锐角三角函数知识点总结与复习.docx

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锐角三角函数知识点总结与复习

直角三角形中的边角关系

1、勾股定理：

直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为（∠A可换成∠B）：

邻边

对边b

弦值。

由ÐA+ÐB=90°

得ÐB=90°-ÐA

4切值。

由ÐA+ÐB=90°得ÐB=90°-ÐA

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值

（重要

）1

6、正弦、余弦的增减性：

当0°≤a≤90°时，sina随a的增大而增大，cosa随a的增大而减小。

7、正切、余切的增减性：

当

0°<a<90°时，tana随a的增大而增大，cota

随a的增大而减小。

一、知识性专题

专题1：

锐角三角函数的定义

例1在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是

（

）A．sinAB．tanA＝C．cosBD．tanB

211BCBCBC

＝，tanA＝，cosB＝＝．故选D.

22ABACAB3

例2在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝,则tanA等于

分析在Rt△ABC

分析sinA＝

中，设AC＝3k，AB＝5k，则BC＝4k，由定义可知tanA＝

BC4k4

==．AC3k3

BC33

=．故填．

AB55

分析在Rt△ABC中，BC3，∴sinA＝

例3（12·哈尔滨）在Rt△ABC中，∠C=90，AC=4，AB=5，则sinB的值是

；【解析】本题考查了锐角三角函数的意义．解题思路：

在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比邻边，故sinB=

例4（2012；

图4

【解析】欲求sinA，需先寻找∠A所在的直角三角形，而图形中∠A所在的△ABC并不是直角三角形，所以需要作高．观察格点图形发现连接CD（如下图所示），恰好可证得CD⊥AB，于是有sinA＝

CDAC2

20例5（2012宁波），Rt△ABC,∠C=90,AB=6,cosB=,则BC的长为3

【解析】cosB=BC2=，又∵AB=6∴BC=4AB3

例6（2012贵州铜仁）如图，定义：

在直角三角形ABC中，锐角a的邻边与对边的比叫做角a的余切，记作ctana,即ctana=

解下列问题：

（1）ctan30◦

（2）如图，已知tanA=角a的邻边AC=，根据上述角的余切定义，角a的对边BC3，其中∠A为锐角，试求ctanA4

的值．

【分析】

（1）可先设最小边长为一个特殊数（这样做是为了计算方便）

边长，根据余切定义进而求出ctan30

◦

（2）由tanA=。

3为了计算方便，可以设BC=3AC=44，

根据余切定义就可以求出ctanA的值．【解析】

（1）设BC=1,∵α=30◦

∴AB=2∴由勾股定理得：

AC=ctan30◦=

∴设BC=3AC=4∴ctanA=AC3=

（2）∵tanA=BC4AC4=BC3

1C．扩大为原来的3倍D．不能确定3例7（2012山东滨州）把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（）A．不变B．缩小为原来的

【解析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变．【答案】选A．

例8（2012湖南）观察下列等式

①sin30°=cos60°=②sin45°=

22cos=45°=③sin60°=cos30°=根据上述规律，计算sina+sin（90°﹣a）=．

22解析：

根据①②③可得出规律，即sina+sin（90°﹣a）=1，继而可得出答案．

2222答案：

解：

由题意得，sin30°+sin（90°﹣30°）=1；sin45°+sin（90°﹣45°）=1；

2222sin60°+sin（90°﹣60°）=1；故可得sina+sin（90°﹣a）=1．故答案为：

1．

点评：

此题考查了互余两角的三角函数的关系，属于规律型题目，注意根据题意总结，另外sina+sin（90°﹣a）=1是个恒等式，同学们可以记住并直接运用．

例9（2012山东德州）为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如下图形，其中AB^BE，EF^BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：

①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有哪22

F【解析】对于①，可由公式AB=BC×tan∠ACB求出A、B两点间的距离；对于②，可设xx，BD=，BD-BC=CD，可解出AB．对于③，tan∠ACBtan∠ADB

