#自动控制原理实验评测报告球杆系统.docx

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#自动控制原理实验评测报告球杆系统

1系统建模

连线<连杆和同步带轮的连接点与齿轮中心的连线）和水平线的夹角为

<

的角度存在一定的限制，在最小和最大的范围之间），它作为连杆的输入，横杆的

倾斜角

和

之间的有如下的数学关系：

角度

和电机轴之间存在一个减速比n=4的同步带，控制器设计的任务是通过调

整齿轮的角度

，使得小球在某一位置平衡。

小球在横杆上滚动的加速度如下式：

其中：

小球在横杆上的位置r为输出

小球的质量m=0.11kg。

小球的半径R=0.015m。

重力加速度g=-9.8m/s2。

横杆长L=0.4m。

连杆和齿轮的连接点与齿轮中心的距离为d=0.04（m>。

小球的转动惯量J=2*m*R^2/5（N/m2>。

我们假设小球在横杆上的运动为滚动，且摩擦力可以忽略不计。

因为我们期望角度

在0附近，因此我们可以在0附近对其进行线性化，得到近似的线性方程：

Laplace变换得：

2实验步骤

【主要方法】：

通过球杆系统仿真，与理想传递函数下的反馈系统的对比，深刻理解系统的调节以及稳定性特征。

2.1PID控制法

2.1.1P控制

1.含有控制器、球杆系统结构和小球位置反馈的系统框图如下所示：

其中，Xd（s>为小球目标位置的拉普拉斯变换，P控制器为：

GP（s>=KP

闭环系统的传递函数为：

其中，

。

2.MATLAB仿真

程序代码：

m=0.11。

R=0.015。

g=-9.8。

L=0.4。

d=0.04。

J=2*m*R^2/5。

K=（m*g*d>/（L*（J/R^2+m>>。

num=[-K]。

den=[100]。

plant=tf（num,den>。

kp=3。

sys_cl=feedback（kp*plant,1>。

step（0.2*sys_cl>

（1）当Kp=3时

（2）当Kp=6时

（3）当Kp=10时

3.在Simulink环境下仿真

（1）当Kp=3时

（2）当Kp=6时

（3）当Kp=10时

分析：

从仿真图和实验图中可以看出，他们的大致波形是一致的，但因为实验受环境影响，如用手抓取小球，桌面收到碰撞震荡等，使波形出现很多毛刺，但系统是不稳定的，出现等幅振荡。

2.1.2PD控制

1.给控制器添加一个微分控制，闭环系统的结构图如下：

PD控制器的传递函数为：

为简单起见，我们假设固定比例增益KP，调整KD的大小。

闭环系统的传递函数为：

2.MATLAB仿真

程序代码：

m=0.11。

R=0.015。

g=-9.8。

L=0.4。

d=0.04。

J=2*m*R^2/5。

K=（m*g*d>/（L*（J/R^2+m>>。

num=[-K]。

den=[100]。

plant=tf（num,den>。

kp=6。

kd=6。

contr=tf（[kdkp],1>。

sys_cl=feedback（contr*plant,1>。

t=0:

0.01:

5。

step（0.2*sys_cl>

（1）当Kp=6，Kd=6时

（2）当Kp=4，Kd=4时

3.在Simulink环境下仿真

（1）当Kp=6，Kd=6时

（2）当Kp=4，Kd=4时

分析：

可以看出，当控制器中加入一个微分控制时，闭环系统是一个稳定的系统。

当Kp=6，Kd=6时，超调量P.O.=20%，调节时间Ts=2.5s；当Kp=4，Kd=4时，超调量P.O.=13%，调节时间Ts=4.8s。

此时系统虽然是稳定的，但是超调量和调节时间都过大，稳定效果较差。

2.1.3PID控制

1.添加PID控制器后，闭环系统的结构图如下：

PID控制器的传递函数为：

其中，KD和KI对应于积分和微分控制，KP为比例增益.

