苏州市高新区二中初三数学二模试题及答案.docx

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苏州市高新区二中初三数学二模试题及答案

2016-2017学年第二学期自主检测二试卷

初三数学

注意事项：

1．本试卷共三大题，28小题，满分130分，考试时间120分钟；

2．答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相对应的位置上；

3．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题（作图可用铅笔）；

4．考生答题必须写在答题卡上，答在试卷和草稿纸上一律无效．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．比1小2的数是（▲）

A．－1B．1C．－2D．

2．长江是中国第一长河，是世界第三长，中国科学院利用卫星遥感影像测量计算，测出长

江长度为6397000米．6397000这个数字用科学记数法表示为（▲）

A．6．397×104B．6．397×105C．6．397×106D．6．397×107

3．下列各式计算正确的是（▲）

A．a+2a=3a2B．（－a3）2=a6C．a3·a2=a6D．（a-b）2=a2－b2

4．如图，直线a∥b，∠1＝70°，那么∠2等于（▲）

A．30°B．70°

C．110°D．130°

5．将直线y=－2x向下平移两个单位，所得的直线是（▲）

A．y=－2x+2B．y=－2x－2

C．y=－2（x－2）D．y=－2（x+2）

6．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，

若半径为5，OD＝3，则弦AB的长为（▲）

A．5B．6

C．7D．8

7．二次函数

的图像的顶点在（▲）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8．在坐标系中，已知四个点，坐标分别为A1（1，0），A2（2，0），B1（0，1），B2（0，2），

在A1、A2和B1、B2中分别各取一个点，与原点O连接构成三角形，则所得三角形是

等腰三角形的概率是（▲）

A．

B．

C．

D．

9．若关于x的方程4x－m＋2＝3x－l的解为正数，则m的取值范围是（▲）

A．m>－1B．m>－3C．m>3D．m<3

10．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC，

∠ABC=∠ADC=70°，则∠DAO+∠DCO的度数是（▲）

A．130°B．140°

C．150°D．160°

（第10题）

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

11．函数y＝

中，自变量x的取值范围是▲．

12．一元二次方程

的解是▲．

13．因式分解：

a2－4＝▲

14．一组数据：

3，4，5，6，6，6的众数是▲．

15．如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠BCD＝40°，则∠ABD的度数为▲°．

16．在△ABC中，∠C=90°，AB=10，点D在AB边上，且CD=BD，则CD的长为▲．

（第16题）（第18题）

17．如图，Rt△ABC放置在第二象限内，AC⊥x轴，已知∠ABC＝90°，OC＝3，OB＝4．则点A的纵坐标是▲

18.如图,正方形OABC的边长为4,以O为圆心,EF为直径的半圆经过点A,连接AE,CF相交于点P,将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始,绕着点O逆时针旋转90∘,交点P运动的路径长是▲

三、解答题（本大题共10小题，共76分，应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明）

19．（本题共6分）计算：

．

20．（本题共6分）解不等式组

．

21．（本题共6分）先化简，再求值：

，其中a＝

．

22．（本题共6分）解分式方程：

．

23．（本题共8分）如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，

连接BD，CE交于点F．

（1）求证：

△AEC≌△ADB；

（2）若AB=2，∠BAC=45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．

24．（本题共8分）教育行政部门规定初中生每天户外活动的平均时间不少于1小时，为了解学生户外活动的情况，随机地对部分学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）在这次调查中共调查的学生人数为▲．

（2）若我市共有初中生约14000名，试估计我市符合教育行政部门规定的活动时间的学生数；

（3）试通过对抽样数据的分析计算，说明我市初中生参加户外活动的平均时间是否符合教育行政部门的要求？

25．（本题共8分）如图，要测量旗杆AB的高度，在地面C点处测得旗杆顶部A点的仰角为45°，

从C点向外走2米到D点处，（B、C、D三点在同一直线上）测得旗杆顶部A点的仰角为30°，

求旗杆AB的高度（结果保留根号）．

26．（本题共8分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，O是BC上一点，以点O为圆心，

OB长为半径作圆，恰好经过点A，并与BC交于点D．

（1）判断直线CA与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AB=

，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

27．（本题共10分）如图，已知

，⊙O与

，

都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与

，

重合，AB=4

cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿

同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm/s，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）

（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为　°；

（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；

（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．

28．（本题共10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=

x﹣1与抛物线y=﹣

x2+bx+c交于A，B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为﹣8，点P是直线AB上方的抛物线上的一动点（不与点A，B重合）．

（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）连接PA、PB，在点P运动过程中，是否存在某一位置，使△PAB恰好是一个以点P为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）过P作PD∥y轴交直线AB于点D，以PD为直径作⊙E，求⊙E在直线AB上截得的线段的最大长度．

