同步人A数学必修第一册新教材课件第5章51511任意角.docx

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同步人A数学必修第一册新教材课件第5章51511任意角

第五章三角函数

5.1任意角和弧度制

5.1.1任意甬

核心素养

学习目标

1.理解任意角的概念.

2.掌握终边相同角的含义及其表示.（重点、难点）

3.掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法.（难点、易混点）

1•通过终边相同角的计算，培养数学运算素养.

2.借助任意角的终边位置的确定,提升逻辑推理素养.

主

才姿辛斤4仃

匸新切初探二

1.角的概念

所形成的图形.

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置

3.角的表示

如图，⑴始边：

射线的壁位置0A,

（2）终边：

射线的终止位置0B,

（3）顶点：

射线的端点0.

这时，图中的角。

可记为“角/或心或简记为F•

3.任意角的分类

⑴按旋转方向分

（2）按角的终边位置分

1前提：

角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.

2分类：

4.终边相同的角

所有与角Q终边相同的角，连同角Q在内，可构成一个集合S=W

=a+k・360°,圧Z},

即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和.思考：

终边相同的角相等吗？

相等的角终边相同吗？

提示：

终边相同的角不一定相等，它们相差360。

的整数倍；相等的

角，终边相同

1.下列说法正确的是（）

A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角

B.第四象限的角一定是负角

C.60。

角与600。

角是终边相同的角

D.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角为60。

解析答案

D[A错误，90。

角既不是第一象限角也不是第二象限角；

B错误，280。

角是第四象限角，但它不是负角；

C错误，600°-60°=540°不是360。

的倍数；

D正确，分针转一周为60分钟，转过的角度为一360°,将分针拨慢是

逆时针旋转，拨慢10分钟转过的角为360°X^=60°.]

2.50。

角的始边与x轴的非负半

轴重合，把终边按顺时针方向旋转2

周，所得角是.

I_670。

[由题意知，所得角是^0°—2x360°=~670°.]

3.已知0°^a<360°,且a与600。

角终边相同，贝妝二

它是第象限角.

240°三[因为600°=360°+240°,所以240。

角与600。

角终边相同，且0°<240°<360°,故歼240。

它是第三象限角•]

燐型ly角的有关概念的判断

_z—

【例1】⑴给岀下列说法：

1锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180。

的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角.

其中正确说法的序号为（把正确说法的序号都写上）.

（2）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作岀

下列各角，并指岀它们是第几象限角.

（2）855°.③—510°.

解析答案

⑴①[①锐角是大于0。

且小于90。

的角，终边落在第一象限，是第-象限角，所以①正确;

2一350。

角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；

30。

角是小于180。

的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；

4360。

角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误.]

（2）［解］作岀各角的终边，如图所示:

由图可知：

1420。

是第一象限角.

2855。

是第二象限角.

3一510。

是第三象限角.

可.

规律方鸯

1.理解角的概念的关键与技巧：

⑴关键：

正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概

（2）技巧：

判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即

2.象限角的判定方法：

⑴在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限.

（2）第一步,将a写成a=k・360。

+朋eZ,0°&<360。

）的形式；

第二步，判断/的终边所在的象限；

第三步，根据的终边所在的象限，即可确定a的终边所在的象限.

提醒：

理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正

负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”•

1.已知集合A=｛第一象限角｝,B=｛锐角｝,C=｛小于90啲角｝,则下面关系正确的是（）

A・A=B=C

B.AQC

C・AAC=B

D・BUCUC

D［由己知得瞬C,所以BUC二C,故D正确•】

2.给出下列四个命题：

①一

75。

是第四象限角；②225。

是第三象限角;③475。

是第二象限角;④-315。

是第一象限角.其中正确的命题有（）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

D[-90°<-75°<0°,180°<

225°<270°,

3600+90°<4750<360°+

180°,-360°<-315°<-270°.所

以这四个命题都是正确的•]

终边相同的角的表示及应用

【例2】

（1）将-885oftM360°+a（0o^a<360°,圧Z）的形式是

（2）写岀与°=一1910。

终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720。

马＜360。

的元素/写岀来.

