第3讲运动图象追及和相遇问题.docx

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第3讲运动图象追及和相遇问题

第3讲　运动图象　追及和相遇问题

考纲要求

考情分析

命题趋势

1.匀变速直线运动的图象Ⅱ

2．追及和相遇问题

2016·全国卷Ⅰ，21

高考考查本讲内容既有选择题，也有计算题．对运动图象的考查，既有单独命题，也有与追及和相遇问题相结合命题；常考查追及和相遇问题中相距最近或最远的条件及相遇的条件

1．直线运动的x－t图象

（1）意义：

反映了直线运动的物体__位移__随__时间__变化的规律．

（2）图线上某点切线的斜率的意义

①斜率大小：

表示物体速度的__大小__.

②斜率的正负：

表示物体速度的__方向__.

（3）两种特殊的x－t图象

①若x－t图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于__静止__状态．（如图所示甲图线）

②若x－t图象是一条倾斜的直线，说明物体在做__匀速直线__运动．（如图所示乙图线）

2．直线运动的v－t图象

（1）意义：

反映了直线运动的物体__速度__随__时间__变化的规律．

（2）图线上某点切线的斜率的意义

①斜率的大小：

表示物体__加速度__的大小．

②斜率的正负：

表示物体__加速度__的方向．

（3）两种特殊的v－t图象

①匀速直线运动的v－t图象是与横轴__平行__的直线．（如图所示甲图线）

②匀变速直线运动的v－t图象是一条__倾斜__的直线．（如图所示乙图线）

（4）图线与坐标轴围成的“面积”的意义

①图线与坐标轴围成的“面积”表示相应时间内的__位移__.

②若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为__正方向__；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为__负方向__.

3．追及和相遇问题

（1）两类追及问题

①若后者能追上前者，追上时，两者处于__同一位置__，且后者速度一定不小于前者速度．

②若追不上前者，则当后者速度与前者__相等__时，两者相距最近．

（2）两类相遇问题

①同向运动的两物体追及，追上时即相遇．

②相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇．

1．判断正误

（1）x－t图象表示物体的运动轨迹．（　×　）

（2）x－t图象和v－t图象都不能描述曲线运动．（　√　）

（3）v－t图象上两图线的交点表示两物体速度相等，不代表相遇．（　√　）

（4）两物体同向运动恰好不相碰，则此时两物体速度相等．（　√　）

（5）速度较大的汽车刹车一定能够避免与前方速度较小匀速运动的汽车相撞．（　×　）

（6）两个物体在追及过程中，物体之间的距离总是逐渐变小．（　×　）

2．甲、乙两物体均做直线运动，它们在某段时间内的位移x随时间t变化的图象如图所示，则在0～t1时间内，下列判断正确的是（　D　）

A．甲物体做加速运动

B．甲、乙两物体运动方向相同

C．甲的平均速度比乙的平均速度大

D．甲、乙两物体的平均速度大小相等

3．上海F1车赛于2014年4月18日至20日在上海奥迪国际赛车场举行．其中有甲、乙两赛车从同一起跑线上同时启动并且沿平直路面同向前进，在t＝0到t＝t1时间内，它们的速度随时间变化的图象如图所示．则下列说法正确的是（　B　）

A．t1时刻，乙车从后面追上甲车

B．t1时刻，两车第一次相距最远

C．t1时刻，两车的加速度刚好相等

D．0到t1时间内，乙车的平均速度大于甲车的平均速度

　一　x－t图象与v－t图象的区别

x－t图象

v－t图象

轴

横轴为时间t，纵轴为位移x

横轴为时间t，纵轴为速度v

线

倾斜直线表示匀速直线运动

倾斜直线表示匀变速直线运动

斜率

表示速度

表示加速度

面积

无实际意义

图线和时间轴围成的面积表示位移

纵截距

表示初位置

表示初速度

特殊点

拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示相遇

拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示速度相等

[例1]（2018·陕西汉中期末）在平直的公路上行驶的a车和b车，其位移—时间图象分别为图中直线a和曲线b，已知b车的加速度恒定且ab＝－2m/s2，当t＝3s时，直线a和曲线b刚好相切，求t＝0s时a车和b车的距离x0.

解析　由题图可知a车做匀速直线运动的速度

va＝

m/s＝2m/s，

当t＝3s时，直线a和曲线b刚好相切，即此时b车的速度

vb′＝va＝2m/s.

设b车的初速度为vb，对b车有vb＋abt＝vb′，

解得vb＝8m/s.

