B,但如果A+B>10,000，则该笔钱就没收。
问该博弈的纳什均衡是什么？
如果你是其中一个博弈方，你会选择什么数额？
为什么？
答十、纳什均衡有无数个。
最可能的结果是（5000,5000）这个聚点均衡。
9、北方航空公司和新华航空公司分享了从北京到南方冬天度假胜地的市场。
如果它们合作，各获得500000
元的垄断利润，但不受限制的竞争会使每一方的利润降至60000元。
如果一方在价格决策方面选择合作而
另一方却选择降低价格，则合作的厂商获利将为零，竞争厂商将获利900000元。
（1）将这一市场用囚徒困境的博弈加以表示。
（2）解释为什么均衡结果可能是两家公司都选择竞争性策略。
答：
（1）用囚徒困境的博弈表示如下表：
北方航空公司
合作
竞争
新华航空公司
合作
500000,500000
0,900000
竞争
900000,0
60000,60000
（2）如果新华航空公司选择竞争，则北方航空公司也会选择竞争（60000>0）;若新华航空公司选择合
作，北方航空公司仍会选择竞争（900000>500000）若北方航空公司选择竞争，新华航空公司也将选择竞
争（60000>0）;若北方航空公司选择合作，新华航空公司仍会选择竞争（900000>0）。
由于双方总偏好竞争,
故均衡结果为两家公司都选择竞争性策略，每一家公司所获利润均为600000元。
12、设啤酒市场上有两家厂商，各自选择是生产高价啤酒还是低价啤酒，相应的利润（单位：
万元）由下图的得益矩阵给出：
厂商U
低价高价
（1）有哪些结果是纳什均衡？
（2）两厂商合作的结果是什么？
答
（1）（低价，高价），（高价，低价）
（2）（低价，高价）
13、A、B两企业利用广告进行竞争。
若AB两企业都做广告，在未来销售中，A企业可以获得20万元利润，B企业可获得8万元利润；若A企业做广告，B企业不做广告，A企业可获得25万元利润，B企业可获得2万元利润；若A企业不做广告，B企业做广告，A企业可获得10万元利润，B企业可获得12万元利润；若A、B两企业都不做广告，A企业可获得30万元利润，B企业可获得6万元利润。
（1）画出AB两企业的支付矩阵。
（2）求纳什均衡。
3.答：
（1）由题目中所提供的信息，可画出A、B两企业的支付矩阵（如下表）。
B企业
做广告
不做广告
A企业
做广告
20，8
25，2
不做广告
10，12
30，6
（2）因为这是一个简单的完全信息静态博弈，对于纯策纳什均衡解可运用划横线法求解。
如果A厂商做广告，则B厂商的最优选择是做广告，因为做广告所获得的利润8大于不做广告获得的
利润2,故在8下面划一横线。
如果A厂商不做广告，则B厂商的最优选择也是做广告，因为做广告获得的利润为12，而不做广告的利润为6,故在12下面划一横线。
如果B厂商做广告，则A厂商的最优选择是做广告，因为做广告获得的利润20大于不做广告所获得的
利润10，故在20下面划一横线。
如果B厂商不做广告，A厂商的最优选择是不做广告，因为不做广告获得的利润30大于做广告所获得的利润25，故在30下面划一横线。
在本题中不存在混合策略的纳什均衡解，因此，最终的纯策略纳什均衡就是AB两厂商都做广告。
15、求出下面博弈的纳什均衡（含纯策略和混合策略）。
乙
Q=a+d-b-c=7,q=d-b=4,R=0+5-8-6=-9,r=-1
可得混合策略Nash均衡（（18）（-3）9‘9'7'7
16、某产品市场上有两个厂商，各自都可以选择高质量，还是低质量。
相应的利润由如下得益矩阵给出:
