高斯平面直角坐标.docx

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高斯平面直角坐标

第八章高斯平面直角坐标

§1正形投影的基本公式

一、地图投影的概念

1.投影的必要性及其方法

①投影的必要性：

测量工作的根本任务，是测定地面点的坐标和测绘各种地形图。

因：

1）椭球面上计算复杂；2）地图是画在平面图纸上，故，有必要将椭球面上的坐标、方向、长度投影到平面上。

②投影的方法：

按一定的数学法则，得到如下的解析关系（函数关系）

x＝F1（B，L）

y＝F2（B，L）

式中B，L——椭球面上的大地坐标

x，y——投影平面上的直角坐标

按高斯投影方法得到的平面直角坐标x，y叫高斯平面直角坐标。

2.投影的分类

椭球面是不可展开的曲面（圆柱，圆锥面是可展开曲面）。

若展开成平面，必产生变形。

投影按变形的性质可分为：

等距离投影━投影后地面点见的距离不变

等面积投影━保证投影后面积不变

等角投影━投影后微分范围的形状相似

3.测量采用的投影

测量工作从计算和测图考虑，采用等角投影（又称正形投影、保角投影）。

其便利在于：

1）可把椭球面上的角度，不加改正地转换到平面上。

（注：

椭球面上大地线投影到平面上亦为曲线。

为实用，需将投影的曲线方向改正为两点间弧线方向，称方向改化。

方向改化是在平面上为实用而做的工作，非投影工作。

且：

①改化小，公式简单；②只在等级控制改化，图根控制、测图不顾及）

2）因微分范围内投影前后图形相似，则大比例尺图的图形与实地完全相似，应用方便。

二、正形投影

1.正形投影的特性

有微分三角形如图：

对于保角投影：

A′＝A；B′＝B；C′＝C

所以长度比

故，正形投影在一个点（微分范围）上，各方向长度比相同。

即投影后保持图形相似。

例如下图，对一个任意形状的微小图形，总可以取一个边数极多的中点多边形逼近它，对于正形投影：

但上述特点只在微分范围内成立。

在广大范围内，投影前后图形保持相似是不可能的（否则意味着椭球面可以展开）。

因此，在大范围内，各处的长度比m必定不同。

结论：

正形投影的特性：

长度比m与方向无关，但随点位而异。

2.正形投影基本公式（充要条件）

设椭球面上有无限趋近的两点P1，P2

椭球面上：

P1（B，L）

P2（B＋dB，L＋dL）

大地线长度dS

投影面上：

p1（x，y）

p2（x＋dx，y＋dy）

大地线长度的投影ds

投影长度比为：

下面分别推导上式中dS和ds：

（dS和ds为曲线，但对微分线段，将其看成各自三角形的斜边）

dS2＝（MdB）2＋（NcosBdl）2

＝（MdB）2＋（rdl）2

＝r2[（

dB）2＋（dl）2]

引入等量纬度

，则dq＝（

）dB

（引入等量纬度纯粹为了推导公式方便）

dS2＝r2[（dq）2＋（dl）2]