从t＝0时刻起经过3s，a车和b车的位移分别为

a车的位移xa＝vat＝6m，

b车的位移xb＝

t＝15m，

因t＝3s时，a车和b车到达同一位置，

则t＝0s时a车和b车的距离为x0＝xa－xb＝9m.

答案　9m

运动图象中的易错点

（1）对x－t图象，图线在纵轴上的截距表示t＝0时物体的位置，对v－t或a－t图象，图线在纵轴上的截距并不表示t＝0时物体的位置．

（2）在v－t图象中，两条图线的交点不表示两物体相遇，而是表示两者速度相同．

（3）两条图线在v轴上的截距不同，不少同学误认为两物体的初始位置不同，位置是否相同应根据题中条件确定．

　二　追及、相遇问题

讨论追及、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在同一时刻能否到达相同的空间位置问题．

1．抓住一个条件，两个关系

（1）一个条件：

即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点．

（2）两个关系：

即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到．

2．能否追上的判断方法

常见情形：

物体A追物体B，开始二者相距x0，则

（1）A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB．

（2）要使两物体恰好不相撞，必有xA－xB＝x0，vA＝vB．

[例2]（2018·江苏镇江模拟）甲、乙两车在同一直线轨道上同向行驶，甲车在前，速度为v1＝8m/s，乙车在后，速度为v2＝16m/s，当两车相距x0＝8m时，甲车因故开始刹车，加速度大小为a1＝2m/s2，为避免相撞，乙车立即开始刹车，则乙车的加速度至少为多大？

解析　如图所示，当速度相同时，阴影面积Δx表示两者位移之差，

若Δx≤x0，则不会相撞，

由几何关系得Δx＝

＝x0，

解得t＝2s.

由v1－a1t＝v2－a2t得a2＝6m/s2，

故乙车的加速度至少为6m/s2才能避免两车相撞．

答案　6m/s2

追及和相遇问题的求解方法

（1）解题思路

（2）解题技巧

①紧抓“一图三式”，即：

过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式．

②审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件．如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等．往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件．

③若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动，另外还要注意最后对解的讨论分析．

1．如图所示，是小滑块A、B从足够长的斜面上滑下的v－t图象，已知t＝0时刻A在B后30m处，则从t＝0时刻起A追上B所需的时间为（　D　）

A．1sB．3s

C．5sD．6s

解析　由题图知，B的加速度a＝－4m/s2，B经时间t0＝3s停止运动，此时xA

＋x0，代入数据得t＝6s，故选项D正确．

2．一步行者以6.0m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车，在跑到距汽车25m处时，绿灯亮了，汽车以1.0m/s2的加速度匀加速启动前进，则（　B　）

A．人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36m

B．人不能追上公共汽车，人、车最近距离为7m

C．人能追上公共汽车，追上车前人共跑了43m

D．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离越来越远

解析　步行者与汽车距离25m时，绿灯亮，汽车匀加速前进，当两者速度相等时，相距最近，设汽车运动ts与步行者速度相等，即at＝v，得t＝6s，人的位移x1＝vt＝36m，汽车的位移x2＝

at2＝18m，二者最近距离为x2＋x0－x1＝7m，选项A、C错误，B正确．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离先减小后增大，选项D错误．

3．一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以v0＝6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车，试问：

（1）汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？

最远距离是多大？

（2）当汽车与自行车再次相遇时汽车的速度是多大？

解析　

（1）当汽车的速度为v1＝v0＝6m/s时，二者相距最远，所用时间为t1＝

＝2s，最远距离为Δx＝v0t1－

at

＝6m.

（2）两车再次相遇时有v0t2＝

at

，解得t2＝4s，汽车的速度为v2＝at2＝12m/s.

答案　

（1）2s　6m　

（2）12m/s

4．A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA＝10m/s，B车在后，其速度vB＝30m/s，因大雾能见度低，B车在距A车x0＝85m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过180m才能停止．问：

B车刹车时A车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？

若会相撞，将在B车刹车后何时相撞？

若不会相撞，则两车最近距离是多少？

解析　设B车刹车过程中的加速度大小为aB，由v2－v

＝－2aBx得aB＝

＝2.5m/s2.若两车速度相等时没有相撞则不相撞，速度相等时撞了则会相撞，设ts后速度相等．由vA＝vB－aBt得t＝8s，则xA＝vAt＝80m，xB＝vBt－

aBt2＝160m，因xA＋x0>xB，则两车未相撞，且最近距离Δx＝xA＋x0－xB＝5m.