［思路点拨］⑴根据一885。

与^360°,的关系确定化

（2）先写岀与a终边相同的角^360°+q,再由已知不等式确定k

的可能取值.

（1）（-3）X360°+195°［一885。

=一1080°+195—（—3）x360°+195°.］

（2）［解］与°=-1910°终边相同的角的集合为W=^360°-1910°,圧Z}・

V-720°^＜360°,即—72003600—1910。

＜360。

（胆Z）,・：

百惡＜6寻圧Z）,故取k=4,5,6.

k=4时，^=4X360°-1910°=-470°；

k=5时，^=5X360o-1910°=-110°；

k=6时,^=6X360°-1910°=250°.

规律方沽

1.在0。

到360。

范围内找与给定角终边相同的角的方法

⑴一般地，可以将所给的角«化成^360°+^的形式（其中0°<^<360°,圧Z）,其中的〃就是所求的角.

（2）如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：

当所给角是负角时，采用连续加360。

的方式；当所给角是正角时，采用连续减

360。

的方式，直到所得结果达到要求为止.

2.运用终边相同的角的注意点

所有与角Q终边相同的角，连同角Q在内可以用式子bW+a,k&Z表示，在运用时需注意以下四点：

（1W是整数，这个条件不能漏掉.

（2）a是任意角•

（3）h360°与a之间用“+”连接,如・360。

—30。

应看成朋60。

+（-30°）,圧Z.

（4）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍.

提醒：

表示终边相同的角，k&Z这一条件不能少.

3.下面与一850°12/终边相同的角是（）

A.230°12?

B.229。

48‘

C.129。

48‘

D.130°12/

B[与-850。

図终边相同的角可表示为歼—850。

⑵+愿60。

（胆Z）'当k=3时,a=~S50°12'+1080°=229°48f.]

4.在一360。

〜360。

之间找岀所有与下列各角终边相同的角，并判断各角所在的象限.

1790。

；②一20°.

［解］①V790°=2X360°+70°=3X360°-290°,

•:

在一363〜360。

之间与它终边相同的角是70。

和一290。

，它们都是第-象限的角.

2T—20°=—360。

+340。

，

・：

在一360。

〜360。

之间与它终边相同的角是一20。

和34（r,它们都是

［探究问题］

1.若射线0A的位置是^360°+10°,圧Z,射线0A绕点0逆时针旋转90。

经过的区域为D,则终边落在区域D（包括边界）的角的集合应如何表示?

提示：

终边落在区域D包括边界的角的集合可表示为｛必・360。

10°<«<^360°+100°,圧Z}.

2-若角Q与方的终边关升轴、y轴、原点、直线尸x对称，则角a与方分别具有怎样的关系？

提示：

⑴关于X轴对称：

若角a与方的终边关于％轴对称，则角必与〃的关系是P=~a+k-360°,胆Z.

（2）关于y轴对称:

若角a与〃的终边关于y轴对称，则角°与#的关系是^=180°-aH«360°,圧Z.

⑶关于原点对称：

若角a与/的终边关于原点对称，则角a与#的关系是^=180°+aH-360°,圧Z.

（4）关于直线y=龙对称:

若角q与#的终边关于直线y=x对称,则角&与"的关系是”=-a+90°+h360°,kW

【例3】⑴若。

是第一象限角，则一彳是（）

A.第一象限角

C.第二象限角

（2）己知,如图所示.

B.第一、四象限角

D.第二、四象限角

1分别写岀终边落在OA,位置上的角的集合;

2写岀终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合.

