深圳人口与医疗需求.docx
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深圳人口与医疗需求
深圳人口与医疗需求
摘要
针对深圳市人口与医疗需求，我们利用1979-2010年人口数据以及相关资料，建立微分方程模型，并建立一元线性回归方法，用最小二乘法对微分方程的参数进行估计，由此预测深圳市未来十年常住人口、非常住人口数量。
运用matlab编程、Excel软件绘出人口数量变化曲线，采取二次多项式和三系多项式拟合方法预测深圳市2011-2020年人口结构。
之后我们研究了全市医院的医疗床位需求问题的预测，用拟合预测的方法研究。
最后我们针对小儿肺炎病、子宫平滑肌瘤两种疾病预测深圳市未来十年的床位需求，为医院下一步的床位优化工作提供了的很好的帮助，从而为更多的患者提供较好的医疗服务。
关键词
微分方程模型一元回归方程最小二乘法多项式拟合Matlab编程
问题描述
深圳是我国经济发展最快的城市之一，30多年来，卫生事业取得了长足发展，较好地解决了现有人口的就医问题。
从结构来看，深圳人口的显著特点是流动人口远远超过户籍人口，且年轻人口占绝对优势。
年轻人身体强壮，发病较少，因此深圳目前人均医疗设施虽然低于全国类似城市平均水平，但仍能满足现有人口的就医需求。
然而，随着时间推移和政策的调整，深圳老年人口比例会逐渐增加，产业结构的变化也会影响外来务工人员的数量。
这些都可能导致深圳市未来的医疗需求与现在有较大的差异。
未来的医疗需求与人口结构、数量和经济发展等因素相关，合理预测能使医疗设施建设正确匹配未来人口健康保障需求，是保证深圳社会经济可持续发展的重要条件。
然而，现有人口社会发展模型在面对深圳情况时，却难以满足人口和医疗预测的要求。
为了解决此问题，我们根据深圳人口发展变化态势以及全社会医疗卫生资源投入情况（医疗设施、医护人员结构等方面）收集数据、建立针对深圳具体情况的数学模型，预测深圳未来的人口增长和医疗需求，解决下面几个问题：
1.分析深圳近十年常住人口、非常住人口变化特征，预测未来十年深圳市人口数量和结构的发展趋势，以此为基础预测未来全市和各区医疗床位需求；
2.根据深圳市人口的年龄结构和患病情况及所收集的数据，选择预测几种病（如：
肺癌及其他恶性肿瘤、心肌梗塞、脑血管病、高血压、糖尿病、小儿肺炎、分娩等）在不同类型的医疗机构就医的床位需求。
目标任务
一、根据深圳市1979—2010年人口数据统计，分析深圳市非常住人口的变化规律及其发展趋势，并预测近十年的非常住人口数量。
二、根据深圳市1979—2010年人口数据统计，分析深圳市常住人口的变化规律和发展趋势，并预测近十年的常住人口数量。
结合问题一，进而预测深圳市未来十年的总人口数量。
三、选取深圳市2000年、2005年、2010年三个年份的年龄结构的统计，以2010年的统计数据为人口预测基数，分析预测深圳市2015年、2020年的人口结构。
五、根据已有数据，结合问题一、二、三关于常住人口、非常住人口变化特征以及对深圳市未来十年的人口数量、结构的发展趋势分析，以此为基础预测未来全市和各区医疗床位需求。
四、根据深圳市人口的年龄结构和患病情况及所收集的数据，选择预测小儿肺炎、在不同类型的医疗机构就医的床位需求。
模型假设
1、不考虑重大疾病和战争对人口的影响，各种病发病率保持不变，人口增长率恒定；
2、假设未来一段时间内深圳市经济水平保持稳定的发展，外来人口数稳定发展；
3、假设未来一段时间内人口政策和医疗制度不发生变化；
4、假设各区域的患病者不相互交换，即各区域是相互独立的.；
5、题中所给出的统计数据准确可靠；
问题分析
对于问题一：
为了简化，我们选取非户籍人口的统计数据代替非常住人口的统计结果，用多项式拟合的方法进行预测。
对于问题二：
主要选取1979-2010年深圳市年末常住人口的统计数据进行分析。
利用附表1所给的数据利用Matlab制作散点图，观察年末常住人口的发展趋势，建立一元线性回归方程，并用最小二乘法确定参数，由次分析常住人口的变化，进而预测深圳市近十年的常住人口数量。
对于问题三：
在上面工作，我们分析了深圳市未来年末常住人口和流动人口的大致变化，并对深圳市人口结构方面进行分析和预测。
由附表整理出2000,2005,2010年各年龄段结构表，并进一步制作成散点图，预测2020年的结构数据。
并在预测的时采用最小二乘法中的一次线性拟合。
对于问题四：