（1）该博弈是否存在纳什均衡？
如果存在的话，哪些结果是纳什均衡？
参考答案:
由划线法可知，该矩阵博弈有两个纯策略
Nash均衡，即（低质量，高质量），（高质量，低质量）
乙企业
因此该问题的混合纳什均衡为（（空85）（_63空））。
97‘97'138'138
17、甲、乙两企业分属两个国家，在开发某种新产品方面有如下收益矩阵表示的博弈关系。
试求出该博弈的纳什均衡。
如果乙企业所在国政府想保护本国企业利益，可以采取什么措施？
甲企业
解：
用划线法找岀问题的纯策略纳什均衡点
所以可知该问题有两个纯策略纳什均衡点
乙企业
开发
不开发
开发
-10,-10
100,0
不开发
0,100
0,0
二10,-10100,01
[0,1000,0一
（开发，不开发）和（不开发，开发）
101101
该博弈还有一个混合的纳什均衡（（10,丄）,（匕，丄））
11111111
开发，开发）成为该博弈的唯一纳什均衡点，只需a>10。
此时乙企业的收益为100+a
18、博弈的收益矩阵如下表:
乙
左
右
甲
上
a，b
c，d
下
e，f
g，h
（1）如果（上，左）是占优策略均衡，贝Ua、b、c、d、e、f、g、h之间必然满足哪些关系？
（尽量
把所有必要的关系式都写岀来）
（2）如果（上，左）是纳什均衡，则
（1）中的关系式哪些必须满足？
（3）如果（上，左）是占优策略均衡，那么它是否必定是纳什均衡？
为什么？
（4）在什么情况下，纯战略纳什均衡不存在？
答：
（1）ae，cg，bd，f.h。
本题另外一个思考角度是从占优策略均衡的定义出发。
对
乙而言，占优策略为（b,f）-（d,h）;而对甲而言，占优策略为（a,c）（e,g）。
综合起来可得到所需结论。
（2）纳什均衡只需满足：
甲选上的策略时，bd，同时乙选左的策略时，a.e。
故本题中纳什均
衡的条件为：
bd，a.e。
（3）占优策略均衡一定是纳什均衡，因为占优策略均衡的条件包含了纳什均衡的条件。
（4）当对每一方来说，任意一种策略组合都不满足纳什均衡时，纯战略纳什均衡就不存在。
19、Smith和John玩数字匹配游戏，每个人选择1、2、3，如果数字相同，John给Smith3美元，如果
不同，Smith给John1美元。
（1）列岀收益矩阵。
（2）如果参与者以1/3的概率选择每一个数字，证明该混合策略存在一个纳什均衡，它为多少？
答：
（1）此博弈的收益矩阵如下表。
该博弈是零和博弈，无纳什均衡。
John
1
2
3
Smith
1
3,-3
-1，1
-1，1
2
-1，1
3，-3
-1，1
3
-1，1
-1，1
3，-3
（2）Smith选（1/3，1/3，1/3）的混合概率时,
John选1的效用为：
1111
U1（-3）11=
3333
John选2的效用为：
1111
U21（-3）1=
3333
John选3的效用为：
1111
U311（-3）:
3333
类似地，John选（1/3，1/3，1/3）的混合概率时,
1111
Smith选1的效用为：
U13（-1）（_1）：
3333
1111
Smith选2的效用为：
U：
（-1）3（_1）：
3333
1111
Smith选3的效用为：
U3（-1）（一1）3-
3333
因为U1=U2=U3，U1=U2=U3，所以：
1111111,1
（,,）,（,,）是纳什均衡，策略值分别为John:
U;Smith:
U
^33333333
20、假设双头垄断企业的成本函数分别为：
G=20Q1，C2=2Q?
