傅里叶变换的性质.docx
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傅里叶变换的性质
傅里叶变换的性质本质就是信号的时域运算关系在傅里叶变换域中的体现，也是求解信号傅里叶变换的基本手段。
傅里叶变换具有唯一性。
傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。
讨论傅里叶变换的性质，目的在于：
1.了解特性的内在联系
2.用性质求卩（初
3.了解在通信系统领域中的实用
这些性质在内容和形式上具有某种程度的对称性。
§3.7.1对称性质
1.性质
若何则凤切呎-劲
若沢涉创禺函数则碑）“2血）
2.意义
若/V形状与尺（期冃同，佃T◎
则片@）的频谱函数形状与删状相同，叽幅度差2兀
例3-7-1
磧）◎1孑碑）=1◎2禎创）
例3-7-2
己知凤sgn©]=Z贝-OIffsgnt-ffl）
即！
•―-Kfgn@＞）相移全通网络
t
例3-7-3
z■—►叫
/佃）=彳*+牛）—《—对卜
若0C=2^,则有Sa@M）C盒臂（魂度为込的方波
§3.7.2线性
1.性质
窃C㈠E9），加）—耳（幼
则©o甘@）+乞码9）s勺为常数
2.说明
这个性质虽然简单，但实际上是应用最多的。
例3-7-4
§3.7.3奇偶虚实性
奇偶虚实性实际上在§3.4的“傅里叶变换的特殊形式”中已经介绍过。
若gs、贝
证明：
由定义（期
可以得到F[g）]=1>-妒乜=17（咖*©初=只-期
窃（WW硕-
2.若Jf②（妙，则
证明：
设于&）是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）
尸SJ尸SJrf»D
F（妙=丄/（。
纟一耳曲=L川）cosM血-jL『（£）
显然
jR（劲=Lf（F）cos皿#X（劲=Lf（E）siiim（tt
貢佃）=迓（卫）二关于何的偶函数
二关于Q的奇函数
二列-o）=p（fi>）
已知而（7）］"（-创）
§3.7.4尺度变换性质
1.性质：
若橱分盹讽y仙）"訊加为非零函数
2.证明：
因为F|了（闵卜匸/（血h*苗
当«>0,令H=O/
町如卜m：
心rdx=；y（3
当avQ令jc=-|o|£
町3）］=诗匚於产心右匸玲产心話日
综合上述两种情况
3.意义
（1）0
脉冲持续时间增加畀咅，信号变化减缓，信号在频域的频带压缩爲倍。
因此高频分量减少，幅度上升曰倍。
（2）a>l时域压缩，频域扩展目倍。
持续时间短，变化加快。
信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降曰倍。
此例说明：
信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以展开频带为代价。
⑶^=-1/（£）->/（-4
当7（缈）实函数时佃洪觇
佃防偶函数确奇函数
讯制二矶一珂普卫工-®）=Jt（0）-yr（0）=1^（0）
§3.7.5时移特性
性质
荀®分则/©-殆何严；
若尺如）=疗的門司则炖_心）O戸0）|』*归7
幅度频谱无变化，只影响相位频谱,
例3-7-8
求下图所示函数的傅里叶变换。
解：
引入辅助信号皿L如图一
由对称关系求K佃），K（珂二g用
又因为张=叙F
得F何二耳佃M*=GS严
幅频、相频特性分别如下图所示。
1.性质:
若gz®则和虚亠可
2.证明：
（仿的证明过程）
耳（劲=匸/（皿+巧严成
当£>>00寸"设皿+血=兀则1=巴主"虚二丄血
aa
K（Q）=匸/玄丄dx
当时，设_fl£+6=X,则
・J-fi・Qj£b
厂—f.戶
例3-7-9
已知几）“列d）=EtS彳罟）初丑-5刖频谱密度函数。
方法一：
先标度变换，再时延
方法二：
先时延再标度变换
对所有G压缩2；形―匀令辛彳晋F"
两种方法结果相同。
§3.7.7频移特性
1-性质
2.证明
F曲严卜匸［個严片勺“£/（oEf%"佃_叫）
3.
说明
时域f（诵严■频域频诸搬移__右移网）
时域/如严频域频谱搬移—_左移叫
4.应用
通信中调制与解调，频分复用
§3.7.8频移特性
1•性质
畝常数，注意土号
2.证明
F馬严卜匸"（0严片勺2£/（0戶f%"佃F）
3.说明
!
^（0+00）
时域f俩严•频域频谱搬移__右移网）
时域/请严频域频谱搬移一_左移叫
4.应用
通信中调制与解调，频分复用
§3.7.9时域微分性质
1•性质
加》（劲，贝Ijfg丿昨）
_般情况下严（0◎O）沁）
若已知”[尸©],则巩创）二字甲
「幅度乘O昨）珀位増加
2•证明
F（6^ad&>
jT（r）=\匚卩（初4伽1S/F
二f（f）SF（6^]g>=j曲7
即砒⑹二丿网》）
3.特别注意
如果f&）中有确定的直流分量，应先取出直流分量单独求傅里变换，余下部分再用微分性质。
邮科直流-O
2
余下部触（0=啲冷=
§3.1.10频域微分性质
性质:
若短）分巩砒则处）^jdF佃）/ch»
一逍①g（1尸3）/（1的
（-咖严佃）
例3-7-6
已知介2%）,求恥-沁）］=?
解：
町“-2”（刃X［处）-2介）卜j靄-2F（®）
例3-7-7
求叶］
解：
严=严1
1少2禎何）=jF（o）
32屮警］
=0）
.击［2加佃）］
§3.7.11时域积分性质
1•性质
则LF（O）=oat,£/（r）
列0）#00寸丄/（£>/2頑0询》卄
盹）
也可以记作；巩@）・—+^-»）L/®
2•证明
二匚［匸/（r）u（r~r）rfT^e^°r£&二匸/（斗匸谕Y>F%*r=匸加（蜒）+土｝*血=卜&）+—^Q/（rX>T^
=卜&）+丄上/（讼-於血
=屁佃0佃）十—F（o）
7®
其中：
（1）变上限积分用带时移的单位阶跃的无限积分表示，成为于私（M
（2）交换积分顺序先■后J即先求时移的单位阶跃的信号的傅里叶
变换
（3）对积分变量三而言血为常数，移到积分外
（5）如果贰0）=6则第一项为零。
例题一时域积分性质
1.求单位阶跃函数的傅里叶变换。
解:
已知诚3=]眾）山氏幻"]
2.求门函数积分的频谱函数。
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