由近年深圳全市医院数的情况变化图、全市近年的床位数发展情况图和年末常住人口变化图，分析选取人口变化图进行数据拟合，得到未来全市医疗床位需求，同理得到各市未来医疗床位需求。
对于问题五：
要想预测在不同医疗机构就医的床位需求，我们首先预测未来的患病人数，然后再进一步预测在不同医疗机构的床位需求。
在预测患病人数（即预测发病率）时，我们也要考虑到：
随着人们的生活水平以及对健康的关注程度的提高，发病率有所下降。
同时，我们在预测医疗床位的需求的时候；也要考虑到，随着医疗水平的提高，治疗周期也会变短，这都对预测的结果有着很大的影响。
模型分析与建立
一、非常住人口预测
深圳经济发展日益增长，由此带来了随年增长的流动人口，包括外来务工人员，商人，学生和游客等。
为了简化，我们选取非户籍人口的统计数据代替非常住人口的统计结果，用拟合的方法进行预测。
（一）多项式拟合的原理
假设给定数据点
（i=0,1,…,m），
为所有次数不超过
的多项式构成的函数类，现求一
使得
（1）
当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式
（1）的
称为最小二乘拟合多项式。
特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。
显然
为
的多元函数，因此上述问题即为求
的极值问题。
由多元函数求极值的必要条件，得
（2）
即
（3）
（3）是关于
的线性方程组，用矩阵表示为
（4）
式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。
可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。
从式（4）中解出
（k=0,1,…，n），从而可得多项式
（5）
可以证明，式（5）中的
满足式
（1），即
为所求的拟合多项式。
我们把
称为最小二乘拟合多项式
的平方误差，记作
由式
（2）可得
（6）
多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：
①由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n；
②列表计算
和
；
③写出正规方程组，求出
；
④写出拟合多项式
。
（二）多项式拟合的次数选择
通过利用不同次数的多项式拟合和已知数据的差异比较，达到利用最佳多项式拟合曲线是我们要达到的最终目的，而计算多项式的平方误差
的大小则是判定这一标准的重要参数。
下面我们还是针对1979-2010年深圳市年末常住人口分别利用二次多项式和三次多项式分别进行拟合估计，在观察曲线变化差异的同时，计算两者
值的不同。
二次多项式拟合模型：
三次多项式拟合模型：
（三）预测非常住人口
由已有数据我们得到1979-2010年深圳市非户籍人口数，如下（表2.1）
表2.1深圳市非户籍人口数
利用数学软件MATLAB对数据进行处理，得到1979-2010年非户籍人口数散点图，如下：
（图2.1）
图2.11979-2010年非户籍人口数
通过现有数据对散点图进行分析，我们发现：
非户籍人口数随时间的推移呈现递增的趋势，且各段人口增长率大致保持不变，人口发展整体较为平稳，故采用多项式拟合方法。
用MATLAB软件对已知数据进行二次拟合和三次拟合，通过编程（见附录1、2）得到图形，如下：
（图2.2）
图2.2二次拟合和三次拟合图通过将二次多项式拟合和三次多项式拟合得到的曲线与原实际数据相比较，我们发现，图像结果大致吻合。
年份
人口（万人）
2001
2002
2003
2004
2005
原始数据
592.53
607.17
627.34
635.67
645.82
拟合数据
594.502
606.8
620.597
620.597
654.03
年份
人口（万人）
2006
2007
2008
2009
2010
原始数据
674.27
699.99
726.21
753.56
786.17
拟合数据
674.336
697.482
723.804
753.636
787.314
通过利用Matlab软件拟合出2001-2010年深圳市非常住人口的拟合曲线，并得出相应年份的拟合点，绘表如下：
（表2.2）
表2.2深圳市年末常住人口二次多项式拟合表（2001-2010年）
表2.2深圳市年末常住人口二次多项式拟合表（2001-2010年）
对比二次拟合结果与三次拟合结果，我们发现三次拟合结果与实际值相差较小，故采用三次拟合曲线进行预测，不再需要进行拟合精度分析。