，市场需求曲线为P=400-2Q，其
中，Q=Q1Q2。
（1）求出古诺（Cournot）均衡情况下的产量、价格和利润，求出各自的反应和等利润曲线，并图示
均衡点。
（2）求出斯塔克博格（Stackelberg）均衡情况下的产量、价格和利润，并以图形表示。
（3）说明导致上述两种均衡结果差异的原因。
答：
（1）对于垄断企业1来说：
max[400「2（Q1Q2）]Q1「20Q1
=Q1=^21
这是垄断企业1的反应函数。
其等利润曲线为：
二i=380Qi_2QiQ2_2Qf
对垄断企业2来说：
这是垄断企业2的反应函数。
其等利润曲线为：
二2=400Q2_2QiQ2-4Q2
在达到均衡时，有：
（2）当垄断企业I为领导者时，企业2视企业I的产量为既定，其反应函数为:
Q2—50-Qi/4
则企业i的问题可简化为：
利润为：
二i=39200/3，二2=25600/9
该均衡可用下图表示:
企业2领先时可依此类推。
（3）当企业1为领先者时，其获得的利润要比古诺竞争下多。
而企业2获得的利润较少。
这是因为,企业1先行动时，其能考虑企业2的反应，并以此来制定自己的生产计划，而企业2只能被动地接受企业1的既定产量，计划自己的产岀，这是一种“先动优势”
21、在一个由三寡头操纵的垄断市场中，逆需求函数为p=a-qi-q2-q3，这里是企业i的产量。
每一企业生产的单位成本为常数c。
三企业决定各自产量的顺序如下：
（1）企业1首先选择q1>0;
（2）企业2和企业3
观察到q1，然后同时分别选择q2和q3。
试解岀该博弈的子博弈完美纳什均衡。
答：
该博弈分为两个阶段，第一阶段企业1选择产量q1，第二阶段企业2和3观测到q1后，他们之间作一
完全信息的静态博弈。
我们按照逆向递归法对博弈进行求解。
（1）假设企业1已选定产量q1，先进行第二阶段的计算。
设企业2,3的利润函数分别为：
忠2=（a——q2—q3）q2-'Cq2
二3=（a—一q2-'q3）q2-'Cq3
由于两企业均要追求利润最大，故对以上两式分别求一阶条件：
二2
^_q1_2q2_q30
（1）
耳2
_=a-q1-q2-2q3_c=0
（2）
.:
q3
求解
（1）、
（2）组成的方程组有：
**-q1-c
（3）
q2-q3-
3
（2）现进行第一阶段的博弈分析：
对与企业1，其利润函数为；
二1=（a-q1~^2「q3）q1~cq1
将（3）代入可得：
q^a—q1—c）
1一3
（4）
式（4）对q1求导：
=a_2q1_c=0
-■q1
解得:
此时，北=丄心一c）2
12
（3）将式（5）代回（3）和（4）有该博弈的子博弈完美纳什均衡:
*1**1
qi=_（a-c）,q2=q3=—（a—c）
2一
25、某寡头垄断市场上有两个厂商，总成本均为自身产量的20倍，市场需求函数为Q=200-P°
求
（1）若两个厂商同时决定产量，产量分别是多少？
（2）若两个厂商达成协议垄断市场，共同安排产量，则各自的利润情况如何？
答：
（1）分别求反应函数，180-2Q1-Q2=0，180-Q1-2Q2=0，Q仁Q2=60
（2）200-2Q=20，Q=90,Q1=Q2=45
26、一个工人给一个老板干活，工资标准是100元。
工人可以选择是否偷懒，老板则选择是否克扣工资。
假设工人不偷懒有相当于50元的负效用，老板想克扣工资则总有借口扣掉60元工资，工人不偷懒老板
有150元产出，而工人偷懒时老板只有80元产出，但老板在支付工资之前无法知道实际产出，这些情况
双方都知道。
请问：
（1）如果老板完全能够看岀工人是否偷懒，博弈属于哪种类型？
