高职高专高等数学教案 (1).doc
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第1次课学时2
授课题目（章，节）
第一章函数与极限
§1函数
授课类型（请打√）
理论课√□研讨课□习题课□复习课□其他□
教学目的：
1、理解函数的概念，掌握函数定义域、值域的求解方法；
2、掌握函数的表示方法，会求解函数的奇偶性，周期性，单调性。
教学方法、手段：
讲授法，师生互动，板书，课件展示
教学重点、难点：
重点、定义域的求解；函数的几种特性；
难点、定义域的求解；奇偶性的判断。
教学内容及过程设计
补充内容和时间分配
一、新教程序言
为什么要重视数学学习
（1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量；
（2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用；
（3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术；
（4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。
二、讲授新课
利用现实生活中的一个实例（匀速运动），引起学生的兴趣，进一步使学生想了解什么是函数，好奇心吸引学生们认真听课。
顺利引出函数。
1、函数的定义（课件展示）
说明：
函数是变量间的一种对应关系（单值对应），函数的表达式如下：
（1）定义域：
自变量的取值集合（D）。
（2）值域：
函数值的集合，即。
2、函数的二要素（板书）
构成函数的两个重要因素：
定义域和对应法则。
如果两个函数定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数是相同的。
（熟记）
注意：
为了使定义域在数学上有意义，要求，
（１）分母不能为０。
如时
（２）偶次根号下非负。
如时
（３）对数的真数大于０。
如
（４）正切符号下的式子不等于。
（５）余切符号下的式子不等于。
（６）反正弦、反余弦符号下的式子绝对值小于等于1。
例1求函数的定义域。
例2确定函数的定义域。
说明：
根据学生们做题的情况，老师仔细深刻地讲解，加深学生对定义域求解的理解和掌握。
3、函数的表示方法
通过板书结合实例，简述函数的表示方法，并且给出函数让学生用不同的方法表示该函数，加强学生对函数的表示方法的理解。
4、分段函数
分段函数：
对自变量的不同取值范围，函数用不同的表达式。
例如：
符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。
分段函数的定义域：
不同自变量取值范围的并集。
注意：
求分段函数的函数值时，应先确定自变量取值的所在范围，再按照其对应的式子进行计算。
点评：
通过例题的讲解，加深学生对于分段函数的认识
5、函数常见的几种基本特性（课件展示，板书辅助）
函数常见的四种基本特性：
奇偶性，周期性，单调性，有界性。
讲解思路：
（1）给出奇偶函数的图形，对比性地进行讲解；
（2）通过例题讲解，示范最小正周期的求解方法
（3）给出一些函数，提问学生函数是否有界。
三、例题分析
例1的定义域为，值域为。
例2的定义域为，值域为。
例3设，求，和。
解，，。
注意：
求分段函数的函数值时，应先确定自变量取值的所在范围，再按照其对应的式子进行计算。
四、课堂小结
1.函数的定义及函数的二要素：
定义域，对应法则；
2.函数的特性：
有界性，单调性，奇偶性，周期性；
师生互动，提问学生本次课程相关的知识点问题。
（5分钟）
（10分钟）
（10分钟）
（10分钟）
（10分钟）
（10分钟）
（10分钟）
（15分钟）
（10分钟）
思考题、作业题、讨论题：
思考题：
1、确定一个函数需要考虑哪几个基本要素？
[定义域、对应法则]
2、两个函数相同的条件有那些？
[定义域、对应法则都相同时两函数相同]
2、思考函数的几种特性的几何意义？
[奇偶性、单调性、周期性、有界性]
作业题：
P22、1（1,3）；2（1,3）；3（1,3）
课后总结分析：
第2次课学时2
授课题目（章，节）
第一章、函数与极限
§2初等函数、数列的极限
授课类型（请打√）
理论课√□研讨课□习题课□复习课□其他□
教学目的：
1、了解几种基本初等函数，掌握复合函数的概念，会判断函数是否为复合函数；
2、掌握数列的概念，会求解数列的极限以及判断数列极限的收敛性和发散性。
教学方法、手段：
以讲授为主，师生互动、习题训练为辅，板书、课件展示。
教学重点、难点：
重点：
复合函数；数列的极限；
难点：
复合函数的判断；数列极限的求解；
