高等数学课后习题及解答.docx
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高等数学课后习题及解答
高等数学课后习题及解答（总51页）
高等数学课后习题及解答
1.设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c表示2u-3v.
解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c）
=5a-11b+7c.
2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形.
证如图8-1，设四边形ABCD中AC与BD交于M，已知
AM=MC，DM
故
MB.
ABAM
MBMCDM
DC.
即AB
3.把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各
分点与点A连接.试以AB=c,BC=a表向量
证如图8-2，根据题意知
1
D1A,
1
D2A,
D3A,
DA.
4
1
D3D4
BD1
1
a,
5
a,D1D2a,
55
1
D2D3a,
5
故D1A=-（AB
BD1
）=-
a-c
5
D2A=-（AB
DA=-（AB
BD2
BD
）=-
）=-
2a-c
5
3a-c
3
=-（AB
3
BD4
）=-
5
4a-c.
5
4.已知两点M1（0，1，2）和M2（1，-1，0）.试用坐标表示式表示
向量M1M2及-2M1M2.
解M1M2
=（1-0，-1-1，0-2）=（1，-2，-2）.
-2M1M2=-2（1，-2，-2）=（-2，4，4）.
5.求平行于向量a=（6，7，-6）的单位向量.
a
解向量a的单位向量为
，故平行向量a的单位向量为
a
a1
=（6，7，-6）=
6,7,6，
a11111111
其中a
6272
（6）2
11.
6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？
A（1，-2，3），B（2，3，-4），C（2，-3，-4），D（-2，
-3，1）.
解A点在第四卦限，B点在第五卦限，C点在第八卦限，D点在第三卦限.
7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？
指出下列各点的位置：
A（3，4，0），B（0，4，3），C（3，0，0），D（0，
-1，0）.
解在坐标面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中
至少有一个为零，比如xOy面上的点的坐标为（x0，y0，0），xOz面上的点的坐标为（x0，0，z0），yOz面上的点的坐标为（0，y0，z0）.
在坐标轴上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少
有两个为零，比如x轴上的点的坐标为（x0，0，0），y轴上的点的坐标为（0，y0，0），z轴上的点的坐标为（0，0，z0）.
A点在xOy面上，B点在yOz面上，C点在x轴上，D点在y轴
上.
8.求点（a，b，c）关于
（1）各坐标面；
（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标.
解
（1）点（a，b，c）关于xOy面的对称点（a，b，-c），为关于yOz面的对称点为（-a，b，c），关于zOx面的对称点为（a，-b，
c）.
（2）点（a，b，c）关于x轴的对称点为（a，-b，-c），关于y
轴的对称点为（-a，b，-c），关于z轴的对称点为（-a，-b，c）.
（3）点（a，b，c）关于坐标原点的对称点是（-a，-b，-c）.
9.自点P（0x0，y0，z0）分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各
垂足的坐标.
解设空间直角坐标系如图8-3，根据题意，P0F为点P0关于xOz
面的垂线，垂足F坐标为
（x0，0，z0）；P0D为点P0关于xOy面的垂
线，垂足D坐标为
（x0，y0，0）；P0E为点P0关于yOz面的垂线，垂
足E坐标为
（0，y0，zo）.
P0A为点P0关于x轴的垂线，垂足A坐标为
（xo，0,0）；P0B为点
P0关于y轴的垂线，垂足B坐标为
（0,
y0,0）；P0C为点P0关于z轴的
垂线，垂足C坐标为
（0,0,z0）.
11.一边长为a的正方体放置在xOy面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x轴和y轴上，求它各顶点的坐标.
2
解如图8-5，已知AB=a，故OA=OB=a，于是各顶点的坐
2
标分别为A（
2a，0，0），B（（0,
2
22
a，0）），C（-a，0，0），D22
（0，-
2a，0），E（
2
2a，0，a），F（0，
2
2a，a），G（-
2
2a，
2
0，a），H（0，-
2a，a）.
2
12.求点M（4，-3，5）到各坐标轴的距离.
解点M到x轴的距离为d1=
（3）252
34，点M到y
轴的距离为d2=4252
41，点M到z轴的距离为
d3=42
（3）2
255.