23解：

（1）由旋转的性质得：

△ABC≌△ADE，且AB=AC，

∴AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠DAB，

在△AEC和△ADB中，

，

∴△AEC≌△ADB（SAS）；

（2）∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC=45°，

∴∠DBA=∠BAC=45°，

由

（1）得：

AB=AD，

∴∠DBA=∠BDA=45°，

∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形，

∴BD2=2AB2，即BD=2

，

∴AD=DF=FC=AC=AB=2，

∴BF=BD﹣DF=2

﹣2．

25解：

（1）把A（m，3）代入直线解析式得：

3=

m+2，即m=2，

∴A（2，3），

把A坐标代入y=

，得k=6，

则双曲线解析式为y=

；

（2）对于直线y=

x+2，令y=0，得到x=﹣4，即C（﹣4，0），

设P（x，0），可得PC=|x+4|，

∵△ACP面积为3，

∴

|x+4|•3=3，即|x+4|=2，

解得：

x=﹣2或x=﹣6，

则P坐标为（﹣2，0）或（﹣6，0）．

解答：

（1）∵l1⊥l2,O与l1,l2都相切，

∴∠OAD=45∘，

∵AB=43√cm，AD=4cm，

∴CD=43√cm，

∴tan∠DAC=CDAD=43√4=3√，

∴∠DAC=60∘，

∴∠OAC的度数为：

∠OAD+∠DAC=105∘，

故答案为：

105；

（2）如图位置二,当O1,A1,C1恰好在同一直线上时,设O1与l1的切点为E，

连接O1E,可得O1E=2,O1E⊥l1，

在Rt△A1D1C1中,∵A1D1=4,C1D1=43√，

∴tan∠C1A1D1=3√,∴∠C1A1D1=60∘，

在Rt△A1O1E中,∠O1A1E=∠C1A1D1=60∘，

∴A1E=2tan60∘=23√3，

∵A1E=AA1−OO1−2=t−2，

∴t−2=23√3，

∴t=23√3+2，

∴OO1=3t=23√+6；

（3）①当直线AC与O第一次相切时,设移动时间为t1，

如图位置一,此时O移动到O2的位置,矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置，

设O2与直线l1,A2C2分别相切于点F,G,连接O2F,O2G,O2A2，

∴O2F⊥l1,O2G⊥A2C2，

由

（2）得,∠C2A2D2=60∘,∴∠GA2F=120∘，

∴∠O2A2F=60∘，

在Rt△A2O2F中,O2F=2,∴A2F=23√3，

∵OO2=3t1,AF=AA2+A2F=4t1+23√3，

∴4t1+23√3−3t1=2，

∴t1=2−23√3，

②当直线AC与O第二次相切时,设移动时间为t2，

记第一次相切时为位置一,点O1,A1,C1共线时位置二，第二次相切时为位置三，

由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，

∴23√3+2−（2−23√3）=t2−（23√3+2），

解得：

t2=2+23√，

综上所述,当d<2时,t的取值范围是：

2−23√3

28【解答】解：

（1）∵点A在x轴上，点B的横坐标为﹣8，且在直线y=

x﹣1，

∴A（2，0），B（﹣8，﹣5），

∵点A，B在抛物线y=﹣

x2+bx+c上，

∴0=﹣1+2b+c，﹣16﹣8b+c=﹣5，

∴b=﹣1，c=3，

∴抛物线的解析式为y=﹣

x2﹣x+3；

（2）解：

假设存在这样点P，使△PAB恰好是一个直角三角形，

∵△PAB恰好是一个直角三角形，直线y=

x﹣1与抛物线y=﹣

x2+bx+c交于A、B两点，P为抛物线上的点，

∴只能是∠APB=90°，即AP⊥PB，

∴直线AP和直线PB的斜率乘积等于﹣1，

设P（x，﹣

x2﹣x+3），而A坐标为（2，0），B坐标为（﹣8，﹣5），

∴

×

=﹣1，

∴（x+6）（x﹣4）=﹣16，

解得x=2（舍）或x=﹣4．

∴P（﹣4，3），

∵A（2，0），B（﹣8，﹣5），

∴PA=

=3

，PB=

=4

，

∴PA≠PB，

∴不存在使△PAB恰好是一个以点P为直角顶点的等腰直角三角形；

（3）如图，

∵OA=2，OC=1，

∴AC=

，

∵PD∥OC，

∴∠OCA=∠QDF，

∵∠PFD=∠AOC=90°，

∴△AOC∽△PFD，

∴

=

=

，

∴DF=

PD，

设D（x，

x﹣1），P（x，﹣

x2﹣x+3），

∴PD=﹣

x2﹣x+3﹣

x+1=﹣

x2﹣

x+4，

∴DF=PD=

×（﹣

x2﹣

x+4），

∴当x=﹣3时，DF最大=

×（﹣

×32+

×3+4）=

．

【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求抛物线的解析式，涉及到的知识点主要有，相似三角形的判定和性质，平面坐标系中互相垂直的直线，比例系数的乘积是﹣1，判断出△AOC∽△PFD是解本题的关键．