答案　不会相撞　5m

追及、相遇问题的两种典型情况

（1）匀加速运动的物体追匀速或匀减速运动的物体．一定能追上，追上前，vA＝vB时，两者相距最远．

（2）匀减速运动的物体追匀速运动的物体．vA＝vB时：

①若已超越则相遇两次；

②若恰好追上，则相遇一次；

③若没追上，则此时相距最近．

[例1]（15分）一摩托车由静止开始在平直的公路上行驶，其运动过程的v－t图象如图所示．求：

（1）摩托车在0～20s这段时间的加速度大小a；

（2）摩托车在0～75s这段时间的平均速度大小

.

[答题送检]来自阅卷名师报告

错误

致错原因

扣分

（1）

对平均速度的概念理解错误，误认为平均速度是速度的平均值

－8

[规范答题]　

[解析]　

（1）摩托车在0～20s这段时间的加速度

a＝

＝

m/s2＝1.5m/s2；

（2）摩托车在0～75s这段时间的位移大小等于v－t图象中图线和t轴所围的面积

x＝

[（45－20）＋75]×30m＝1500m，

75s内摩托车的平均速度

v＝

＝

m/s＝20m/s.

[答案]　

（1）1.5m/s2（7分）　

（2）20m/s（8分）

1．甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v－t图象如图所示．在这段时间内（　A　）

A．汽车甲的平均速度比乙的大

B．汽车乙的平均速度等于

C．甲、乙两汽车的位移相同

D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大

解析　由v－t图象知，在0～t1时间内，甲的位移大于乙的位移，选项C错误；由

＝

知，甲的平均速度比乙的大，故选项A正确；如图所示，汽车乙的v－t图象中，实现与坐标轴所围的面积小于上方虚线与坐标轴所围的面积，故汽车乙的平均速度小于

，选项B错误；v－t图象中的斜率表示加速度，甲、乙图线上各点切线斜率的绝对值均逐渐减小，故加速度的大小都逐渐减小，选项D错误．

2．（多选）由于公路维修只允许单车道通行．t＝0时，甲车在前，乙车在后，相距x0＝100m，速度均为v0＝30m/s，从此时开始两车按图所示规律运动，则下述说法正确的是（　AC　）

A．两车最近距离为10m

B．两车最近距离为100m

C．两车一定不会相遇

D．两车一定会相遇

解析　如图所示为甲、乙两车的速度图象，由图象可知，t＝6s时两车共速，在此之前，乙车速度一直比甲车大，如果t＝6s时两车不相遇，就不会相遇，由图象面积可以算出，0～6s内，x甲＝67.5m，x乙＝157.5m，x乙－x甲＝90m

1．（多选）甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图象如图所示．已知两车在t＝3s时并排行驶，则（　BD　）

A．在t＝1s时，甲车在乙车后

B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5m

C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2s

D．甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40m

解析　根据v－t图，甲、乙都沿正方向运动．t＝3s时，甲、乙相遇，v甲＝30m/s，v乙＝25m/s，由位移和v－t图面积对应关系，0～3s内位移x甲＝45m，x乙＝52.5m．故t＝0时，甲乙相距Δx1＝x乙－x甲＝7.5m，即甲在乙前方7.5m，选项B正确.0～1s内，x甲′＝

×1×10m＝5m，x乙′＝

×1×（10＋15）m＝12.5m，Δx2＝x乙′－x甲′＝7.5m，说明t＝1s时甲、乙第一次相遇．选项A、C错误．甲、乙两次相遇地点之间的距离为x＝x甲－x甲′＝45m－5m＝40m，所以选项D正确．

2．质点做直线运动的速度—时间图象如图所示，该质点（　D　）

A．在第1秒末速度方向发生了改变

B．在第2秒末加速度方向发生了改变

C．在前2秒内发生的位移为零

D．第3秒末和第5秒末的位置相同

解析　由题图可知0～2s内，速度为正，运动方向未改变，2s末时，位移最大，v－t图线斜率表示加速度，1～3s图线斜率未改变，故第2s末加速度方向没有变化，选项A、B、C错误；由v－t图线与时间轴所围面积表示位移知，第3s末和第5s末质点位置相同，选项D正确．

3．小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动．取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向．下列速度v和位置x的关系图象中，能描述该过程的是（　A　）

解析　小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后能回到原高度，重复原来的过程，以落地点为原点，速度为零时，位移最大，速度最大时位移为零，设高度为h，则速度大小与位移的关系满足v2＝2g（h－x），选项A正确．