根据角终边的对称性确定一扌是第几象限角

（2）①观察图形f确定终边落在OA,位置上的角

由小到大分别标岀起始和终止边界对应的角

加上360。

的整数倍，得所求集合

（1）D［因为a是第一象限角，所以^360o

（I

所以^180°<2<^180°+45°,圧Z,

所以提第-、三象限角,

所以-扌是第二、四象限角・]

（2）［解］①终边落在0A位置上的角的集合为｛ala=90°+45。

^•360°,圧Z｝=｛ala=135°+h360°,圧Z｝；

终边落在仞位置上的角的集合为｛da=-30°+^360°,

②由题干图可知，阴影部分（包括边界）的角的集合是由所有介于［—

30°,135°］之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为｛al—

30°+h360°WaW135°+h360°,圧Z｝・

1.若将本例

（2）改为如图所示的图形，那么终边落在

阴影部分（包括边界）的角的集合如何表示？

丫

［解］在0。

〜360。

范围内，终边落在阴影部分（包括边界）力的角为60。

£#<105。

与240W#<285。

，所以所有满足题意的>1角p为{>3600+60°^<^360°+1050,址Z}U{朋・360。

+卞240°^<^360°+285°,Z}={p\2k180°+60°^p<2k180°+105°,

圧Z}U［p\（2k+l）-180°+60°^<（2H1）.180°+105°,址Z}={>180°+60°^<«-180°+105°,neZ}.

故角/的取值集合为M/?

180°+60°W#VH80°+105°,〃wZ}.

2.若将本例

（2）改为如图所示的图形，那么阴影部分（包括边界）表示的终边相同的角的集合如何表示？

［解］在0。

〜360。

范围内，阴影部分（包括边界）表示的范围可表示为：

150°^<225°,则所有满足条件的角“为{>360°+1500^<^360°+2250,圧Z}.

规律方法

1.表示区间角的三个步骤：

第一步：

先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；

第二步：

按由小到大分别标出起始和终止边界对应的一360。

〜360。

范围内的角a和几写岀最简区间[x\a

；

第三步：

起始、终止边界对应角Q,/再加上360。

的整数倍，即得区

间角集合.

2.m或彳所在象限的判断方法：

⑴用不等式表示岀角M或》的范围；

（2）用旋转的观点确定角曲或彳所在象限.

（I

例如：

^120°<3<^120°+30°,圧Z.

规律方进

匚课堂小结V

1.角的旋转定义给出后，就将原来0。

〜360。

间的角扩展为任意的正角、负角和零角，从而为角和实数之间建立对应关系奠定了基础.

2.明确象限角的概念，是判断一个角是第几象限角或轴线角的保证.

3.理解终边相同角的含义，做到会用集合表示终边相同的角，会求

符合某种条件的角.

1.思考辨析

（1）第二象限角大于第一象限角.（）

（2）第二象限角是钝角.（）

（3）终边相同的角一定相等.（）

（4）终边相同的角有无数个，它们相差360。

的整数倍.（

［提示］⑴错误•如第二象限角100。

小于第一象限角361°.

（2）错误.如第二象限角一181。

不是钝角.

（3）错误.终边相同的角可表示为。

=^+^360%keZ,即a与#不一定相等.

（4）都正确.

［答案］

（1）X⑵X（3）X（4）V

2.下列各个角中与2019。

终边相同的是（）

A.-149°

B.679°

C.319°

D.219°

D[因为2019°=360°x5+

219°,所以与2019。

终边相同的角是

219°.]

3.已知角a的终边在如图阴影

表示的范围内（不包含边界），那么角

a的集合是.

、

SX30%、、

/（45°,

{d^360°+45°

150°,址Z}[观察图形可知,角a的集合>{al^360°+45°

4.在0。

到360。

范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：

（1）-120°；

（2）640°.

［解］⑴与一120。

终边相同的角的集合为卩0=-120°+^•360°,圧Z}.

当“1时,^-120°+lX360°=240°,

•:

在0。

到360。

范围内，与一120。

终边相同的角是240°,它是第三象限

的角.

角.

（2）与640。

终边相同的角的集合为M=W=640°+^360°,圧引.

当片一1时,^640°-360°=280°,

・••在0。

到360。

范围内,与640°终边相同的角为280。

它是第四象限的

点击右图进

入…

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