另：

x＝F1（B，L）

y＝F2（B，L）

因q与B有确定的关系，l与L有确定的关系，所以有：

x＝f1（q，l）

y＝f2（q，l）

微分得：

故：

令：

则：

ds2＝Edq2＋2Fdq.dl＋Gdl2

故：

⑴

由微分三角形知：

所以：

dl＝dq·tanA⑵

将⑵代入⑴得：

欲使投影为正形投影，长度比m应与方向（A）无关。

为此：

令：

F＝0；E＝G

即：

⑶

⑷

则上式为：

（可看出m与方向无关）

由⑶式可解得：

⑸

⑸式代入⑷得：

⑹

⑹式开平方得：

⑺

⑺取正号代入⑸得：

⑻

（注：

⑺式取正号意义是：

选取椭球面和平面坐标轴方向时，要求在经线方向上q增加时，平面上x也增加；沿纬线方向l增加时，y也增加）

故，椭球面到高斯平面上的正形投影公式（柯西黎曼方程）：

（此即正形投影的充分必要条件）

3.证明复变函数x＋iy＝f（q＋il）当f′存在、且≠0时亦为正形投影

证明如下：

基本投影公式x＝F1（B，L）

y＝F2（B，L）

亦可写成x＝f1（q，l）

y＝f2（q，l）

用复变函数形式写出为x＋iy＝f（q＋il）（q＋il—复变数；

）

令x＋iy＝z

q＋il＝u

则z＝f（u）

求导

⑼

⑽

由⑼、⑽式可得

⑾

因z＝x＋iy

故

⑿

⒀

将⑿、⒀式代入⑾式得

⒁

⒁式虚实分开

此即柯西黎曼方程。

证毕。

练习及作业：

1、阅读

§8.1，§8.2

2、理解：

①、投影的必要性及方法。

②、投影的分类及测量采用的投影类型。

③、正形投影的特性。

§2高斯投影及高斯平面直角坐标

一、高斯投影的一般解释及其特性

1.高斯投影的几何意义

高斯投影的几何意义是横轴椭圆柱正形投影。

设想一横椭圆柱面套在椭球上，与某一子午线（称轴子午线或中央子午线）相切。

椭圆柱的中心轴通过椭球中心，且与椭球短轴垂直。

2.高斯投影的特性

①高斯投影是正形投影；

②中央子午线投影后应为x轴，且长度不变。

3.高斯投影的一般解释

轴子午线投影到椭圆柱面上展开为x轴。

以O为投影中心，将赤道上各点投影到椭圆柱面上，为一长度变形直线。

它垂直于x轴，称为y轴。

椭球上任一段大地线S，以O为投影中心在横椭圆柱上投影为s，s≠S。

长度变形m-1恒为正（轴子午线投影除外）。

椭球上大地点P的坐标（B，L），与投影后的坐标（x，y），在B，L和x，y之间建立函数关系，即高斯投影。

将中央子午线东西各一定的经差（6°、3°、1.5°）范围投影到椭圆柱面上，展开后构成高斯平面直角坐标系；每个投影带构成一个独立的坐标系统，各带的计算具有一样性。

4.控制网从椭球面上投影到高斯平面上的投影计算工作

①起算数据投影

椭球面上已知元素：

P1（B1，L1）；S；A12；

投影到高斯平面上：

p1（x1，y1）；s；A12；

（平面上方位角为：

T12＝A12－r－δ；r：

平面子午收敛角；δ：

方向改化）

②观测数据计算：

δ

二、高斯投影正算﹝由大地坐标B、L计算平面坐标x、y﹞

1.高斯正算基本公式

高斯正算公式应满足高斯投影的特性。

首先，应满足正形投影。

取投影基本公式为：

x＋iy＝f（q＋il）

因l在6°带里最大为3°，是微小量，所以，f（q＋il）可用台劳级数展开：

（台劳级数一般形式：

f（x＋⊿）＝f（x）＋⊿f′（x）＋（1/2）⊿2f″（x）＋（1/3!

