B.

答案：

B

析规律象限内点的坐标的符号

在根据

点所在象限确定字母取值时，先根据各象限内点的坐标特点确定横纵坐标的正负，然后列出不等式解答，同时也可利用这一特点由点

的坐标确定点所在的象限．

【例3－3】点P在第二象限内，P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为（　　）．

A．（－4,3）B．（－3，－4）

C．（－3,4）D．（3，－4）

解析：

首先由点P在第二象限内，知道它的横坐标小于0，纵坐标大于0，再由到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，得横坐标应为－3，纵坐标应为4，故点P的坐标为（－3,4），应选C.

答案：

C

【例3－4】已知点P（3，m）到横轴的距离是2，则点P的坐标是__________.

错解

因为P（3，m）到横轴的距离为2，所以m＝2，所以点P的坐标是（3,2）．

剖析

已知点P到横轴的距离，并不知道P所在的象限，点P可能在第一象限，也可能在第四象限，这样的P点应有两个．

正解

由已知条件可知|m|＝2，所以m＝2或－2.所以P点的坐标是（3,2）或（3，－2）.

4.确定点的位置

根据坐标描出点的位置是利用平面直角坐标系确定某点位置的具体表现．要根据坐标描出对应点的具体位置，应先找到该点横坐标在x轴上的位置，过该位置作y轴的平行线；再找到该点纵坐标在y轴上的位置，再过该位置作x

轴的平行线，两线的交点即为要描出的点的位置．

点技巧平面内的点与有序数对

¢Ù已知平面直角坐标系中的一个点，可以确定这个点的坐标．反过来，已知一个点的坐标，在平面直角坐标系中可以找到这个点．也就是说，在建立了平面直角坐标系后，平面上的点与有序实数对一一对应．

¢Ú平面直角坐标系中的点有无数多个，由于坐标系被分成了四个象限，所以坐标平面上的点就会存在不同的位置上，总体来说一个点的位置会在象限内或坐标轴上．

【例4－1】在平面直角坐标系中，描出下列各点：

A（4,3），B（－2,3），C（－4，－1），D（2，－2），E（－1.5,0），F（0

，－2.5）．

分析：

要描出给出坐标的已知点，可先在x轴上找到该点的横坐标的对应点，从该点作x轴的垂线；在y轴上找到该点纵坐标的对应点，从该点再作y轴的垂线，两直线的交点即该点的位置．

解：

如图所示：

点评：

不同的坐标对应着不同的点．

【例4－2】在平面直角坐标系中，描出下列各组点，并用线段顺次连接起来，观察所得到的图形，说说它像什么？

¢Ù（1,1），（2,0），（7,0），（8,2），（6,1），（1,1）；

¢Ú（6,1），（6,8）；

¢Û（5,7），（7,8），（7,3），（5,4），（5,7）；

¢Ü（2,1），（6,7）．

分析：

解决本题，首先要理解本题的顺

次连接，就是将每一组中的各点顺次连接起来．

解：

建立平面直角坐标系，通过描点，连线，可以发现，所得到的图案是一只帆船

（如图）．

点评：

要熟练地找出

点的位置，把点与点相连接时要依次描点，不能跳跃．

【例6－1】如图，¡÷ABC的三个

顶点的坐标分别是A（2,3），B（4,0），C（－2,0），求¡÷ABC的面积．

分析：

观察图形可知，BC在x轴上，BC的长为4－（－2）＝6.要求三角形的面积，还应确定BC边上的高．点A到x轴的距离恰好是BC边上的高．

解：

¡ßBC＝4－（－2）＝6，BC边上的高就是点A到横轴的距离，又¡ß点A的坐标是（2,3），

¡àBC边上的高是3.∴S¡÷ABC＝

¡Á6×3＝9.

【例6－2】如图，平面直角坐标系中，已知点A（－3，－2），B（0,3），C（－3,2），求¡÷ABC的面积．

分析：

在¡÷ABC中，只有边AC的长度是比较容易求得的，所以找到AC边上的高即可，而点A到纵轴的距离等于AC边上的高．

解：

如图，作AC边上的高BD，而BD就等于点A到纵轴的距离．

¡ß点A的坐标是（－3，－2），

¡àBD＝|－3|＝3.

∵AC＝|2－（－2）|＝4，

¡àS¡÷ABC＝

¡Á4×3＝6.

轴对称与坐标变化

（1）关于x轴对称的两个点坐标：

横坐标相同，纵坐标互为相反数，即P（x，y）与点P1（x，-y）关于x轴对称。

（2）关于y轴对称的两个点坐标：

纵坐标相同横坐标互为相反数。

即点P（x，y）与点P2（x，-y）是关于y轴对称。

（3）点P（x，y）关于原点对称的点的坐标为P3（-x，-y）；

（4）点P（x，y）关于第一、第三象限夹角的平分线对称的点的坐标为P4（y，x）；

（5）点P（x，y）关于第二、第四象限夹角的平分线对称的点的坐标为P5（-y，-x）。

例题1已知点P（2a+2,2a-3）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（）

A.a<-1B.-1

C.-

例题2点A（2，-3）关于y轴对称的点的坐标为__________，关于原点对称的点的坐标为__________。

例题3在平面直角坐标系中，点P（a2+2,-3）关于y轴的对称点在（）。

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

例题4点M（x，y）满足x

y=0，那么点M的位置可能是（）。

A.x轴上的所有点B.y轴上的所有点

C.原点D.坐标轴上的所有点

例题5设点P的坐标为（x，y），根据下列条件判断定点P根据下列条件判定点P在坐标平面内的位置：

（1）xy=0；

（2）xy>0；（3）x+y=0.