用得益矩阵或扩展形表示该博弈并作简单分析。
（2）如果老板无法看岀工人是否偷懒，博弈属于哪种类型？
用得益矩阵或扩展形表示该博弈并作简单分析。
（1）完全信息动态博弈。
博弈结果应该是工人偷懒，老板克扣。
（2）完全信息静态博弈，结果仍然是工人偷懒，老板克扣
27、举一个你在现实生活中遇到的囚犯两难困境的例子。
答：
在校园的人行道交叉路口，无需红绿灯。
现在两人分别骑车从东西方向和南北方向通过路口。
若
同时往前冲，必定相撞，各自支付为（-2，-2）；若同时停下，都不能按时前进，支付为（0,0）;若一人
前进一人停下，支付为（2，0）或（0,2）。
相应的策略和支付矩阵如下表。
（1）求岀该博弈问题的均衡解，是占优策略均衡还是纳什均衡？
（2）存在帕累托改进吗？
如果存在，在什么条件下可以实现？
福利增量是多少？
（3）如何改变上述AB企业的收益才能使均衡成为纳什均衡或占优策略均衡？
如何改变上述A、B企业的收益才能使该博弈不存在均衡？
答：
（1）有两个纳什均衡，即（啤酒，白酒）、（白酒，啤酒），都是纳什均衡而不是占优策略均衡。
（2）显然，（白酒，啤酒）是最佳均衡，此时双方均获得其最大收益。
若均衡解为（啤酒，白酒），则存在帕累托改善的可能。
方法是双方沟通，共同做岀理性选择，也可由一方向另一方支付报酬。
福利由
800+900变为900+1000,增量为200。
（3）如将（啤酒，白酒）支付改为（1000，1100），则（啤酒，白酒）就成为占优策略均衡。
比如将（啤酒，白酒）支付改为（800，500），将（白酒，啤酒）支付改为（900，500），则该博弈就不存在任何
占优策略均衡或纳什均衡。
30、在纳税检查的博弈中，假设A为应纳税款，C为检查成本，F是偷税罚款，且C（1）写岀支付矩阵。
（2）分析混合策略纳什均衡。
答：
（1）该博弈的支付矩阵如下表：
纳税人
逃税
不逃税
税收机关
检查
A-C+F，-A-F
A-C,-A
不检查
0,0
A,-A
（2）先分析税收检查边际：
因为S为税务机关检查的概率，E为纳税人逃税的概率。
给定E,税收机
关选择检查与否的期望收益为：
K（1,E）=（A_CF）E（A_C）（1_E）=EFA_C
K（0,E）=0EA（1-E）A（1-E）
解K（1,E）=K（0,E），得：
E=C/（AF）。
如果纳税人逃税概率小于E,税收机关的最优决策是不检查，否则是检查。
再分析逃税边际：
给定S,纳税人选择逃税与否的期望收益是：
K（S,1）=（-A-F）S0（1-S）--（AF）S
K（S,0）--AS（-A）（1-S）--A
解K（S,1）=K（S,0），得：
S=A/（A-F）。
即如果税收机关检查的概率小于S,纳税人的最优选择是
逃税，否则是交税。
因此，混合纳什均衡是（S，E），即税收机关以S的概率查税，而纳税人以E的概率逃税。
31、判断下列说法正确：
（1）斯塔克博格产量领导者所获得的利润的下限是古诺均衡下它得到的利润。
（2）由于两个罪犯只打算犯罪一次，所以被捕后才出现了不合作的问题即囚徒困境。
但如果他们打算重复合伙多次，比如说20次，那么对策论预测他们将采取彼此合作的态度，即谁都不招供。
答：
（1）正确。
在斯塔克博格模型中，领导者可以根据跟随者的反应曲线来制定自己的最优产量。
其利润一定不会小于古诺均衡下的利润，否则，领导者将采取古诺博弈中双方同时行动的策略而获得古诺均衡的利润。
（2）错误。
只要两囚犯只打算合作有限次，其最优策略均为招供。
比如最后一次合谋，两小偷被抓住了，因为将来没有合作机会了，最优策略均为招供。