）⊿3f3（x）…）

故有：

设图中，轴子午线上D投影为d；D的子午线弧长为X；d的纵坐标为x。

若满足高斯投影中央子午线投影为x轴，且长度不变的特性，即：

l＝0时，y＝0；且x＋iy＝f（q＋il）为：

x＝f（q）＝X

台劳展开x＋iy＝f（q＋il），并顾及上式：

将上式虚实两部分分开，得高斯正算基本公式：

2.高斯正算实用公式

由基本公式推导实用公式如下：

一阶导数

（因dX＝MdB；dq＝（

）dB）

二阶导数

继续求各阶导数，将X对q的各阶导数代入基本公式，得高斯正算实用公式

（8-41，8-42）

式中：

t＝tanB；η＝e′2cos2B

由上式可知：

1）当B＝0（X＝0）时，x＝0（赤道投影为一直线）

2）当l＝0时，y＝0（轴子午线投影为一直线——x轴）

x＝X（轴子午线投影，长度不变）

3）当l＝常数，B↑，y↓

B＝常数，∣l∣↑，x↑

（8-42式计算精度可达1mm）

三、高斯投影反算（由平面直角坐标x、y反算大地坐标B、L）

有时要跨带计算两点间的距离S，这时根据两点的大地坐标，在椭球上解算更为方便；有时要用反算检核正算的正确性。

故推导反算公式如下。

见图。

过d（x，y）点的纬度为B，对应纬度B，轴子午线弧长为X，有X＝f（B）；对应d点的纵坐标，即d点在x轴的垂足f，纬度为Bf（称底点纬度或垂足纬度）。

高斯投影反算，必满足x＋iy＝f（q＋il）之反函数式，即

q＋il＝x＋iy

y为小量，上式可在d的底点f处台劳展开

根据高斯投影条件：

中央子午线投影为x轴，且长度保持不变，有y=0，则l=0，即ql=0=x，且x=Xf，故ql=0=Xfqf，于是上式改写成

根据

，推导出各阶导数代入上式，并将虚实分开得

实际应用上式时，还应把q-qf换成B-Bf（过程可参见武测、同济合编《控测》下），经整理得

式中，Bf是底点f的大地纬度，可根据x值（f点的子午弧长）由子午弧长公式反解求得。

﹡子午线弧长反解公式详见朱华统教授著《常用大地坐标系及其变换》第二章，第五节，P47、P48;或教材P18，7.4.2式7-109，7-110。

四、平面子午收敛角γ的计算

平面子午收敛角定义：

通过P点的子午线投影在平面上有一切线，该切线与坐标北的夹角为平面子午线收敛角。

由右图知

又x＝f1（B，L）

y＝f2（B，L）

有

图中：

B＝C·t（常数）≠0，故dB＝0

故

由正算公式

分别对l求导，代入上式得

﹡

为使用方便，变换形式。

令：

tan＝u，则＝arctanu，展开得

＝u－（1/3）u3＋（1/5）u5－…

即

将﹡式代入上式，整理得平面子午线收敛角计算公式

8-81

（注：

为奇函数，与l符号一致）

五、长度比、长度变形及投影带的划分

1.长度比和长度变形

定义：

投影的长度比为

投影的长度变形为m－1

由右图微分三角形知：

由正算公式

得

①

由子午线收敛角推导知

②

将①、②式代入m2式，则用B，L（l＝L－l0）计算长度比的公式为

③

将反算公式

代入上式，得

顾及

，（η＝e′cosB是微小值）；N4≈R4；则用x、y计算长度比的公式为

④

由③、④式可以表明：

1）长度比m随点的位置而异，但在一点上与方向无关；

2）当l＝0，y＝0时，m＝1，即中央子午线投影的长度不变；

3）±l≠0，±y≠0时，m＞1，即s总是大于S（中央子午线除外）；

4）变形与l2、y2成比例地增大，即愈远离轴子午线，变形愈迅速增大。

2.投影带的划分

①投影带的划分

长度变形是客观存在的，不能将它完全消除，只能对其合理地加以限制，使其在用图和测图时影响很小，以致可以忽略。

为此采用分带投影，即：

取轴子午线两侧适当范围（两条边缘子午线为界），投影到与轴子午线相切横椭圆柱面上。

而该范围以外地区，另设中央子午线投影。

以此控制投影后长度变形不超过一定限度。

我国国家投影带为六度带和三度带，三度带是六度带的加密，如图：

根据③式，长度变形m－1＝（1/2）l2cos2B（取该式主项），算得在我国北纬B＝20°以南地区，位于六度带边缘处（l＝3°），长度变形可达1/820。

故，只有1/2.5万至1/10万国家基本图才采用六度带。

而1/万地形图在六度带边缘地区图廓长度约5km，则长度变形约6m，引起图上0.6mm变形，这是绝对不允许的，故1/万或更大比例尺地形图规定采用三度带。

北纬B＝20°处，三度带边缘地区（l＝1.5°），变形约为1/3300，对1/2000地形图，图廓长度约1km，将引起0.3m的变形，图上变形0.15mm，勉强满足1/2000地形测图的要求。