课时达标　第3讲

[解密考纲]主要考查对运动图象（特别是v－t图象）的理解和应用，追及和相遇问题中相距最近或最远的条件以及相遇的条件．

1．质点做直线运动的速度—时间图象如图所示，该质点（　D　）

A．在第1秒末速度方向发生了改变

B．在第2秒末加速度方向发生了改变

C．在前2秒内发生的位移为零

D．第3秒末和第5秒末的位置相同

解析　由题图可知0～2s内，速度为正，运动方向未改变，2s末时，位移最大，v－t图线斜率表示加速度，1～3s图线斜率未改变，故第2s末加速度方向没有变化，选项A、B、C错误；由v－t图线与时间轴所围面积表示位移知，第3s末和第5s末质点位置相同，选项D正确．

2．（多选）如图，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移—时间（x－t）图线．由图可知（　BC　）

A．在时刻t1，a车追上b车

B．在时刻t2，a、b两车运动方向相反

C．在t1到t2这段时间内，b车的速率先减少后增加

D．在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车的大

解析　t1时刻，两车都在沿x正方向运动，该时刻前，b车的位置坐标小，b车在a车的后面，所以t1时刻是b追上a，选项A错误；t2时刻，a车继续沿x正方向运动，而b车向x负方向运动，二者运动方向相反，选项B正确；在位移—时间图象中，图线斜率的绝对值表示速度的大小，t1到t2时间内，b的斜率绝对值先减小后增大，故b车的速率先减小后增大，选项C正确；t1到t2时间内，曲线b的斜率绝对值大小存在比a的斜率绝对值大的时间段，也存在比a斜率绝对值小的时间段，选项D错误．

3．甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v－t图象如图所示．在这段时间内（　A　）

A．汽车甲的平均速度比乙的大

B．汽车乙的平均速度等于

C．甲、乙两汽车的位移相同

D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大

解析　在v－t图象中，图线与时间轴所包围的面积表示运动物体的位移．由图象可知，汽车甲的位移大于汽车乙的位移，选项C错误；由v＝

可知，汽车甲的平均速度比乙的大，选项A正确；汽车的运动不是匀变速运动，平均速度不等于

，选项B错误；在v－t图象中，图线的斜率表示加速度，根据图象知，甲、乙两汽车的加速度都是逐渐减小的，选项D错误．

4．（2017·河南六市一联）A、B两个物体在水平面上沿同一直线运动，它们的v－t图象如图所示．在t＝0时刻，B在A的前面，两物体相距7m，B物体做匀减速运动的加速度大小为2m/s2.则A物体追上B物体所用时间是（　D　）

A．5sB．6.25s

C．7sD．8s

解析　B物体减速到零所需的时间

t＝

＝

s＝5s，

xB＝

（v＋0）t＝

×10×5m＝25m，

A物体在5s内的位移xA＝vAt＝4×5m＝20m，

xA

设A物体追上B物体所用时间为t0，则

vAt0＝7＋25，

t0＝

s＝8s，故选项D正确．

5．（2017·山西太原模拟）（多选）某跳伞运动员从悬停在高空的直升机上跳下，他从跳离直升机到落地的过程中在空中沿竖直方向运动的v－t图象如图所示，则下列关于他的运动情况分析正确的是（　ABC　）

A．0～10s加速度向下，10～15s加速度向上

B．0～10s、10～15s内都在做加速度逐渐减小的变速运动

C．0～10s内下落的距离大于100m

D．10～15s内下落的距离大于75m

解析　由题图可知0～10s的加速度方向为正，大小逐渐减小，10～15s的加速度方向为负，大小也逐渐减小，则选项A、B正确；由图象的面积，可得0～10s的位移大于100m,10～15s的位移小于75m，则选项C正确，选项D错误．

6．（2017·宁夏银川模拟）汽车由静止开始在平直的公路上行驶，0～60s内汽车的加速度随时间变化的a－t图象如图所示．则该汽车在0～60s内的速度随时间变化的v－t图象为（　B　）

解析　0～10s内汽车做初速度为零的匀加速直线运动，10s末速度增加到20m/s；10～40s内汽车以20m/s的速度做匀速直线运动；40～60s内汽车做匀减速直线运动，60s末速度减为零，故选项B正确．

7．两个质点A、B放在同一水平面上，由静止开始从同一位置沿相同方向同时开始做直线运动，其运动的v－t图象如图所示，对A、B运动情况的分析，下列结论正确的是（　D　）