对此我们利用图像分别作出2011-2020年非常住人口的预测，如下：
（表2.2）
表2.22011-2020年非常住人口的预测表
二、常住人口预测
（一）模型分析
1、符号假设
x（t）---第t年末常住人口总数
x1（t）---第t年末户籍人口数
x2（t）---第t年末非户籍人口数
r11---户籍人口的自然增长率
r12---非户籍人口的自然增长率
2、建立模型
常住人口的增长包括两个方面：
第一部分，户籍人口的自然增长；第二部分，非户籍人口向户籍人口的转化，即有：
x（t）=x1（t）+x2（t）
假设历年人口自然增长率恒定，可设：
r11=c1
历年非户籍人口向户籍人口的转换率在一定时期内保持不变，可设r12=c2
对于年末常住人口，有：
3、下面确定c1、c2
与问题一类似，我们首先，matlab描绘出2001—2010年户籍人口与非户籍人口变化曲线，如下：
（图2.1）
图2.12001—2010年户籍人口与非户籍人口变化曲线
由图像我们可以看出，户籍人口与非户籍人口曲线增长平稳，增长幅度基本保持不变，我们可以利用一元线性回归的方法建立模型。
（二）建立一元回归方程
假设
，
，其中a,b,σ2都是未知参数，并且不依赖于x。
即可设：
其中
，为随机误差，a,b,σ2都是未知参数。
在式中，系数a、b，需要由观察值
来进行估计。
如果由样本得到了a，b的估计值为
，则对于给定的x，a+bx的估计为
，记作
，
为y对x的线性回归方程。
5、应用最小二乘法确定回归系数
我们用
表示y的样本观察值，
表示根据回归方程所得到的y的估计值，则估计值与实际观察值之间的误差为，
其总的误差，可以表示为误差的平方和的形式，
现在要使上式取得极小值，只需令Q对a，b的一阶偏导等于0，因此：
由此可解得如下结果：
其中
就是参数a，b的无偏估计。
（三）对于本题，建立一元回归方程
t---时间变量
y---人口数
---随机误差
a,b---参数
建立一元回归方程：
y’=f（t,b,a），不妨假设
其中y’表示根据模型预测的y值，n=10.根据实际数据（2001,132.04）,（2002,139.45）,（2003,150.93）,（2004,165.13）,（2005,181.93）,（2006,196.83）,（2007,212.38）,（2008,228.07）,（2009,241.45）,（2010,251.63）,则每点的误差预测应该是：
（i=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9）
则各项的误差平均和为
用matlab求解结果可得
y’（t）=-69749.35+35.23t，其中y’（t）表示t时刻深圳市的末户籍人口数。
同时可得c1=35.23
同理可得c2=47.22
（四）求解常微分方程
对深圳市未来十年常住人口数预测如下：
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年末人口
数（万）
1098.18
1133.41
1168.64
1203.87
1239.1
1274.33
1309.56
1344.91
1380.02
1415.25
（五）对人口总数的预测
由上面题目对常住人口和非常住人口的预测，我们的到深圳市未来十年的总人口如下:
（表2.3）
表2.3深圳市未来十年的总人口预测表
三、人口结构分析
（一）结构分析
在以上工作，我们预测了深圳市未来年内常住人口和流动人口的变化特征，为了解决深圳市医疗床位配置的问题，我们需对深圳市人口结构方面进行分析和预测。
由附表4中所给数据，我们可以整理出2000,2005,2010年各年龄段结构（百分比）表，如下：
（表3.1）
表3.12000,2005,2010年各年龄段结构表
通过对表的分析，我们可以得到：
（1）深圳市人口结构在2000、2005、2010年基本保持不变，发展较为稳定。
（2）深圳市在2000、2005、2010年男女比例基本均衡，这样对于保持正常的婴儿出生率起到了很大的保障。
为了进一步分析表所带来的信息，我们进一步将其制作成散点图，图像如下：
（图3.1）（图中横坐标1表示年龄4,0-1表示第一个年龄段，即0-4岁；1-2表示第二个年龄段，即5-9岁；依次类推19-20表示95-99岁年龄段）
图3.1深圳市2000、2005、2010年各年龄段人口数
由图像我们可以知道：
