九年级数学圆的证明与计算试题汇编.docx
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九年级数学圆的证明与计算试题汇编
九年级数学圆的证明与计算试题汇编
1.（.元月调考）在边长为４的正方形ABCD中，以AD为直径的⊙O，以C为圆心，CD长为
半径作⊙Ｃ，两圆交于正方形内一点E，连CE并延长交AB于F.
AFB
3．（今元月调考）如图，AB为半圆的直径，B是AB弧的中点，C为AD弧上的点，弦BC、AD相交于E，弦AC、BD的延长线相交于点F，求证DE=DF。
F
D
C
E
BA
4.（今元月调考）小雅同学在学习圆的基本性质时发现了一个结论：
如图，在⊙O中，OM
⊥弦AB于点M，ON⊥弦CD于点N，若OM=ON，则AB=CD．
（1〕请帮小辩证明这个结论;
（2）运用以上结论解决问题：
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O为△ABC的内心，以O为圆心，OB为半径的⊙O与△ABC三边分别相交于点D、E、F、G，若AD=9,CF=2，,求△ABC的周长．
5．（.年四月调考）如图，已知△ABC，以边BC为直径的圆与边AB交于点D，点E为BD
的中点，AF为△ABC的角平分线，且AFEC
（1）求证AC与⊙0相切；
（2）若AC=6，BC=8，求EC的长．
6.（今年四月调考）如图，AE是ABC外接圆O的直径，AD是ABC的边BC上的高，EFBC，F为垂足.
（1）求证：
BFCD；B
（2）若CD
1，AD
3，BD
6，求圆O的直径.F
AE
o
D
C
7.
（今年四月调考）如图，等腰
ΔABC内接于⊙O，BA
CA，弦CD平分ACB，交
AB于点H，过点B作AD的平行线分别交AC，DC于点E，F。
（1）求证：
CFBF；
（2）若BHDH1，求FH的值。
8．（今年四月调考）如图，AB，CD，分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB//CD，OB与
EF相交于点M，OC与FG相交于点A，连接MN
（1）求证：
OB⊥OC；
（2）若OB=6，OC=8，求MN的长.
EB
A
M
F
O
N
DGC
9、（.五月调考）如图，已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作DF⊥AC于F.
（1）
求证：
DF为⊙O的切线；C
F
（2）若DE=
5，AB=5
22
E
，求AE的长.
D
AOB
（第22题图）
、
（1）证明：
连结AD，OD
∵AB为⊙O的直径
∴∠ADB=90°C
F
即AD⊥BCE
又AB=AC
∴BD=DCD
又OA=OB
∴OD∥ACG
又DF⊥AC
∴DF⊥ODAOB
∴DF为⊙O的切线
（2）连结BE交OD于G
∵AC=AB,AD⊥BC
∴∠EAD=∠BAD
∴ED=BD
∴ED=BD,OE=OB
∴OD垂直平分EB
∴EG=BG
又AO=BO
1
∴OG=AE
2
在Rt△DGB和Rt△OGB中
BD2
DG2
BO2
OG2
22
∴55OG
24
3
解得:
OG=
4
3
2
5OG2
4
∴AE=2OG=
2
10．（今五月调考）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点F，弦AE⊥CD于点H，连接CE、OH．
（1）求证：
△ACE∽△CFB；
（2）若AC＝6，BC＝4，求OH的长．
C
AOFB
HE
D
22．
（1）证明：
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠FCB＝45°．
∵AE⊥CD，∴∠CAE＝45°＝∠FCB．在△ACE与△BCF中，
∠CAE＝∠FCB，∠E＝∠B，∴△ACE∽△CFB．
（2）解：
延长AE、CB交于点M．
∵∠FCB＝45°，∠CHM＝90°，A
∴∠M＝45°＝∠CAE．
∴HA＝HC＝HM，CM＝CA＝6．
∵CB＝4，∴BM＝2．
1
C
OFBH
EM
D
∵OA＝OB，∴OH＝
BM＝1．
2
11．（今五月调考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为BD弧的中点，
AC、BD交于点E．
（1）求证：
△CBE∽△CAB；
（2）若S△CBE∶S△CAB＝1∶4，求sin∠ABD的值．
D
C
E
AB
O
22．
（1）证明：
∵点C为弧BD的中点，∴∠DBC＝∠BAC，
C
在△CBE与△CAB中；D
∠DBC＝∠BAC，∠BCE＝∠ACB，E
F
∴△CBE∽△CAB．4分ABO
（2）解：
连接OC交BD于F点，则OC垂直平分BD
∵S△CBE：
S△CAB＝1:
4，△CBE∽△CAB
∴AC：
BC＝BC：
EC＝2:
1，∴AC＝4EC
∴AE：
EC＝3：
1
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°
∴AD∥OC，则AD：
FC＝AE：
EC＝3:
1
设FC＝a，则AD＝3a，
∵F为BD的中点，O为AB的中点，
∴OF是△ABD的中位线，则OF＝1AD＝1.5a，
2
∴OC＝OF+FC＝1.5a+a＝2.5a，则AB＝2OC＝5a，
AD
在Rt△ABD中，sin∠ABD＝
AB
＝3a=38分
5a5
（本题方法众多，方法不唯一，请酌情给分）
12．（今五月调考）如图，AB为⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，E为⊙O的半圆弧上一动点（不与A、B重合），过点E的直线分别交射线AM、BN于D、C两点，且CB