教学内容及过程设计
补充内容和时间分配
一、知识回顾（板书）
采用提问的方式带领学生复习上次课的主要内容。
二、讲授新课
1.基本初等函数（课件展示，板书辅助）
熟记：
六种基本初等函数的定义域、值域、图像、性质。
板书：
结合图形，讲解六种基本初等函数的定义域，值域及性质。
2.复合函数（板书给出）
说明：
（1）并非任意几个函数都能构成复合函数。
如：
y=lnu，u=-就不能构成复合函数。
（2）复合函数的定义域：
各个复合体定义域的交集。
（3）复合函数的分解从外到内进行；复合时，则直接代入消去中间变量即可。
强调：
在求两个函数的复合时，注意中间变量的取舍。
板书：
给出例题，让学生们做练习，加深学生对复合函数的理解和掌握。
复合函数反映了事物联系的复杂性。
3.初等函数
由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合步骤所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数，叫做初等函数；否则，不是初等函数。
说明：
（1）一般分段函数都不是初等函数，但y=︱x︱是初等函数；
（2）初等函数的一般形成方式：
复合运算、四则运算
4.数列的概念（课件展示）
板书：
举出例子，配合讲解数列的概念，引起学生对于数列的极限的意识。
5.数列的极限（课件展示）
根据下面的一个例子引出数列极限的概念。
半径的圆内接正多边形面积，为正多边形的边数，当越来越大时，就越来越接近圆的面积，当无限增大时，就无限接近圆的面积。
这时，我们说以圆的面积为极限。
通过对以下例子的讲解，使学生更进一步地理解数列极限的概念，并且会运用数列极限的概念去解题。
例如：
当时，收敛于0；
当时，收敛于1；
当时，无极限，发散；
当时，时而取0，时而取1，震荡无极限，因而也是发散的。
注意：
数列极限的收敛性。
三、课堂演练
例1、分解下列复合函数；
（1）
（2）
例2、求下列数列的极限并说明其收敛性；
其通项分别为。
四、课堂小结
1、初等函数的结构：
由基本初等函数经过有限四则预算和复合步骤所构成；
2、数列极限：
直观描述，精确定义，几何意义
3、数列的收敛性：
如果一个数列有极限，则称该数列是收敛的，否则称为发散的
（10分钟）
（15分钟）
（15分钟）
（10分钟）
（10分钟）
（15分钟）
（10分钟）
（5分钟）
思考题、作业题、讨论题：
思考题：
举例说明两个任意的函数能够复合成一个函数吗？
作业题：
P22:
4；6；
课后总结分析：
第3次课学时2
授课题目（章，节）
第一章函数与极限
§3数列的左右极限
授课类型（请打√）
理论课√□研讨课□习题课□复习课□其他□
教学目的：
1、掌握函数极限的概念，运用函数极限的概念求函数的极限；
2、理解函数左右极限的的概念，会利用函数左右极限判断函数的极限是否存在。
教学方法、手段：
讲授法，板书、课件展示。
教学重点、难点：
重点：
函数的极限及函数极限的求法；
难点：
左极限与右极限。
教学内容及过程设计
补充内容和时间分配
一、复习基本知识——数列极限
1、数列的概念；
2、数列极限的概念；
二、讲授新课
引例：
函数的图形。
老师通过对引例的讲解，使学生们对函数的极限有一个初步的认识，最后给出极限的定义。
1、当时，函数的极限（课件展示）
（1）函数当趋向于无穷（记为）时的极限，记为
或当时，。
（熟记）
（2）函数当趋向于正无穷（记为）时的极限，记为
或当时，。
（熟记）
（3）函数当趋向于负无穷（记为）时的极限，记为
或当时，。
（熟记）
的充分必要条件是且。
（结论）
注：
无限增大时，函数值无限接近于；
无限减小时，函数值无限接近于。
2、当时，函数的极限
函数当趋向于时的极限，记作
或（熟记）
3、函数左右极限的概念
函数当时的左极限，记为；
函数当时的右极限，记为；
注：
左右极限统称为函数的单侧极限。
函数的极限与左、右极限有以下关系：
的充分必要条件是。
注：
我们主要利用此充要条件来验证某些函数主要是分段函数在分段点处的极限情况。
三、课堂演练
例1：
求下列函数的极限
（1）；
（2）；
（3）；（4）；
例2：
试求函数在和处的极限。
四、课堂小结（师生互动）
1、函数的概念：
趋于无穷时的极限概念，趋于正无穷、负无穷时的极限概念，趋于某一点的极限概念；
2、函数的左右极限。
3、极限是函数的一个局部性质。
（10分钟）
（5分钟）
（20分钟）
（10分钟）
（15分钟）
（20分钟）
（10分钟）
思考题、作业题、讨论题：
思考题：
1、函数在趋于无穷和某一点时，函数的极限在定义上有什么区别？
作业题：
P221.7
（1）-（10）,1.8.