对1/1000、1/500地形图，根据其长度变形情况（测区B、L），往往采用1.5度带或独立投影带。

②高斯投影带带号和中央子午线的关系：

1）已知带号求中央子午线经度：

设中央子午线经度为L0，若已知带号（六度带）N和（三度带）n，则：

六度带：

L0＝6N－3

三度带：

L0＝3n

2）已知点的经度L求其带号：

六度带：

N＝（L＋3）/6

三度带：

n＝L/3

（按四舍五入取整数确定带号）

③坐标算法的规定：

为避免y值出现负号（我国位于北半球，x均为正），造成抄录成果出错，规定在y值上人为地加上500km；为了区别不同投影带，前面再冠以带号（我国领土经度自东经75°～135°，按6°带，包含13～23带；按3°带，包含了24～46带，相互无重合。

因此，观其带号，不须注明即可知是6°带亦或3°带）

例：

y＝20499799.75m，该点在6°带第20带，y＝-200.25m。

y＝36517148.26m，该点在3°带第36带，y＝17148.26m。

④投影带的重叠度

为了拼图和使用方便，规定每六度带向东加宽30′，向西加宽15′或7.5′，从而保证在重叠部分有两套坐标和两套地形图。

练习及作业：

1、阅读：

①、教材§8.1-8.5。

②、《高斯-克吕格投影坐标计算表》

2、思考：

①、高斯投影的几何意义及一般解释。

②、高斯投影的特性。

③、高斯投影的计算工作包括那些？

④、我国投影带采用的幅宽为多少？

如何分带？

⑤、测图时如何选用投影带？

⑥、推导带号和经度的关系。

⑦、坐标写法有何规定？

3、作业：

已知：

B＝35°04′42.9854″，L＝118°22′49.9705″，进行高斯投影正算，并以反算进行检核。

（分别按克氏椭球和IAG-75椭球计算）

§3椭球面上的观测结果化归到高斯平面上

控制网由椭球面归化到高斯平面上的内容有：

起算数据：

P1（L1，B1）→p1（x1，y1）

A12→A12；使用T12＝A12－1＋δ12

S12→s12

观测数据：

lik→Lik＝lik＋δik

在国家三﹑四等及城市、工程控制网中，往往起算坐标和方位角，均为高斯平面上数值。

实际工作中只遇到大量方向改化δ的计算和一定数量的距离改化计算。

一、方向改化的计算

1.球面角超的概念

对于球面闭合三角形

＋＋＝180°＋

球面角超

＝＋＋－180°

球面角超数值的概念

a＝b＝c＝2km时，ε＝0.009″

a＝b＝c＝10km时，ε＝0.22″

a＝b＝c＝50km时，ε＝5.48″

球面角超的计算：

由球面三角可知

式中F——球面三角形的面积，R——球面平均曲率半径

由球面三角面积公式

故

﹡

式中R——球面的曲率半径

′——平面归化角

根据洛戎德尔定理′＝－ε/3

′＝－ε/3

′＝－ε/3

在计算ε″时，平面归化角′还是未知数，故可用代替′，两次趋近求ε：

1）用代替′计算ε的第一次近似值ε1″，得平面归化角近似值1′=－ε1″/3，

2）用1′代替′计算ε的第二次近似值。

当ε＜17″、边长＜90km时，﹡式中第二项为小项，可以忽略不计，且可用、、代替平面归化角′、′、′，即：

2.方向改化的计算

方向改化近似公式（推导中有三点近似）如下：

近似①：

设椭球为一直径为R的圆球，则：

球面上四边形（两大圆弧之间）的内角和为：

2×180°＋ε1＋ε2

投影到平面上四边形的内角和为：

2×180°＋δ12＋δ21

因为是高斯投影（正形投影）。

故投影后保证

2×180°＋ε1＋ε2＝2×180°＋|δ12|＋|δ21|

即ε1＋ε2＝|δ12|＋|δ21|

近似②：

设|δ12|＝|δ21|＝δ

则ε1＋ε2＝2δ

故：

近似③：

设两球面面积，等于两平面面积，则

（

）

以上讨论的是绝对值。

考虑到符号，（下式可直接加到方向值上）δ的计算公式如下：