＝CE．
（1）求证：
CD为⊙O的切线；
（2）若tan∠BAC＝2
2
，求AHCH
的值．
ADM
E
OH
BCN
（1）证明：
连接OE．1分
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB．
∵BC＝EC，
∴∠CBE＝∠CEB．2分
∴∠OBC＝∠OEC．
∵BC为⊙O的切线，
∴∠OEC＝∠OBC＝90°，3分
∵OE为半径，∴CD为⊙O的切线．4分
（2）延长BE交AM于点G，连接AE，过点D作DT⊥BC于点T．因为DA、DC、CB为⊙O的切线，
∴DA＝DE，CB＝CE．
在Rt△ABC中，因为tan∠BAC＝2
2
，令AB＝2x，则BC＝2x．
∴CE＝BC＝2x．
令AD＝DE＝a，
5分
则在Rt△DTC中，CT＝CB－AD＝
∵DT2＝DC2－CT2，
2
x－a，DC＝CE＋DE＝
2
x＋a，DT＝AB＝2x，
∴（2x）2＝（2x＋a）2－（2x－a）2．
6分
解之得，x＝2a．7分
∵AB为直径，
∴∠AEG＝90°．
∵AD＝ED，
∴AD＝ED＝DG＝a．
∴AG＝2a．8分
因为AD、BC为⊙O的切线，AB为直径，
∴AG∥BC．
所以△AHG∽△CHB．
∴AH
CH
AG
＝CB
2a
＝2x
．9分
∴AH
CH
＝1．10分
13．（.中考）
如图，Rt
△ABC中，
ABC
90°，以AB为直径作
⊙O交AC边于点D，E是边BC
的中点，连接DE．
（1）求证：
直线DE是⊙O的切线；
（2）连接OC交DE于点F，若OFCF，求tanACO的值．C
证明：
（1）连接OD、OE、BD．
DFE
AB
O
AB是⊙O的直径，
CDBADB
90°，
E点是BC的中点，DECEBE．
ODOB，OEOE，△ODE≌△OBE．
ODEOBE90°，直线DE是⊙O的切线．
（2）作OH
⊥AC于点H，
由
（1）知，BD⊥AC，ECEB．C
OAOB，
OE∥AC，且OE
1AC．
2
DFE
CDFOEF，DCFEOF．
CF
OF，
△DCF≌△EOF，
DC
OE
AD
．
BA
BC，
A45°．
H
AB
OH⊥AD，OHAHDH．O
CH3OH，
tan
ACOOH1．
CH3
14.
（今中考）如图，点O在APB的平分在线，圆O与PA相切于A
点C；C
（1）
E
求证：
直线PB与圆O相切；P
（2）PO的延长线与圆O交于点E。
若圆O的半径为3，PC=4。
O
求弦CE的长。
B
（1）证明：
过点O作ODPB于点D，连接OC。
∵PA切圆O于点C，
∴OCPA。
又∵点O在APB的平分线上，
∴OC=OD。
∴PB与圆O相切。
（2）解：
过点C作CFOP于点F。
在Rt△PCO中，PC=4，OC=3，
AC
P
EOF
OP=5，
OC2
PC2
D
=5，∵OCPC=OPCF=2S△PCO，B
∴CF=12。
在Rt△COF中，OF=
OC2CF2
=9。
∴EF=EOOF=24，
∴CE=
5
EF2CF2
55
=125。
5
15.（今中考）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E,
（1）求证：
PB为⊙O的切线；
（2）
若tan∠
1
ABE=
2
求sin∠E.
B
OCP
A
E
（1）证明：
连接OA,∵PA为⊙O的切线，∴∠PAO=90°
∵OA=OB,OP⊥AB于C,∴BC=CA,PB=PA∴△PAO≌△PBO∴∠PBO=∠PAO=90°
∴PB为⊙O的切线
（2）解法1：
连接AD,∵BD为直径，∠BAD=90°由
（1）知∠BCO=90°∴AD//OP,
∴△ADE∽△POE∴
EA=
AD,由AD//OC得AD=2OC∵tan∠
1
ABE=,∴
OC=1
EPOP2BC2
设OC=t,则BC=2t,AD=2t,由△PBC∽△BOC得PC=2BC=ｔ4，ＯＰ=５ｔ，
∴EA=
EP
AD=
OP
2.可设ＥＡ=２ｍ，ＥＰ=５ｍ，则ＰＡ=３ｍ，∵ＰＡ=ＰＢ∴ＰＢ=３ｍ，
5
∴sin∠E＝PB
EP
16．（今武汉）在锐角三角形ABC中，BC=4，sinA=，
（1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径；
（2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA=BC，求AI的长．
来[源学。
科。
网Z。
X。
X。
K]
考点：
三角形的内切圆与内心；三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形。
解答：
（1）解：
作直径CD，连接BD，
∵CD是直径，
∴∠DBC=90°，∠A=∠D，
∵BC=4，sin∠A=，
∴sin∠D==，
∴CD=5，答：
三角形ABC外接圆的直径是5．
（2）解：
连接IC．BI，且延长BI交AC于F，过I作IE⊥AB于E，
∵AB=BC=4，I为△ABC内心，
∴BF⊥AC，AF=CF，
∵sin∠A==，∴BF=，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
AF=CF=，AC=2AF=，
∵I是△ABC内心，IE⊥AB，IF⊥AC，IG⊥BC，
∴IE=IF=IG，设IE=IF=IG=R，
∵△ABI、△ACI、△BCI的面积之和等于△ABC的面积，
∴AB×R+BC×R+AC×R=AC×BF，即4×R+4×R+×R=×，∴R=，
在△AIF中，AF=，IF=，由勾股定理得：
AI=．答：
AI的长是．
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