课后总结分析：
第4次课学时2
授课题目（章，节）
第一章函数与极限
§4极限的性质极限的运算
授课类型（请打√）
理论课√□研讨课□习题课□复习课□其他□
教学目的：
1、理解极限的惟一性、有界性、局部保号性、夹逼准则，以及极限性质的推论；
2、熟练掌握函数极限的运算法则，并且会用极限的运算法则求函数的极限。
教学方法、手段：
讲授法，板书，课件展示。
教学重点、难点：
重点：
会利用函数极限的运算法则求函数的极限；
难点：
函数的极限的运算法则。
教学内容及过程设计
补充内容和时间分配
一、复习基础知识——函数的极限（课件展示）
1、函数在不同情况下的极限的概念；（熟记）
2、函数的左右极限。
（理解）
二、讲授新课
1、极限的性质
在讲极限的性质之前，给出两个新的概念：
邻域和去心邻域。
（了解）
开区间称为点的邻域；
开区间称为点的去心邻域，其中。
极限的性质：
（了解）
（1）惟一性；
（2）有界性；
（3）局部保号性；局部保号性的推论；（4）夹逼准则。
根据函数的图形，一一讲解极限的性质，使学生们对函数的极限有更进一步的认识和理解。
2、极限的运算（熟记）
（1）极限的可加（减）性；
（2）极限的可乘性；
（3）极限的可除性。
老师根据例题对上面极限的运算一一进行了讲解，通过对极限运算法则的讲解给出如下折推论。
推论1常数可以提到极限号前，即。
推论2若为正整数，则。
注意：
在不能直接用极限的四则运算法则时，可先考虑将函数适当变形，再考虑能否用极限的四则运算法则。
常用的变形方法有：
通分，约去非零因子，用非零因子同乘或同除分子分母，分子或分母有理化。
三、课堂演练
例1：
求下列函数的极限
（1）；
（2）；
（3）；（4）；
例2：
求下列函数的极限
（1）。
（2）。
四、课堂小结（提问的方式）
1、极限的性质：
惟一性、有界性、局部保号性、夹逼准则；
2、极限的运算法则：
可加（减）性，可乘性，可除性。
（10分钟）
（20分钟）
（20分钟）
5分钟学生消化以上所讲的知识。
（25分钟）
（10分钟）
思考题、作业题、讨论题：
思考题：
在某个过程中，若f（x）有极限、g（x）无极限，那么f（x）+g（x）是否有极限？
为什么？
f（x）-g（x）是否有极限？
作业题：
求下列各极限：
（1）；
（2）；（3）；
（4）；（5）。
课后总结分析：
第5次课学时2
授课题目（章，节）
第一章函数与极限
§5无穷小量与无穷大量
授课类型（请打√）
理论课√□研讨课□习题课□复习课□其他□
教学目的：
1、正确理解无穷小量与无穷大量的概念，了解无穷小量的性质；
2、掌握无穷小量与无穷大量的关系。
教学方法、手段：
讲授法，板书。
教学重点、难点：
重点：
无穷小量与无穷大量的概念及它们的关系；
难点：
无穷小量与无穷大量的关系。
教学内容及过程设计
补充内容和时间分配
一、复习基础知识——极限的性质及运算
1、极限的性质
2、极限的运算
二、新课引入
给出一个函数的图形，生动形象地讲解此函数的极限是趋向于0的，通过讲解引发学生们的思考，引出无穷小量。
三、讲授新课
1、无穷小量
为无穷小量；（理解）
例如：
因为，，所以，均是当时的无穷小。
因为所以均为当时的无穷小。
因为，所以均为当时的无穷小。
注意：