13.在yOz面上，求与三点A（3，1，2），B（4，-2，-2），C（0，5，
1）等距离的点.
解所求点在yOz面上，不妨设为P（0，y，z），点P与三点A，
B，C等距离，PA
32（y
1）2
（z2）2,
PB42
（y2）2
（z2）2,
PC（y
5）2
（z1）2.
由PAPBPC知，
32（y
1）2
（z2）2
42（y
2）2
（z2）2
（y5）2（z1）2，
即
解上述方程组，得y=1，z=-2.故所求点坐标为（0，1，-2）.
14.试证明以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.
证由
AB（10
4）2
（11）2
（69）27,
AC（2
BC（2
4）2
10）2
（41）2
（41）2
（39）27,
（36）29872
知AB
2
AC及BC
2
ABAC
2
.故△ABC为等腰直角三角
形.
15.设已知两点为M1（4，2，1），M2（3，0，2），计算向量的模、方向余弦和方向角.
M1M2
解向量
M1M2
=（3-4，0-2，2-1）=（-1，-2，-1），
其模M1M2
（-1）2（-
2）212
42.其方向余弦分
别为cos=-
1
，cos=-
2
21
，cos=.
22
方向角分别为
2,3,.
343
16.设向量的方向余弦分别满足
（1）cos=0；
（2）cos=1；（3）cos=cos=0，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？
17.
18.
解
（1）由cos=0得知，故向量与x轴垂直，平行于
2
yOz面.
（2）由cos=1得知=0，故向量与y轴同向，垂直于xOz面.
（3）由cos=cos=0知，故向量垂直于x轴和y轴，
2
即与z轴平行，垂直于xOy面.
19.设向量r的模是4，它与u轴的夹角为，求r在u轴上的投影.
3
1
解已知|r|=4，则Prjur=|r|cos=4cos
3
=4×
2
=2.
20.一向量的终点在点B（2，-1，7），它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4，-4和7，求这向量的起点A的坐标.
解设A点坐标为（x，y，z），则
AB=（2-x，-1-y，7-z），
由题意知
2-x=4，-1-y=-4，7-z=7，
故x=-2，y=3，z=0，因此A点坐标为（-2，-3，0）.
21.设m=3i+4j+8k，n=2i-4j-7k和p=5i+j-4k.求向量a=4m+3n-p在x轴
上的投影及在y轴上的分向量.
解a=4m+3n-p=4（3i+5j+8k）+3（2i-4j-7k）-（5i+j-4k）
=13i+7j+15k，
a在x轴上的投影为13，在y轴上的分向量为7j.
1.
设a3i
j2k,bi2j
k，求
（1）a
余弦.
b及a
b；
（2）（-
2a）3b及a2b；（3）a,b的夹角的
解
（1）a
b（3，-1，-
2）（1,2，-1）
3
ijk
1（-1）
2（-
2）（-1）3，
ab31
12
2=（5,1,7）.
1
（2）（
2a）3b
6（ab）
6318
a2b2（ab）2（5,1,7）
ab
（10,2,14）
3
（3cos（a,b）
ab
3
32（
3
1）2
（2）212
22（
1）2
146221
2.设a,b,c为单位向量，满足abc
0,求abbc
ca.
解已知abc1,abc0,
故（a
bc）（a
b
c）0.
22
即ab
c
2ab
2bc
2ca
0.因此
abbcca
122
（ab2
23
c）-2
3.已知M1（1，-1，2），M2（3,3,1）M3（3,1,3）.求与同时垂直的单位向量.
M1M2,M2M3
解M1M
2=（3-1,3-（-1）,1-2）=（2，4，-1）
M2M3
=（3-3,1-3,3-1）=（0，-2，2）
由于M1M2
取为
M2M3
与M1M
2,M
2M3
同时垂直，故所求向量可
a（M1M2
M2M3）
，
M1M2M2M3
由M1M2
i
M2M3=2
0
jk
41=（6，-4，-4），
22
M1M2
知a
M2M36
1（6,4,4）
（4）2（
（3,
4）2
2,
68
2）.
217
217171717
4.设质量为100kg的物体从点M1（3,1,8）沿直线移动到点M2（1,4,2），计算重力所作的功（坐标系长度单位为m，重力方向为z轴负方向）.