DEBD=易知△DEF∽△DBA，则，可求出AB的长；对于④无法求得，故有①、②、EFABAB的长为x，则BC=

③三组【点评】此题考查解直角三角形和三角形相似的性质与判定．在直角三角形中至少要有已知一边和一角才能求出其他未知元素；判定两三角形相似的方法有：

AA，SAS，SSS，两直角三角形相似的判定还有HL．

例10（2012江苏泰州18）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是．

【解析】要求tan∠APD的值，只要将∠APD放在直角三角形中，故过B作CD的垂线，然后利用勾股定理计算出线段的长度，最后利用正切的定义计算出结果即可．

【答案】作BM⊥CD，DN⊥AB垂足分别为M、N，则，PNDNPN=设PM=x，则PD=-x，由△DNP∽△BMP，得：

，即=，PMBM2x∴PN=211，由DN2+PN2=PD2，得：

+x2=（-x），解得：

x1=，x2，524105

BM∴tan∠APD==．PM例11.（2011江苏苏州）如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，4

BC=5，CD=3，则tanC等于

．

BCD是直角三角形，然后根据正切函数的定义即可求解．

解答：

解：

连接BD．∵E、F分別是AB、AD的中点．∴BD=2EF=4∵BC=5，CD=3∴△分析：

根据三角形的中位线定理即可求得BD的长，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△

BCD是直角三角形．∴tanC=3

例12（2011山东日照）在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA=b．则下列关系式中不成立的是（）

22A．tanA•cotA=1B．sinA=tanA•cosAC．cosA=cotA•sinAD．tanA+cotA=1

解答：

解：

根据锐角三角函数的定义，得

A、tanA•cotA=abaaba×=1，关系式成立；B、sinA=，tanA•cosA=×=，关系式成立；bacbcc

C、cosA=，cotA•sinA=abbab×=，关系式成立；D、tan2A+cot2A=（）2+（）2≠1，bacac

22关系式不成立．故选D．点评：

本题考查了同角三角函数的关系．

（1）平方关系：

sinA+cosA=1

（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：

一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=sinA或sinA=tanA•cosA．（3）正切之间的关系：

tanA•tanB=1．cosB

，例13（2011•贵港）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，BD=4，AD=2

则tan∠CAD的值是．

解答：

解：

∵AD是BC边上的中线，BD=4，∴CD=BD=4，在Rt△ACD中，AC===2，∴tan∠CAD===2．故选A．

例14（2011烟台）如果△ABC中，sinA=cosB

，则下列最确切的结论是（）A.△ABC是直角三角形B.△ABC是等腰三角形C.△ABC是等腰直角三角形D.△ABC是锐角三角形

解：

∵

，∴∠A=∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．故选C．例15（2011四川）如图所示，在数轴上点A所表示的数x的范围是（

）

3sin30°<x<sin60°23C、tan30°<x<tan45°2A、B、cos30°<x<D、3cos45°23cot45°<x<cot30°2

解答：

故选D．

同步练习1（2011甘肃）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着

点A逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为．

解答：

解：

过C点作CD⊥AB，垂足为D．根据旋转性质可知，∠B′=∠B．在Rt△BCD中，tanB=CD：

BD=11，∴tanB′=tanB=．33

2（2011甘肃兰州）点M（－sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是．

解：

∵sin60°

=11，cos60°=，∴点M

）．∵点P（m，n）关于x轴对称221，－）．故选B．22点的坐标P′（m，-n），∴M关于x

轴的对称点的坐标是（－

3（2011广东）已知：

45°＜A＜90°，则下列各式成立的是（）

A、sinA=cosAB、sinA＞cosAC、sinA＞tanAD、sinA＜cosA

解答：

解：

∵45°＜A＜90°，∴根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，当∠A＞45°时，sinA＞cosA，故选：