闭环系统的传递函数如下所示：

2.MATLAB仿真

程序代码：

m=0.11。

R=0.015。

g=-9.8。

L=0.4。

d=0.04。

J=2*m*R^2/5。

K=（m*g*d>/（L*（J/R^2+m>>。

num=[-K]。

den=[100]。

plant=tf（num,den>。

kp=3。

kd=10。

ki=1。

contr=tf（[kdkpki],1>。

sys_cl=feedback（contr*plant,1>。

t=0:

0.01:

100。

y=step（0.2*sys_cl,t>。

plot（t,y>,grid

（1）当Kp=10，Kd=10，Ki=1时

（2）当Kp=10，Kd=40，Ki=1时

（3）当Kp=15，Kd=40，Ki=0.5时

3.在Simulink环境下仿真

（1）当Kp=10，Kd=10，Ki=1时

（2）当Kp=10，Kd=40，Ki=1时

（3）当Kp=15，Kd=40，Ki=0.5时

分析：

可以看出，增大KD可以减少超调量，而减小调节时间可以增大Kp,第三个图明显的减少了系统的稳态误差，基本上满足了设计要求，但与MATLAB仿真相比，实际中系统会受到很多影响，因此总是有很多毛刺。

2.2根轨迹法

【主要方法】：

通过分析系统的开环零极点位置，来分析闭环系统的特性，通过增加极点或零点的方法<校正器），根轨迹以及闭环系统的响应都将发生改变。

1.添加控制器后，一个典型的闭环系统如下：

2.MATLAB仿真

（1）校正前程序代码：

m=0.11。

R=0.015。

g=-9.8。

L=0.4。

d=0.04。

J=2*m*R^2/5。

K=（m*g*d>/（L*（J/R^2+m>>。

num=[0.7]。

den=[100]。

plant=tf（num,den>。

sys_cl=feedback（plant,1>。

t=0:

0.01:

50。

y=step（0.2*sys_cl,t>。

plot（t,y>,grid

校正前根轨迹

校正前单位阶跃响应

（2）校正后程序代码：

m=0.11。

R=0.015。

g=-9.8。

L=0.4。

d=0.04。

J=2*m*R^2/5。

K=（m*g*d>/（L*（J/R^2+m>>。

num=[K]。

den=[100]。

g0=tf（num,den>。

sigma=10。

%超调量<百分比）

ts=1。

%调整时间

sigma=sigma/100。

zeta=sqrt（1/（pi^2/log（sigma>^2+1>>。

%二阶系统参数ζ、ωn

wn=4/（ts*zeta>。

s1_real=-wn*zeta。

%Óɶþ½×ϵͳËã³öµÄ±Õ»·ÏµÍ³Ö÷µ¼¼«µã

s1_imag=wn*sqrt（1-zeta^2>。

s1=s1_real+j*s1_imag。

phi=angle（s1>。

%由而写系统算出的闭环系统主导极点

num_s1=polyval（num,s1>。

den_s1=polyval（den,s1>。

g0_s1=num_s1/den_s1。

%主导极点的相角

theta=angle（g0_s1>。

%未校正系统传递函数在主导极点上的相角θ

phi_c=pi-theta。

%校正器的相角可由主导极点上闭环特征方程的相角条件确定

theta_z=（phi+phi_c>/2。

theta_p=（phi-phi_c>/2。

z_c=real（s1>-imag（s1>/tan（theta_z>。

%校正器零、极点

p_c=real（s1>-imag（s1>/tan（theta_p>。

num_c=[1-z_c]。

den_c=[1-p_c]。

gc=tf（num_c,den_c>%校正器的传递函数

numc_s1=polyval（num_c,s1>。

denc_s1=polyval（den_c,s1>。

gc_s1=numc_s1/denc_s1。

%校正器传递函数在主导极点上的值

K=1/（abs（g0_s1*gc_s1>>%根据主导极点上闭环特征方程的幅值条件求增益

rlocus（g0*gc>%画根轨迹图

close=feedback（K*g0*gc,1>。

%闭环负反馈

figure

t=0:

0.01:

10。

%时间标尺

step（close,t>%校正后系统单位阶跃响应

校正后根轨迹

校正后单位阶跃响应

3.在Simulink环境下仿真

（1）Zeros=[-2.4],Poles=[-13.80],Gain=[114.2]

（2）Zeros=[-0.5],Poles=[-4],Gain=[15.68]

（3）Zeros=[-0.5],Poles=[-5],Gain=[15.68]