解M1M
2=（1-3,4-1,2-8）=（-2，3，-6）
F=（0,0，-100×）=（0,0，-980）
W=F?
M1M
2=（0,0，-980）（-2,3，-6）=588（0
J）.
5.在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为x1的点P1处，有一与
OP1
成角1的力F1作用着；在O的另一侧与点O的距离为x2的点P2处，
有一与
OP2
成角2的力F2作用着（图8-6），问1，2，x1，x2，F1,F2
符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？
解如图8-6，已知有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零，又由对力矩正负符号的规定可得杠杆保持平衡的条件为
F1
即F1
x1sin1
x1sin1
F2x2F2x2
sinsin
20，
2.
6.求向量a
（4，-
3,4）在向量b
（2,2,1）上的投影.
ab（4,
3,4）（2,2,1）6
解Pr
jba
b
2.
2222123
7.设a
（3,5,
2）,b
（2,1,4）
，问与有怎样的关系，能使
ab与z轴垂直？
解ab=（3,5，-2）+（2,1,4）
=（3
2,5
24）.
要ab与z轴垂直，即要（ab）（0,0,1），即
（
a
b）（0，0,1）=0，
亦即
（3
2
5
2
4）（0,0,1）=0，
故（2
4）=0，因此2时能使a
b与z轴垂直.
8.试用向量证明直径所对的圆周角是直角.
证如图8-7，设AB是圆O的直径，C点在圆周上，要证∠ACB=，
2
只要证明ACBC0即可.由
ACBC
=（AO
OC）
（BO
OC）
=AOBO
AOOC
2
OCBOOC
2
=AO
AOOC
AOOC
2
OC0.
故ACBC,∠ACB为直角.
9.已知向量a
2i3j
k,bi
j3k和c
i2j
，计算：
（1）（a
b）c
（ac）b
（2）（a
b）（bc）
（3）（a
b）c
解
（1）
（ab）c
（ac）b
8（1,
2,0）
8（1,
1,3）
（0,8,
24）
8i24k.
（2）a
b=（2，-3,1
）+（1，-1,3）=（3，-4,4），
b
c=（1，-1,3
）+（1，-2,0）=（2，-3,3），
i
jk
（a
b）
（b
c）
3
4
4
（0,
1,
1）
j
k.
2
3
3
i
j
k
OA
OB
1
0
3
（
3,
3,1），
0
1
3
而由行列式的性质知
axayaz
bxbybz
cxcycz
bxby
cxcy
axay
bzcxcz=axazbx
cycz
ayaz，故
bybz
（ab）c
（bc）a
（ca）b.
12.试用向量证明不等式：
2222
1231
23a1b1
a2b2
a3b3，
其中a1,a2,a3,b1,b2,b3为任意实数.并指出等号成立的条件.证设向量a（a1,a2,a3），b（b1,b2,b3）.
由ab
abcos（a,b）
ab，从而
a1b1
a2b2
a3b3
22
a1a2
a1
222
a3b1b2
a2a3
2
b3，
当a1,a2,a3与b1,b2,b3成比例，即
b1b2
时，上述等式成立.
b3
1.求过点（3,0，-1）且与平面3x7y
程.
解所求平面与已知平面3x7y
5z12
5z12
0平行的平面方
0平行.因此所
求平面的法向量可取为n=（3，-7，5），设所求平面为
3x7y5zD0.
将点（3，0，-1）代入上式得D=-4.故所求平面方程为
3x7y5z40.
2.求过点M0（2，9，-6）且与连接坐标原点及点M0的线段OM0垂直的平面方程.
解OM0
（2,9,
6）.所求平面与
OM0
垂直，可取n=OM0，
设所求平面方程为
2x9y
6zD0.
将点M0（2，9，-6）代入上式得D=-121.故所求平面方程为
2x9y6z1210.
3.求过（1，1，-1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程.
x1y1
z1
0，得x3y2z0，
即为所求平面方程.
注设M（x,y,z）为平面上任意一点，Mi
（xi,
yi,zi
）（i
1,2,3）为
平面上已知点.由M1M
（M1M2
M1M3）
0,即
xx1
x2x1
x3x1
y
y1
y2y1
y3y1
zz
z1
z2z10,
z3z1
它就表示过已知三点Mi（i=1,2,3）的平面方程.