10-40岁（3-8段）年龄段的人群的所占比例随着年数的增加而减少，45岁以后有上升趋势（对比表格数据），该分析说明深圳的流动人口（主要为年轻人）减缓，老龄化加速。
从该曲线图上我们可以清楚的看到该市的人口结构分布情况，深圳市的主要人口在年龄构成上为15至44岁的人口最多，45岁以上人群较少。
这对于我们下面研究深圳市医疗床位问题有很大的提示作用。
（二）人口结构预测
由于对上表的分析，我们初步得出深圳市人口的结构在短时间内将不会大的变化，即在这一段时间内人口结构大致保持不变。
所以我们根据附件给出的数据，预测2020年的人口结构。
由于数据的特殊性，我们在预测的时候采用的是最小二乘法中的一次线性拟合，我们可以得到2015年、2020年各年龄段人口数量，及2015年，2020年深圳市人口结构表，如下：
（表3.2）
年份
比率
各年龄段
2015
2020
0-4岁
4.36%
4.76%
5-9岁
3.28%
3.38%
10-14岁
3.06%
3.29%
15-19岁
4.62%
0.99%
20-24岁
17.16%
14.50%
25-29岁
15.57%
14.28%
30-34岁
13.07%
12.82%
35-39岁
13.39%
15.27%
40-44岁
11.35%
13.99%
45-49岁
6.54%
8.06%
50-59岁
3.05%
3.59%
60-64岁
2.39%
2.90%
65-69岁
1.08%
1.18%
70-74岁
0.79%
0.86%
75-79岁
0.64%
0.74%
80-84岁
0.37%
0.43%
85-89岁
0.18%
0.21%
90-94岁
0.07%
0.08%
95-99岁
0.04%
0.05%
100岁及以上
0.02%
0.03%
表3.2深圳市2015-2020年人口结构预测表
四、基于人口数量与结构对医疗床需求的预测
由相关数据可得深圳1979-2010年医院床位发展情况，如下表：
图4.1深圳1979-2010年医院床位发展情况
由图我们可以看出，随着年份的增长，床位的数量逐年增加，而且基本呈现为二次函数的形状，这样我们选取2001-2010年床位数建立二次拟合模型对进行预测。
拟合结果如下：
（图中横坐标0表示初始年2000年，以此类推）（图4.1）
图4.1深圳市未来床位需求（二次拟合结果）
将年份（11-20）代入，可得未来十年床位需求如下：
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
24060
25300
26501
27674
28827
29966
31079
32220
33340
34457
五、小儿肺炎、子宫平滑肌瘤不同医疗机构的床位需求预测
1、小儿肺炎对各医疗各机构的床位需求
（为了表述简单我们用A表示小儿肺炎这种疾病，用B表示易患小儿肺炎的人群，及0-16岁人群）
分析：
利用已知数据求解出A病占B人群的百分比，通过已经预测的B类人群的数量求出A病在未来的病例数，在这个过程中考虑到医疗条件的改善而导致的发病率降低，以及外来就医人数的改变，最终预测出未来A病的大致病例数H。
假设：
A病在B类医院每天就诊人数为H，其平均住院天数为Y，那么A病在B医院应当设置的床位数为M=H*Y。
在这个过程中考虑到，因医疗条件改善导致的住院周期降低，最终算出未来A病在B类医院需要的床位数。
（1）假设患小儿肺炎人数占青少年（0-16岁）人群的百分比在一定时期内保持不变，求解如下：
=32644/103*10^4=3.15%
A1---患小儿肺炎的人数
S---青少年数量
由此预测2020年小儿肺炎的病例数：
A=P*S=269.19*10^4*3.15%=8.479*10^4
（2）医疗条件改进及外来就医影响：
通过网络资料查阅及相关数据分析，我们得出因医疗条件改进导致患病率没10年将降低5%，而随着社会的发展外来就医人数也将降低6%。
因此到2020年小儿肺病的实际病例数为:
=A*（1-5%-6%）=7.54*10^4
（3）平均每天的病例数
H=
=206
（4）各类医疗机构所占医治病例人数百分比：
医院类别
综合医院
儿童医院
妇幼保健医院
例数
21835
5573
5236
所占比例
0.669
0.171
0.160
因此预测2020年各医疗机构平均每天的病例数：
医院类别
综合医院
儿童医院
妇幼保健院
所占比例
0.669
0.171
0.16
每天例数
137.814
35.226
32.96