（上式适用三等以下网）

详细公式

（上式适用二等网）

由上式可知，大地线在平面上的投影凹向轴子线。

为了对方向改化δ有一个数值的概念，参见p82，表8-5。

3.方向改化的检核

因A′＝A＋（δ13－δ12）＝A＋δA

B′＝B＋（δ21－δ23）＝B＋δB

C′＝C＋（δ32－δ31）＝C＋δC

所以A′＋B′＋C′＝A＋B＋C＋δA＋δB＋δC

即180°＝180°＋ε＋δA＋δB＋δC

故δA＋δB＋δC＝-ε

4.计算方向改化δ所需坐标x、y的精度

已知

微分得

若令d（x1－x2）＝dym＝dP

则

对于二等网，方向值精确到0.1〞，改正数取至0.01〞。

取：

dδ＝0.01〞；ym＝350km（6°带边缘）；R＝6370km；（x1－x2）＝13km

算得：

dP＝10.8m

故：

近似坐标取至10m，计算过程中取至米即可。

对于三、四等网，方向值精确到1〞，近似坐标取至100m，计算过程中取至10m已足够了。

二、距离改化的计算

将椭球面上的大地线长度归化为平面上的弦线长度，此即为距离改化。

1.投影后的曲线s与两点间的直线D的长度关系

取距离的微分段如图：

；dD＝cosυds

又：

可知：

υmax＝δ（δ——方向改化）

故：

（此项极小）

所以cosυ≈1，即D≈s，亦即：

大地线的投影s可做为弦线长度D。

2.距离改化的计算

由Simpson近似积分公式，将积分区间n等分时

将积分区间二等分时

设有大地线如图

；ds＝mdS

利用Simpson积分（积分区间二等分）

将长度比

代入上式得

式中ym＝（y1＋y2）/2

⊿y＝（y2－y1）

故，距离改化

上式当S＜70km，ym＜350km时，计算误差＜1mm，适用一等边长。

二等边长的实用公式，即将上式中ym4项舍去；三、四等边长的实用公式，可进一步将⊿y2项舍去。

3.计算所需近似坐标的精度

由距离改化的主项

微分得

根据《城市测量规范》，取d⊿S＝0.1mm（二等）；d⊿S＝1mm（三等），S＝9km（二等）；S＝5km（三等），取Rm＝6371km，ym＝350km，则

dym（二等）＝1.29m；dym（三等）＝23m

故，在计算近似坐标时，二等应正确至米，计算过程中取至分米；三等、四等可正确至10m，计算过程中取至米。

练习及作业：

1、阅读

§8.6，8.7

2、思考

①、椭球面上元素化算到高斯平面上都有哪些？

②、什么是方向改化？

其公式形式？

③、大地线投影在高斯平面上是什么形状？

何以证明？

④、方向改化计算如何检核？

⑤、什么是距离改化？

其公式形式？

⑥、方向、距离改化所用近似坐标精度如何？

如何推算？

§4相邻投影带的坐标换算

一、相邻投影带的坐标换算的实质

解决相邻带之间的联系。

即：

已知P点西带坐标x1、y1，求其东带坐标x2、y2；

已知P点东带坐标x2、y2，求其西带坐标x1、y1。

二、相邻带换算的用途

1、A点的坐标换算到第Ⅱ带，统一到第Ⅱ带网中使用。

（6°←→6°、3°←→3°）

2、将较宽带坐标换算到较窄带上，得到较小的长度变形。

（6°←→3°、3°←→1.5°、1.5°←→独立带等）

三、坐标换算方法

1.间接法

坐标换算程序为：

x1，y1→反算→B，l1→B，l2→正算→x2，y2。

此方法经过正、反两次运算，工作量较大。

但目前应用电算，工作量大已不成问题。

2.直接法

直接法公式推导思路如下：

①变“一点两带”问题，为“两点一带”问题

选一与P1对称于边缘子午线的“对称点”P2，如图。

B2＝B1；∣＋l∣＝∣－l∣；P1点东带的坐标为x2，y2；P2点在西带的坐标为x2′，y2′。

由图可知

x2＝x2′；∣y2∣＝∣y2′∣

故，换带计算求x2，y2，归结为求x2′，y2′。

②变坐标换算为坐标增量计算