4.指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：
（1）x=0;
（2）3y-1=0;
（3）2x-3y-6=0;（4）x-3y=0;
（5）y+z=1;（6）x-2z=0;
（7）6x+5y-z=0.
解
（1）—（7）的平面分别如图8—8（a）—（g）.
（1）x=0表示yOz坐标面.
（2）3y-1=0表示过点（
0,1,0）且与y轴垂直的平面.
3
（3）2x-3y-6=0表示与z轴平行的平面.
（4）x-3y=0表示过z轴的平面.
（5）y+z=1表示平行于x轴的平面.
（6）x-2z=0表示过y轴的平面.
（7）6x+5y-z=0表示过原点的平面.
5.求平面2x2yz50与各坐标面的夹角的余弦.
解平面的法向量为n=（2，-2，1），设平面与三个坐标面xOy，
yOz，zOx的夹角分别为
1,2,
3.则根据平面的方向余弦知
cos
cosnk（2,
2,1）（0,0,1）1,
nk22
（2）2
1213
cos2
cos
ni（2,ni
2,1）
3
（1,0,0）2,
13
cos3
cos
nj（2,
nj
2,1）
3
（0,1,0）2
.
13
6.一平面过点（1，0，-1）且平行于向量a
试求这个平面方程.
（2,1,1）和b
（1,
1,0），
解所求平面平行于向量a和b，可取平面的法向量
i
j
k
n
a
b
2
1
1
（1,1,
3）.
1
1
0
故所求平面为1（x1）
1（y0）
3（z1）
0，即
xy3z40.
7.求三平面x3y
交点.
z1,2x
y
z0,x
2y2z3的
解联立三平面方程
x3y2xy
x2y
zz1,
z0,
2z3.
解此方程组得x
1,y
1,z
3.故所求交点为（1，-1，3）.
8.分别按下列条件求平面方程：
（1）平行于xOz面且经过点（2，-5，3）；
（2）通过z轴和点（-3，1，-2）；
（3）平行于x轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）.
解
（1）所求平面平行于xOz面，故设所求平面方程为
ByD
0.将点（2，-5，3）代入，得
5BD
0，即
D5B.
因此所求平面方程为
By5B
0，即y50.
（2）所求平面过z轴，故设所求平面为AxBy0.将点（-3，1，
-2）代入，得
3AB
0，即
B3A.
因此所求平面方程为
Ax3Ay
0，即x3y0.
（3）
所求平面平行于x轴，故设所求平面方程为ByCzD0.
将点（4，0，-2）及（5，1，7）分别代入方程得
2CD0及
CD,B2
B7CD0.
9D.
2
因此，所求平面方程为
9Dy
2
DzD0，2
即9yz20.
9.求点（1,2,1）到平面x
2y2z10
0的距离.
解利用点的距离公式
M0（x0,
yo,zo）
到平面Ax
ByCzD0
dAx0
By0Cz0D
A2B2C2
122
21103
1.
1222223
x3y
1.求过点（4，-1，3）且平行于直线
21
z1的直线方程.
5
解所求直线与已知直线平行，故所求直线的方向向量
s（2,1,5），直线方程即为
x4y1z3
.
215
2.求过两点
M1（3,
2,1）和M2（
1,0,2）的直线方程.
解取所求直线的方向向量
sM1M2
（13,0
（2）,21）
（4,2,1），
因此所求直线方程为
x3y2z1
.
421
3.用对称式方程及参数方程表示直线
xy
2xy
z1,
z4.
解根据题意可知已知直线的方向向量
ijk
s111
（2,1,3）.
211
取x=0，代入直线方程得
yz1,
yz4.
35
解得y
3,z
2
5.这
2
样就得到直线经过的一点（
0,,
2
）.因此直线的对称式方程为
2
参数方程为
35
x0y2z2
213
x2t,
y3t,2
zz53t.
2
注由于所取的直线上的点可以不同，因此所得到的直线对称式方程或参数方程得表达式也可以是不同的.
4.求过点（2，0，-3）且与直线
x2y
3x5y
4z70,
2z10
垂直的平面方程.
解根据题意，所求平面的法向量可取已
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