五、达标测试

第三章　位置与坐标单元检测

（时间：

60分钟，满分：

100分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

1．如图是在方格纸上画出的小旗图案，若用（0,0）表示A点，（0,4）表示B点，那么C点的位置可表示为（　　）．

A．（0,3）B．（2,3）

C．（3,2）D．（3,0）

2．下列说法中，正确的是（　　）．

A．平面直角坐标系是由两条互相垂直的直线组成的

B．平面直角坐标系是由两条

相交的数轴组成的

C．平面直角坐标系中的点的坐标是唯一确定的

D．在平面上的一点的坐标在不同的直角坐标系中坐标相同

3．平行于x轴的直线上的任意两点的坐标之间的关系是（　　）．

A．横坐标相等B．纵坐标相等

C．横坐标的绝对值相等D．纵坐标的绝对值相等

4．已知点A（－3，a）是点B（3，－4）关于原点的对称点，那么a的值是（　　）．

A．－4B．4

C．4或－4D．不能确定

5．已知点P1（－4,3）和P2（－4，－3），则P1和P2（　　）．

A．关于原点对称B．关于y轴对称

C．关于x轴对

称D．不存在对称关系

6．已知点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则P点的坐标一定为（　　）．

A．（3,2）B．

（2,3）

C．（－3，－2）D．以上答案都不对

7．已知P（0，a）在y轴的负半轴上，则Q（－a2－1，－a＋1）在（　　）．

A．y轴的左边，x轴的上方B．y轴的右边，x轴的上方

C．y轴的左边，x轴的下方D．y轴的右边，x轴的下方

8．已知正¡÷ABC的边长为2，以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴，则点A的坐标为（　　）．

A．（

，0）或（－

，0）B．（0，

）或（0，－

）

C．（0，

）D．（0，－

）

二、填空题（本大题共9小题，每小题4分，共36分）

9．在平面直角坐标系上，有序实数对（－1,2）所对应的点有__________个，每一个确定的点所对应的有序实数对有__________个．

10．如图，根据坐标平面内点的位置，写出以下各点的坐标：

A＝________，B＝________，C＝________，

D＝________，E＝________，F＝________.

11．已知坐标平面内一点A（1，－2），

（1）若A，B两点关于

x轴对称，则B

点坐标为__________；

（2）若A，B两点关于y轴对称，则B点坐标为__________；

（3）若A，B两点关于原点对称，则B点坐标为_____

_____．

12．已知点M在y轴上，点P（3，－2），若线段MP的长为5，则点M的坐标是_____．

13．以直角三角形的直角顶点C为坐标原点，以CA所在直线为x轴，建立直角

坐标系，如图所示，则Rt△ABC的周长为__________，面积为__________．

14．将点P（－3，y）向下平移3个单位长度，向左平移2个单位长度后得到点Q（x，－1），则xy＝__________.

15.图中线段的端点坐标是（1,0），（3,2），将该线段的纵坐标保持不变，横坐标分别变为原来的2倍，则所得的线段与原来相比__________．

16．如图，在?

OABC中，OA＝a，AB＝b，¡ÏAOC＝120°，则点C，B的坐标分别为__________．

17．x轴上的点的纵坐标是__________，y轴上的点的横坐标是__________，原点的坐标是__________．

三、解答题（本大题共4小题，共32分）

18．（6分）写出图中¡°小鱼¡±上所标各点的坐标且回答：

（1）点B，E的位置有什么特点？

（2）从点B与点E，点C与点D的位置看，它们的坐标有什么特点？

19．（8分）写出图中¡÷ABC各顶点的坐标并求出此三角形的面积．

20．（8分）如图，在¡÷ABC中，三个顶点的坐标分别为A（－5,0），B（4,0），C（2,5），将¡÷ABC沿x轴正方向平移2个单位长度，再沿y轴负方向平移1个单位长度得到¡÷EFG.

（1）写出¡÷EFG的三个顶点的坐标．

（2）求¡÷EFG的面积．

21．（10分）如图为一风筝的图案．

（1）写出图中所标各个顶点的坐标．

（2）若图中各点的纵坐

标保持不变，横坐标分别乘2，所得各点的坐标分别是什么？

所得图案与原来图案相比有什么变化？

（3）若图中各点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘－2，所得各点的坐标分别是什么？

所得图案与原来

（1）图案相比有什么变化？