在边缘子午线上，选取辅助点M（x0，y0），辅助点是已知的。

因P1、P2对分界子午线对称，所以MP1＝MP2＝S；AMP1＝A1，AMP2＝360°－A1；x0，y0及γ0可按半带经差及选定之B0算出。

由图可知：

⊿x1＝x1－x0＝D1cosT1

⊿y1＝y1－y0＝D1sinT1

（1）

⊿x2′＝x2′－x0＝D2cosT2

⊿y2′＝y2′－y0＝D2sinT2

（2）

式中：

Ti——弦长Di的坐标方位角，为方便，选M点时使T1＝270°。

代入

（1）有

⊿x1＝x1－x0＝0

⊿y1＝y1－y0＝-D1（3）

又T2＝A2－γ0＋δ2

＝（360°－A1）－γ0＋δ2

＝（360°－（T1＋γ0）－γ0＋δ2

＝90°－（2γ0－δ2）（4）

至此，求出δ2则由（4）式可求得T2。

若再求得D2，则可由

（2）式求得⊿x2′，⊿y2′，从而求出x2′，y2′，进而求出x2，y2。

由距离改化公式

；

两式相除，忽略四次方以上各项，得

略去

项，得

（5）

将（3）（4）（5）式代入

（2）式，得

（6）

而sin（2γ0－δ2）＝sin2γ0－cos2γ0δ2（7）

又

略去

项，得δ2＝－（y0/2R2）⊿x2′（8）

将（7）（8）代入（6）得

同理

（9）

（9）式含未知数⊿x2′，⊿y2′不能直接应用，可用逐次趋近法（以（9）右端第一项作为⊿x2′，⊿y2′的近似值代入上式）求解。

由图（a）（c）可知：

x2＝x0＋⊿x2′

y2＝－（y0＋⊿y2′）

在上面公式推导中，只推求了公式的主项，实际上公式的系数要复杂得多。

为方便实用，已编制出《高斯-克吕格坐标换带表》，供6°←→6°、6°←→3°、3°←→3°之间换算。

四、应用换带表进行换带计算的实用公式

1.查表法换带计算公式（保证1mm坐标精度）

对3°带换带表，⊿y1＞80km；对6°带换带表，⊿y1＞60km，采用严密（修正项σ）公式如下

x2＝x1＋{m＋（m1＋m2⊿y1）⊿y1}⊿y1＋σx

y2＝y0＋{n＋（n1＋n2⊿y1）⊿y1}⊿y1＋σy

对3°带换带表，⊿y1＜80km；对6°带换带表，⊿y1＜60km，采用修正项为δ公式如下

x2＝x1＋（m＋m1⊿y1）⊿y1＋δx

y2＝y0＋（n＋n1⊿y1）⊿y1＋δy

式中x1，y1——已知点P的坐标

x2，y2——待求坐标（P点在相邻带的坐标）

x0，y0——辅助点在西带的坐标，x0＝x1，y0永为正值（以x1为引数查表方法见下）

m、m1、m2、n、n1、n2——换带系数，以x1为引数查表

δx、δy、σx、σy——坐标修正项，以x1，⊿y1为引数查表

⊿y1＝±y1－y0（y1即P点y坐标自然值）

2.符号说明

西→东，规定：

⊿y1＝＋y1－y0

东→西，规定：

⊿y1＝－y1－y0

西→东，计算得y2应为负值；

东→西，计算得y2应为正值。

3.查表方法

例：

y0＝表列y0＋⊿Xkm{δy0＋d（δy0）}（以x1为引数查表）

式中⊿Xkm——已知点的纵坐标x1，与略小于x1的表列引数之差

δy0——对应每公里⊿Xkm，y0的变化值

d（δy0）——δy0的修正值

参见武测、同济合编教材下册P129：

①⊿y1＞80km，采用修正项σ的公式

②以3274km查取表列y0值：

145353.1538；δy0＝－12.9244（m）

③⊿X＝1.110535km=1110.535m，以⊿Xm引数查右边小表得：

d（δy0）=0.0020m

代入上式得：

y0＝145338.7986

⊿y1＝y1－y0＝90.0984344km（＞80km）

至此，根据⊿y1是否大于80km，确定用修正项（δ或σ）公式。

练习及作业：

1、阅读

①、参考阅读：

教材§8.8

②、孔祥元，梅是义主编《控制测量学》P3