分析：

由图可知，减小减小控制器的零、极点，会使系统的稳定性增加。

2.3频率响应法

【主要方法】根据开环传递函数的Bode图，给系统添加一个校正器，改变开环系统的Bode图，从而改变闭环系统的响应，使其达到期望的性能。

1.添加控制器后，一个典型的控制系统如下：

2.MATLAB仿真

（1）校正前程序代码

m=0.11。

R=0.015。

g=-9.8。

L=0.4。

d=0.04。

J=2*m*R^2/5。

K=（m*g*d>/（L*（J/R^2+m>>。

num=[K]。

den=[100]。

g0=tf（num,den>。

bode（g0>

uncomp=feedback（g0,1>。

t=[0:

0.01:

100]。

y=step（uncomp,t>。

plot（t,y>，grid

校正前Bode图

校正前单位阶跃响应

（2）校正后程序代码：

m=0.11。

R=0.015。

g=-9.8。

L=0.4。

d=0.04。

J=2*m*R^2/5。

K0=（m*g*d>/（L*（J/R^2+m>>。

num=[0.7]。

den=[100]。

g0=tf（num,den>。

sigma=10。

%超调量<百分比）

sigma=sigma/100。

zeta=sqrt（1/（pi^2/log（sigma>^2+1>>。

%二阶系统阻尼比ζ

gamma=atan（2/sqrt（sqrt（1/zeta^4+4>-2>>。

%相角裕度

phi=gamma。

%相位超前角

%wc=1

wc1=1%频率带宽的中心频率

a1=（1-sin（phi>>/（1+sin（phi>>。

%·分度系数

T1=1/（wc1*sqrt（a1>>。

%时间常数

numlead1=[T11]。

%校正系统传递函数

denlead1=[a1*T11]。

gc1=tf（numlead1,denlead1>。

K=2。

sys1=series（K*g0,gc1>。

sys_cl1=feedback（sys1,[1]>。

%wc=2

wc2=2。

a2=（1-sin（phi>>/（1+sin（phi>>。

T2=1/（wc2*sqrt（a2>>。

numlead2=[T21]。

denlead2=[a2*T21]。

gc2=tf（numlead2,denlead2>。

K=2。

sys2=series（K*g0,gc2>。

sys_cl2=feedback（sys2,[1]>。

%wc=3

wc3=3。

a3=（1-sin（phi>>/（1+sin（phi>>。

T3=1/（wc3*sqrt（a3>>。

numlead3=[T31]。

denlead3=[a3*T31]。

gc3=tf（numlead3,denlead3>。

K=2。

sys3=series（K*g0,gc3>。

sys_cl3=feedback（sys3,[1]>。

bode（sys1,sys2,sys3>,grid

t=[0:

0.01:

20]。

y1=step（sys_cl1,t>。

y2=step（sys_cl2,t>。

y3=step（sys_cl3,t>。

plot（t,y1,t,y2,t,y3>,grid

校正后bode图

校正后单位阶跃响应

1.在Simulink环境下仿真

（1）Numerator=130*[16.71],Denominator=[7.61]

（2）Numerator=3*[4.41],Denominator=[0.221]

（3）Numerator=4*[2.21],Denominator=[0.111]

分析：

减小增益值可以抑制超调量，从而增加系统的稳定性。

3实验心得总结

通过这次球杆实验使我对控制系统有了更深刻更直观的认识，了解到控制系统在实际生活特别是自动化生产中有着重要的作用。

日常生活中的水温控制，驾驶系统，以至于点点滴滴都会应用到反馈系统的理论。

一个控制系统往往会有很多的控制器设计方法，PID控制法、根轨迹法、频率响应法等。

在实验中，不管用什么方法都需要反复尝试不同的控制参数，直到得到满意的控制效果。

本实验也让我对PID控制的认识有了深化，但PID的调节过程比较繁琐，需要不断的尝试各种参数，发现其中规律，并最终寻找到最合适的系统参数。

在实验中，发现图像中存在很多瑕疵，可见系统总要受到外界环境的影响，在实际系统的设计中，有时候需要考虑各种外界干扰的存在，尽可能减少它们的作用。

另外要提到的是，实验设备对实验结果的影响是很大的，在实验中我们组的simulink仿真图像毛刺特别多，系统特别不稳定，但是经过我们反复修改参数和尝试，终于使系统的稳定性提高了一点点。

所以希望学校能更新一下部分实验设备，以方便我们今后的学习与实践。