B．

4、（2011•宜昌）教学用直角三角板，边AC=30cm，∠C=90°，tan∠

的长为．cm

解：

在直角三角形ABC中，根据三角函数定义可知：

tan∠BAC=，则边BCBC，又AC=30cm，AC

tan∠

BAC=，则BC=ACtan∠

．故选C．33

5、（2011福建莆田）如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为．

解答：

解：

∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，

由题意得：

∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，∴∠DCF=∠AFE，∵在Rt△DCF中，CF=5，CD=4，∴DF=3，

3DF∴tan∠AFE=tan∠DCF==．DC46、（2012连云港）小明在学习―锐角三角函数‖中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过

点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°的角的正切值是．

【答案】设

AB=x,则BE=x,在直角三角形ABE中，用勾股定理求出

于是BF=）x.

在直角三角形ABF中，tan∠FAB=BF

=.选B。

AB7、（2012福州）如图15，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是，cosA的值是.（结果保留根号）解析：

由已知条件，可知△BDC、△ADB是等腰三角形，且DA=DB=BC，可证△BDC∽△ABC，则有BCDCx1-

x=,即x2+x-1=0，解方程得，

，设BC=x，则DC=1-x，因此=ACBC1x

x1=

；又

2=AB

cosA==AD

11,答案：

==24

8、（2012南京）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：

顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合.OB与尺上沿的交点B在尺上的读书恰为2厘米，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为厘米.（结果精确到0.1厘米，参考数据sin370≈0.60,cos370≈0.80,tan370≈0.75）

O347

解析：

由于∠AOB=45°，B点读书为2厘米，则直尺的宽为2厘米，解直角三角形得点C的读数为2÷tan370≈2÷0.75≈2.7厘米.答案：

2.7

9、（2012·湖南张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠A=∠D=90°，AB=BC=15千米，CD=32千米，请据此解答如下问题：

（1）求该岛的周长和面积（结果保留整数，参考数据2≈1.4143»1.736»2.45）

（2）求∠ACD的余弦值.

【解答】

（1）结AC，∵AB=BC=15千米，∠B=90°，

∴∠BAC=∠ACB=45°，AC=152千米.又∵∠D=90°，

∴AD=AC2-CD2=（152）2-（32）2=123（千米）

∴周长=AB+BC+CD+DA=30+32+12=30+4.242+20.784≈55（千米）.

面积=S△ABC+S△ADC=11225×15×15+×12×32=+186≈157（平方千米）.222

CD321==.AC25

（2）cos∠ACD=

10、（2012甘肃兰州）在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度。

如图

（1），虚线为楼梯的倾斜度，斜度线与地面的夹角为倾角q，一般情况下，倾角越小，楼梯的安全程度越高；如图

（2），设计者为了提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角q1减至q2，这样楼梯占用地板的长度由d1增加到d2，已知d1=4米，Ðq1=40，Ðq2=36，楼梯占用地板oo