由统计数据可知，各医疗机构平均住院天数：
医院类别
综合医院
儿童医院
妇幼保健院
平均天数
603
6.9
6.31
（5）考虑因医疗条件改善导致的住院周期的降低：
由相关数据分析：
因医疗条件改进2020年小儿患病的住院周期将平均降低0.5天，因此各医疗机构的实际住院天数如下：
医院类别
综合医院
儿童医院
妇幼保健院
平均天数
5.8
6.4
6.03
（6）预测2020年小儿肺炎在各个医疗机构的床位需求结果如下：
综合医院：
M=H*Y=5.8*137.814=800
儿童医院：
M1=H1*Y1=6.4*35224=227
妇幼保健院：
M2=H2*Y2=6.03*32.96=199
考虑到可能存在同时进入的情况，因此每类医院的病床数增加2%，因此2020年小儿肺炎的各医疗机构就医的实际床位需求如下：
医院类别
综合医院
儿童医院
妇幼保健院
床位个数
816
231
203
2、子宫平滑肌瘤对各医疗各机构的床位需求
对于子宫平滑肌瘤，通过查阅资料，主要发生在43-56岁的中年妇女上，而43-56岁的中年妇女在2010年的人口数量为
37.8929万，所发病例为
2704，预测到2020年青少年得到人口数量将到
=94.612万，则通过计算得出中年妇女每日患子宫平滑肌瘤的人数约为18.497人。
各类医疗机构所占医疗病人例数百分比：
子宫平滑肌瘤
医院类别
综合医院
儿童医院
妇幼保健院
该病就诊人数
1155
0
197
就诊人数占患病人数比例
85.43%
0
14.57%
则通过这个可以预测2020年各大医疗机构每日接待子宫平滑肌瘤例数：
医院类别
综合医院
儿童医院
妇幼保健院
每天例数
15.8
0
2.7
对于子宫平滑肌瘤，通过查找网上资料得到平均住院天数为8.9天，则各医疗机构2020年每日提供的床位数大约为
医院类别
综合医院
儿童医院
妇幼保健院
床位
141
0
24
模型的评价
优点：
1、具有良好的创造性，对模型进行组合预测，提高了预测准确度。
2、本模型采用多种专业统计软件对模型进行求解，如：
matlab、Excel等，进一步提高模型求解的准确度。
3、应用了几乎所有数据更能体现出数据的可靠性和真实性，而且本模型中采用的数据来源广泛，数据较权威，较全面。
4、本模型在短期预测内预测结果准确。
5.应用最小二乘法拟合数据实可以根据需要进行多幂次数的拟合，精确值高。
缺点：
1.我们计算得出的预测数据是在较多的假设的基础之上得出的，从客观上讲，有很多客观或主观因素未能全面的考虑进去，只能得到在一定程度上更接近正确的合理性数据，较理想化。
而且在数据不充足的情况下，我们用近似的相关曲线来代替，可能会导致结果的不准确。
2.对于问题二的解决，我们忽略了其他非常住人口的影响，同时考虑到没有非常住人口的统计数据，用非户籍人口来代替，存在一定误差，需要进一步改进。
3.对于问题三的解决，我们没有确切的分析人口老龄化和生育率带来的影响，给人口结构预测和未来十年床位需求预测带来一定的偏差。
4．影响人口变动有很多因素，我们未能把这些因素都考虑到，所以模型从某种程度上来说是不全面的。
5.对于多项式的拟合预测，我们同时做了二次拟合和三次拟合，挑选与实际值误差较为小的一个，省去了拟合精度分析的过程，需要进一步做模型调整。
5.建立的模型对于长期人口的预测可能会造成较大的误差。
结束语
深圳市经济发展较快，对深圳市及各区的常住人口、非常住人口发展预测，以及人口结构、未来全市和各区医疗床位需求的预测，有利于深圳经济的进一步发展，同时我们选取小儿肺炎、子宫平滑肌瘤两种疾病进行分析预测，为深圳市的发展提供了重要的参考依据。
还需要说明的是，由于时间有限，加之能力有限，此次的建模仍然存在不少问题，仍然有诸多问题没有解决，但是我们经过查找资料、整理材料、组内讨论、请教他人等多方努力建立的模型任然具有可有价值。
在此过程中，我们学到了很多知识，培养了团队合作精神，可谓受益匪浅。
参考文献
【1】深圳市卫生和人口计划生育委员会，深圳市卫生和人口计划生育委员会[OL]，
【2】深圳市统计局，深圳统计年鉴2011[J]，中国统计出版社，2011.
【3】姜启源等，数学建模（第四版）[M]，北京高等教育出版社，2011.
【4】卫生经济学报1985年10期（总第032期）[J].
【5】刘卫国，MATLAB程序设计与应用（第二版）[M]，高等教育出版社，2002.
附录
附录一
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