（1）确定是无穷小，需指出的变化趋势；
（2）绝对值很小的常数，不是无穷小，因为这个常数的极限是常数本身并不是零。
（3）常数中只有零是无穷小，因为它的极限为零。
例如是当是的无穷小；而当趋于常数时，不再是无穷小。
2、无穷小量的性质（理解）
（1）无穷小的可加性；
（2）无穷小的可积性；
（3）有界函数与无穷小的可积性；
（4）常数与无穷小的可积性。
老师利用板书通过例题以上面的性质一一进行讲解。
3、无穷大量（课件展示）
。
（无穷大量）
例如，是当时的无穷大，记作；
是当时的无穷大，记作；
是当时的无穷大，记作；
是当时的无穷大，记作。
老师采用提问的方式对以上的例子进行了讲解，并得出以下注意项。
注意：
（1）无穷大不是一个很大的数，它是一个绝对值无限增大的变量。
（2）确定函数是无穷大，需指出自变量的变化趋势，例如函数当时是无穷大；当时，是无穷小。
（3）无穷大必为无界函数；反之无界函数不一定为无穷大。
例如：
当时，是无界函数，但不是无穷大量。
（4）无穷大是极限不存在的一种情形，这里借用极限的符号，但并不表示极限存在。
四、课堂小结（师生互动）
1、无穷小的概念；
2、无穷小的性质；
3、无穷大量的概念。
（10分钟）
（25分钟）
（15分钟）
（25分钟）
5分钟学生消化以上所讲的知识。
（10分钟）
思考题、作业题、讨论题：
思考题：
1、怎样利用无穷小进行等价替换？
课后总结分析：
第6次课学时2
授课题目（章，节）
第一章函数与极限
§6两个重要极限
授课类型（请打√）
理论课√□研讨课□习题课□复习课□其他□
教学目的：
1、了解无论穷小量与无穷大量的关系，掌握无穷小量与无穷大量的比较方法；
2、正确理解函数的两个重要极限，并会用两个重要极限求函数的极限。
教学方法、手段：
讲授法，板书，课件展示。
教学重点、难点：
重点：
无穷小量与无穷大量的比较方法，函数的两个重要极限；
难点：
无穷小量与无穷大量的比较方法，运用函数的两个重要极限。
教学内容及过程设计
补充内容和时间分配
一、复习基本知识——无穷小与无穷大（课件展示）
1、无穷小量的概念；
2、无穷小量的性质；
3、无穷大量的概念。
二、讲授新课
1、无穷小量与无穷大量的关系（作图说明）
结论：
在自变量的同一变化过程中（注意：
在极限符号中省略了自变量的变化趋势），设，若，则，反之，若，则。
老师利用板书通过例题对上述结论做进一步的讲解，使学生对无穷小与无穷大的关系有进一步的理解。
2、无穷小量与无穷大量的比较
结论：
（1）高阶无穷小；
（2）低阶无穷小；
（3）同阶无穷小；
通过给出的例题对无穷小与无穷大的比较仔细讲解，使学生正确理解并会利用。
定理：
如果当时，，，且存在，则也存在，且。
说明：
求两个无穷小之比时，分子、分母均可用等价无穷小替代。
注意：
常见的等价无穷小，当时，有
，，，，等。
强调：
等价无穷小中的，可用含有的表达式代替。
3、两个重要极限（列表说明）（熟记）
（1）
（2）
三、课堂演练
例1求。
例2利用等价无穷小代换定理求下列函数的极限：
（1）；
（2）。
例3计算。
例4计算。
例5计算。
例6计算。
四、课堂小结（提问回答）
1、无穷小与无穷大的关系；
2、无穷小与无穷大的比较；
3、两个重要极限。
（10分钟）