的长度增加了多少米？

（计算结果精确到0.01米。

参考数据：

tan40°=0.839，tan36°=0.727）

第22题图d2

解析：

根据在Rt△ACB中，AB=d1tanθ1=4tan40°，在Rt△ADB中，AB=d2tanθ

2=d2tan36°，即可得出d2的值，进而求出楼梯占用地板增加的长度．

解：

由题意可知可得，∠ACB=∠θ1，∠ADB=∠θ2在Rt△ACB中，AB=d1tanθ1=4tan40°，

4tan40o

在Rt△ADB中，AB=d2tanθ2=d2tan36°，得4tan40°=d2tan36°，∴d2=≈4.616，tan36o

∴d2-d1=4.616-4=0.616≈0.62，答：

楼梯占用地板的长度增加了0.62米．

11、（2012贵州）为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修

隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB

的长．（参考数据：

sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，≈1.73，精确到个位）

12、（2011新疆建设兵团）如图，在△ABC中，∠A＝90°．

（1）用尺规作图的方法，作

出△ABC绕点A逆时针旋转45°后的图形△AB1C1（保留作图痕迹）；

（2）若AB＝3，BC＝5，求tan∠AB1C1．

解答：

解：

（1）作∠CAB的平分线，在平分线上截取AB1＝AB，作C1A⊥AB1，在AC1上截取AC1＝AC，如图所示即是所求．

（2）∵AB＝3，BC＝5，∴AC＝4，∴AB1＝3，AC1＝4，tan∠AB1C1＝AC14＝．13

专题2特殊角的三角函数值

例1（2012，湖北孝感）计算：

cos245°+tan30°·sin60°=________．【答案】1例2（2012

陕西）计算：

2cos45°（0=．

【解析】原式=2´

【答案】

例3（2012广安）计算：

2-（-2

3）-cos45o+3-1；

解析：

-（-23）-cos45°+

3-12

例4计算|－3|＋2cos45°－

1）0．

解：

原式＝3＋2

－1

2．

例5计算－æçè-1ö

2÷ø

（－1）2007－cos60°．

解：

原式＝1

2＋3＋（－1）－1

2＝3－1＝2．

例6计算|

＋（cos60°－tan30°）0

1十＋

1．

-3

例7计算æç1ö

è2÷ø－（π－3.14）0－|1－tan60°|

解：

原式＝8－1

2＝10.

例8（2012

呼和浩特）计算：

1-|1+2-1

sin45°

【解析】三角函数、绝对值、乘方

【答案】

11）+211-|1+

2-1=1+sin45°2

3=2=

22例9（2011天水）计算：

sin30°+tan44°tan46°+sin60°=．

分析：

根据特殊角的三角函数值计算．tanA•tan（90°﹣A）=1．

解答：

解：

原式=13+1+=2．故答案为2．44

2a2-6a+93）¸例10（2011•莱芜）若a=3﹣tan60°，则（1-=。

-a-1a-13

解答：

解：

a=3﹣tan60°=3﹣3，∴原式=a-1-2a-11113´==故答案为：

．-=-=-2a-33--3a-1（a-3）333

5－π）0+4cos45°.练习1、（2011浙江）计算：

|－1|

【解】原式=1－1

0练习2、（2011浙江衢州）

（1）计算：

|﹣2|﹣（3﹣π）+2cos45°；

解答：

解：

（1）原式

=2-1+20，

=1+练习3、计算：

2011＋－2sin45°；

原式＝1＋22－2＝1＋2；

练习3、观察下列各式：

①sin59°＞sin28°；②0＜cosα＜1（α是锐角）；③tan30°＋tan

60°＝tan90°；④tan44°＜1．其中成立的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

练习3、C[提示：

sin59°＞sin28°成立，0＜cosα＜1（α是锐角）成立，tan30°＋tan60

°＝tan90°，tan44°＜tan45°，即tan44°＜1．]

练习4、计算2sin30°－tan60°＋tan45°＝．

1练习5、如图28－146所示，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，BC

则AB的长为．

4x2x2-4xx2+2x练习6、当x＝sin60°时，代数式·2＋的值是．x+2x-4x+42-x

练习7、已知cos59°24′≈0.509，则sin30°36′≈．

练习8、若∠A，∠B互余，且tanA－tanB＝2，则tan2A＋tan2B

＝．

练习9、如图28－147所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，EC＝1，

5cosB＝，则这个菱形的面积是.13

10．已知正方形ABCD的边长为1，若将线段BD绕着点B旋转后，点

D落在DC延长线上的点D′处，则∠BAD′的正弦值为.

11．如图28－148所示，若将四根木条钉成的矩形木框变为平行四边形ABCD的形状，并

使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小．

12．在△ABC中，∠B＝30°，tanC＝2，AB＝2，则BC＝．

13．设θ为锐角，且x2＋3x＋2sinθ＝0

θ＝．

14．如图28－149所示，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，BD＝4，AD＝BC，

3cos∠ADC＝．

（1）求DC的长；

（2）求sinB的值．5

练习4、2

[提示：

2sin30°－tan60°＋tan45°＝2×11＝2

1CD1练习5、3

[提示：

过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△BDC中，tanB＝．∴=，BD33

∴BD＝3CD，∵BC

∴CD2＋（3CD）2＝

2，∴CD＝1，BD＝3．在Rt△ADC中，tanA＝CD，∴AD

AB＝AD＋BD＝3

4x2x2-4xx2+2x练习6

提示：

∵·2＋＝2x，∴原式＝2sin60

]x+2x-4x+42-x

练习7、0.509[提示：

sin30°36′＝cos59°24′．]