A．A、B加速时的加速度大小之比为2∶1，A、B减速时的加速度大小之比为1∶1

B．在t＝3t0时刻，A、B相距最远

C．在t＝5t0时刻，A、B相距最远

D．在t＝6t0时刻，A、B相遇

解析　由v－t图易知A、B加速时的加速度大小之比为10∶1，减速时加速度大小之比为1∶1，选项A错误；在2t0～3t0之间两图线有一交点，该时刻两者相距最远，选项B、C错误；t＝6t0时两图线与t轴所围面积相等，即两者相遇，选项D正确．

8．（多选）从同一地点出发，甲、乙两个物体沿同一方向做直线运动的速度—时间图象如图所示，则（　AC　）

A．两物体相遇的时间是2s和6s

B．乙物体先向前运动2s，随后向后运动

C．两个物体相距最远的时刻是4s末

D．4s后甲在乙前面

解析　前2s甲、乙位移均为4m，前6s甲、乙位移均为12m，故选项A正确；乙前6s一直向前运动，故选项B错误；由题图可知，前4s内两图线与坐标轴所围面积差最大，4s末甲、乙相距最远，选项C正确，4s后乙在甲前面，直到6s时两物体相遇，故选项D错误．

9．（多选）将甲、乙两小球先后以同样的速度在距地面不同高度处竖直向上抛出，抛出时间相隔2s，它们运动的v－t图象分别如直线甲、乙所示，则（　BD　）

A．t＝2s时，两球的高度差一定为40m

B．t＝4s时，两球相对于各自拋出点的位移相等

C．两球从抛出至落到地面所用的时间间隔相等

D．甲球从拋出至达到最高点的时间间隔与乙球的相等

解析　v－t图线与时间轴所围面积表示小球的位移，由图可知，t＝2s时，甲球相对其抛出点高度为40m，乙球恰要抛出，因为甲、乙抛出点位置高度不同，故选项A错误；t＝4s时，甲已过最高点返回至距抛出点40m处，乙已上升到距其抛出点40m处，选项B正确；因甲、乙抛出点距地面高度不同，故在空中运动时间不同，选项C错误；上升至最高点的时间t＝

，因甲、乙的初速度相同，故选项D正确．

10.折线ABCD和曲线OE分别为甲、乙物体沿同一直线运动的位移—时间图象，如图所示，t＝2s时，两图线相交于C点．下列说法正确的是（　B　）

A．两个物体同时、同地、同向出发

B．第3s内，甲、乙运动方向相反

C．2s～4s内，甲做减速运动，乙做加速运动

D．2s末，甲、乙未相遇

解析　物体同时、同向出发，但不是同地出发，选项A错误；第3s内甲物体x－t图线的斜率为负，向负方向运动，乙物体x－t图线的斜率为正，向正方向运动，二者运动方向相反，选项B正确；2s～4s内，甲向负方向做匀速直线运动，乙向正方向做加速运动，选项C错误；2s末，甲、乙的位置相同，甲、乙相遇，选项D错误．

11．斜面长度为4m，一个尺寸可以忽略不计的滑块以不同的初速度v0从斜面顶端沿斜面下滑时，其下滑距离x与初速度二次方v

的关系图象（即x－v

图象）如图所示．

（1）求滑块下滑的加速度大小．

（2）若滑块下滑的初速度为5.0m/s，则滑块沿斜面下滑的时间为多长？

解析　

（1）由v

＝2ax推知，图线“斜率”为

，根据图象可知，

＝

，所以滑块下滑的加速度大小a＝2m/s2，方向沿斜面向上．

（2）由图象可知，当滑块的初速度为4m/s时，滑块刚好滑到斜面最低点，故滑块下滑的初速度为5.0m/s时能滑到斜面最低点．设滑块在斜面上的滑动时间为t，则x＝v0t－

at2，解得t＝1s，t＝4s（舍去）．

答案　

（1）2m/s2　

（2）1s

12．甲、乙两车从相距110m的两地相向运动，它们的v－t图象如图所示，忽略车掉头所需时间．

（1）求t＝4s时甲、乙两车各自的位移大小；

（2）通过计算说明两车是否相遇．如能相遇，则计算相遇点的位置；如不能相遇，则计算两车间的最小距离．

解析　

（1）由v－t图象可知，甲向乙做匀减速运动，加速度大小a1＝4m/s2，

乙向甲先做加速运动后做减速运动，加速度大小分别为

a2＝10m/s2和a2′＝30m/s2，

t＝4s时甲的位移大小为x1＝v0t－

a1t2＝48m，

乙的位移大小为x2＝

×4×30m＝60m.

（2）乙车