（15分钟）
（15分钟）
5分钟学生消化以上所讲的知识。
（15分钟）
（20分钟）
（10分钟）
思考题、作业题、讨论题：
作业题：
1、求下列函数的极限。
（1）；
（2）；（3）。
2、计算下列函数的极限。
（1）；
（2）；（3）。
课后总结分析：
第7次课学时2
授课题目（章，节）
第一章函数与极限
§7函数的连续性
授课类型（请打√）
理论课√□研讨课□习题课□复习课□其他□
教学目的：
1、了解增量的概念，熟练掌握函数的连续性；
2、正确理解函数的左右连续性，会利用函数的左右连续性判断函数在某一点是否连续。
教学方法、手段：
讲授法，板书，课件展示。
教学重点、难点：
重点：
函数的连续性以及它的左右连续性；
难点：
函数的连续性以及函数的左右连续性。
教学内容及过程设计
补充内容和时间分配
一、复习基础知识——无穷小与无穷大的关系及比较
1、无穷小与无穷大的关系；
2、无穷小量与无穷大量的比较；
3、两个重要极限。
二、导入新课
通过对给出的两个函数的图象（一个是间断的，一个是不间断的）进行的讲解，引出函数增量的概念，从而也引出了函数的连续性。
三、讲授新课
1、增量的概念（课件展示）
注意：
增量可正可负。
当时，说明变量从数值变到数值是增加的；当时，说明变量从数值变到数值是减少的。
称
为函数的增量。
2、函数连续性的概念（课件展示，板书辅助）
定义1：
若，则称函数在点处连续，并且称点为函数的连续点。
定义2：
若，则称函数在处连续。
根据定义2的内容，函数在点连续，需满足如下条件：
（重点且熟记）
①在点及附近有定义；
②存在；在
③。
利用板书给出例题，老师通过例题讲解函数的连续性，使学生们正确掌握函数的连续性，并且会利用函数连续性的定义求解函数的连续性。
3、函数的左右连续性
若（或），
则称函数在点处左连续（或右连续）。
即
。
说明：
如果函数在某一区间上每一点都连续，则称在该区间上连续，或者说是该区间上的连续函数。
注：
连续函数的图像是一条连续而不间断的曲线。
关于函数的连续性有下面三点结论：
（1）基本初等函数在它们的定义区间内，都是连续的；
（2）连续函数的和、差、积、商（分母不能为0）在它的定义区间内，是连续函数；
（3）由连续函数复合而成的函数，在它的定义区间内是连续函数。
三、课堂演练
例1讨论函数在的连续性。
例2求；
例3求；
例4求。
四、课堂小结（师生互动）
1、函数增量的概念；
2、函数连续性的概念；
3、函数的左右连续性，会利用函数的左右连续性函数在某一点是否连续。
（10分钟）
（5分钟）
（10分钟）
（15分钟）
（15分钟）
5分钟学生消化以上所讲的知识。
（20分钟）
（10分钟）
思考题、作业题、讨论题：
思考题：
1、满足函数连续的条件？
课后总结分析：
第8次课学时2
授课题目（章，节）
第一章函数与极限
§8本章小结
授课类型（请打√）
理论课□研讨课□习题课□复习课√□其他□
教学目的：
1、带领学生复习本章所学的知识中，巩固学生对本章知识的理解和运用。
教学方法、手段：
讲授法，板书，课件展示。
教学重点、难点：
重点：
本章所学的知识点；
难点：
会运用本章所学的知识点。
教学内容及过程设计
补充内容和时间分配
一、基本概念
1、函数
升级会员 