练习8、6[提示：

∵∠A，∠B互余，∴tanA·tanB＝1，tan2A＋tan2B＝（tanA－tanB）2＋2tanA·tanB＝22＋2＝6．]

395练习9、[提示：

∵cosB＝，设BE＝5x，则AB＝13x，∴AE

12x．∵1613

311AB＝BC＝BE＋CE，∴13x＝5x＋1，∴x＝，则AE＝12x＝12×＝，BC＝5x＋1＝528831339113×＋1＝，∴S＝×＝．]216888

提示:

如图28－155所示，根据题意得DD′＝2DC，设正方形的边长为x，则AD＝x，DD′＝2x．∵∠ADD′＝90°，根据勾股定理得AD

x．∵AD＝x，∴sin∠AD′D＝AD=.∵AB∥DD′，∴∠BAD′＝∠AD′D，∴sinAD¢

∠BAD

]ABCD＝11．30°[提示：

如图28＝156所示，∵S

GC＝1S2矩形BEFC，且BC＝BC（底相同），∴111CG1FC．∵CF＝DC，∴GC＝DC，=．∵∠DGC＝90°，sin30°＝，∴∠222DC2

CDG＝30°，即这个平行四边形的一个最小2

13．30°[提示：

x1·x2＝2sinθ，x1＋x2＝－3，则（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝9－8sinθ＝

12，∴sinθ＝，∴θ＝30°．]2

314．解：

（1）∵cos∠ADC＝，∴设CD＝3x，则AD＝5x，AC＝4x，∴BC＝AD＝5x．∵5

BD＝BC－CD，∴5x－3x＝4，∴x＝2，∴CD＝3x＝6．

（2）∵AC＝4x＝8，BC＝5x＝10，

AC==∴AB

=sinB

＝．AB★专题三：

题型一俯角与仰角仰角：

视线在水平线上方

的角；

★

俯角：

视线在水平线下方的角。

例1、（2012湖北襄阳）在一次数学活动中，李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校m．

CCAO

BAOEBDD图5

【解析】如下图，过点A作AF⊥CD于F，则AF＝BD＝12m，FD＝AB＝1.6m．再

AF由OE∥CF可知∠C＝∠AOE＝60°．所以，在Rt△ACF中，CF＝＝

tan60CD＝CF＋FD＝

1.6）m．

例2、（2012珠海）如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO（不计粗细）上有两个木瓜A、

B（不计大小），树干垂直于地面，量得AB=2米，在水渠的对面与O处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰角为45°、木瓜B的仰角为30°.求C处到树干DO的距离CO.（结果精确到1米）（参考数据：

3»1.73,2»1.41）

第16题图第24题图

【解析】如图,根据题意,得∠COD＝90°,∠ACO＝45°,∠BCO＝30°,AB＝2,求CO.设CO为x米,根据AO＝CO,列方程,解得即可.

【答案】解:

设CO为x米在Rt△BCO中,tan30°＝BOx,则BO

在Rt△ACO中,AO＝CO,

x＋2＝x解得x≈5.答:

CO长大约是5米.例3、（2012江苏盐城）如图所示，当小华站立在镜子EF前A处时，他看自己的脚在镜中

0的像的俯角为45：

如果小华向后退0.5米到B处，这时他看自己的脚在镜中的像的俯角

为30.求小华的眼睛到地面的距离。

（结果精确到0.1

»1.732）.0

【答案】设AC=BD=x，在Rt△ACA1中，∠AA1C=450，∴AA1=x，在Rt△DBB1中，BB1=x

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