回退到倒数第二次，既然已经知道下次不会合作，这次为什么要合作呢。
依此类推，对于有限次内的任何一次，两小偷均不可能合作。
34、假设古诺的双寡头模型中双寡头面临如下一条线性需求曲线：
P=30-Q
2
TRi=PQi=（30-Q）Qi=30Q-Qi-Q1Q2
其中Q为两厂商的总产量，即Q=Q+Q。
再假设边际成本为零，即
MOMO0
解释并讨论此例的纳斯均衡，为什么其均衡是一种囚徒困境。
厂商1的总收益TR由下式给出：
2
TRi=PQi=（30-Q）Qi=30Q-Qi-Q1Q2
厂商i的边际收益MR为：
MR=30-2Qi-Q2
利用利润最大化条件MR=MC=0，得厂商i的反应函数（reactionfunction）或反应曲线为：
Q=i5-0.5Q2（6-1）
同理可得厂商2的反应曲线为：
Q=15-0.5Qi（6-2）
均衡产量水平就是两反应曲线交点Q和Q的值，即方程组6-1和6-2的解。
可以求得古诺均衡时的均
衡产量水平为：
Q=Q=10。
因此，在本例中，两个寡头的总产量Q为Q+Q=20,均衡价格为P=30-Q=10o
刚才我们讨论了两寡头厂商相互竞争时的均衡产量。
现在我们放松第（6）条不能串谋的假设，假定两
寡头可以串谋。
它们能共同确定产量以使总利润最大化。
这时，两厂商的总收益TR为：
TR=PQ=（30-Q）Q=30Q-Q
其边际收益MR为：
MR=30-2Q
根据利润最大化条件MR=MC=,0可以求得当Q=15时总利润最大。
如果两厂商同意平分利润，每个寡头厂商将各生产总产量的一半，即Q=Q=7.5。
其实，任何相加为15的产量Q和Q的组合都使总利润最大化，因
此，把Q+Q=15称为契约曲线，而Q=Q=7.5是契约曲线上的一个点。
我们还可以求得当价格等于边际成本时，Q=Q=15，各厂商的利润为零。
35、两家电视台竞争周末黄金时段晚8点到10点的收视率，可选择把较好的节目放在前面还是后面。
他们决
前面后面
策的不同组合导致收视率如下:
（1）如果两家是同时决策，有纳什均衡吗？
有（前面，后面）
前血
电挽含1
后面
电袍
前面
18,【
8
23,20
台2
L而
Aj11U
"^7""2:
*
Id*1<5
电視台1
前面后面
电观
前面
£18
23,
20
台2
后面
4-
16,
16
（2）如果双方采用规避风险的策略，均衡的结果是什么？
此题应用的思想是最大最小收益法：
也就是说，在对手采取策略时，所获得的最小收益中的最大值。
电视台1:
对方采取前面战略的最小收益为18
对方采取后面战略的最小收益为16
固电视台1会选择收益为18的战略——前面
（4）如果两家谈判合作，电视台1许诺将好节目放在前面，这许诺可信吗？
结果能是什么?
电视台1许诺将好节目放在前面的许诺不可信。
因为电视台2，前面为占优策略，
而在电视台2，选择前面的时候，电视台1选择后面的收益要大于前面的收益。
所以，最终结果为（前面，后面）
36、如果将如下的囚徒困境博弈重复进行无穷次，惩罚机制为触发策略，贴现因子为5。
试问5应满足
什么条件，才存在子博弈完美纳什均衡？
坦白
不坦白
坦白
4,4
0,5
不坦白
5,0
1,1
参考答案：
由划线法求得该博弈的纯策略纳什均衡点为（不坦白，不坦白），均衡结果为（1,1），采用触发策略，局中人
i的策略组合s的最好反应支付
©（s）=maxp（s丄sJ=5,Pi（s*）=4,R（sc）=1。
若存在子博弈完美纳什均衡,
si®
必须满足：
■**
一i（s*），即只有当贴现因子、;>1/4时，才存在子博弈完美纳什均
升级会员 